Texto y código sujeto bajo Creative Commons Attribution license, CC-BY-SA. (c) Original por Lorena A. Barba y Gilbert Forsyth en 2013, traducido por F.J. Navarro-Brull para CAChemE.org

12 pasos para Navier-Stokes


Los dos últimos pasos de este módulo interactivo enseñando los principios de CFD con Python serán resolver las ecuaciones de Navier-Stokes en dos dimensiones, pero con diferentes condiciones de contorno.

La ecuación de momento en forma de vector de un campo de velocidad $\vec{v}$ es:

$$\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}=-\frac{1}{\rho}\nabla p + \nu \nabla^2\vec{v}$$

Esto representa tres ecuaciones escalares, una para cada componente de la velocidad $(u,v,w)$. Pero lo resolveremos en dos dimensiones, por lo que habrá dos ecuaciones escalares.

¿Recuerdas la ecuación de continuidad? ¡Aquí es donde la Ecuación de Poisson para presiones entra en juego!

Paso 11: Flujo en una cavidad con Navier-Stokes


Aquí está el sistema de ecuaciones diferenciales: dos ecuaciones para las componentes $u,v$ de la velocidad y una ecuación para la presión:

$$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}+\nu \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right) $$$$\frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y}+\nu\left(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}\right) $$$$\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 p}{\partial y^2} = -\rho\left(\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial x}+2\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y} \right)$$

A partir de los pasos anteriores, ya sabemos cómo discretizar todos estos términos. Sólo la última ecuación es un poco extraña. Pero con un poco de paciencia, ¡no será duro!

Ecuaciones discretizadas

En primer lugar, vamos a discretizar la ecuacion del momento-$u$, de la siguiente manera:

\begin{eqnarray} &&\frac{u_{i,j}^{n+1}-u_{i,j}^{n}}{\Delta t}+u_{i,j}^{n}\frac{u_{i,j}^{n}-u_{i-1,j}^{n}}{\Delta x}+v_{i,j}^{n}\frac{u_{i,j}^{n}-u_{i,j-1}^{n}}{\Delta y}\\\ &&=-\frac{1}{\rho}\frac{p_{i+1,j}^{n}-p_{i-1,j}^{n}}{2\Delta x}+\nu\left(\frac{u_{i+1,j}^{n}-2u_{i,j}^{n}+u_{i-1,j}^{n}}{\Delta x^2}+\frac{u_{i,j+1}^{n}-2u_{i,j}^{n}+u_{i,j-1}^{n}}{\Delta y^2}\right)\end{eqnarray}

De forma similar para la ecuación del momento-$v$:

\begin{eqnarray} &&\frac{v_{i,j}^{n+1}-v_{i,j}^{n}}{\Delta t}+u_{i,j}^{n}\frac{v_{i,j}^{n}-v_{i-1,j}^{n}}{\Delta x}+v_{i,j}^{n}\frac{v_{i,j}^{n}-v_{i,j-1}^{n}}{\Delta y}\\\ &&=-\frac{1}{\rho}\frac{p_{i,j+1}^{n}-p_{i,j-1}^{n}}{2\Delta y} +\nu\left(\frac{v_{i+1,j}^{n}-2v_{i,j}^{n}+v_{i-1,j}^{n}}{\Delta x^2}+\frac{v_{i,j+1}^{n}-2v_{i,j}^{n}+v_{i,j-1}^{n}}{\Delta y^2}\right)\end{eqnarray}

Por último, la ecuación de la presión de Poisson-discretizado se puede escribir así:

$$ \frac{p_{i+1,j}^{n}-2p_{i,j}^{n}+p_{i-1,j}^{n}}{\Delta x^2}+\frac{p_{i,j+1}^{n}-2*p_{i,j}^{n}+p_{i,j-1}^{n}}{\Delta y^2} =\rho\left[\frac{1}{\Delta t}\left(\frac{u_{i+1,j}-u_{i-1,j}}{2\Delta x}+\frac{v_{i,j+1}-v_{i,j-1}}{2\Delta y}\right)\right.$$$$-\frac{u_{i+1,j}-u_{i-1,j}}{2\Delta x}\frac{u_{i+1,j}-u_{i-1,j}}{2\Delta x} - \ 2\frac{u_{i,j+1}-u_{i,j-1}}{2\Delta y}\frac{v_{i+1,j}-v_{i-1,j}}{2\Delta x} -\left.\frac{v_{i,j+1}-v_{i,j-1}}{2\Delta y}\frac{v_{i,j+1}-v_{i,j-1}}{2\Delta y}\right] $$

Deberías escribir estas ecuaciones en tus notas, a mano, siguiendo cada término mentalmente mientras lo escribes.

Al igual que antes, reorganicemos las ecuaciones en la forma en que las iteraciones tienen que proceder en el código. En primer lugar, las ecuaciones de movimiento para la velocidad en el próximo paso de tiempo.

La ecuación del momento en la dirección $u$:

$$ u_{i,j}^{n+1} = u_{i,j}^{n} - u_{i,j}^{n}\frac{\Delta t}{\Delta x}(u_{i,j}^{n}-u_{i-1,j}^{n}) - v_{i,j}^{n}\frac{\Delta t}{\Delta y}(u_{i,j}^{n}-u_{i,j-1}^{n})$$$$-\frac{\Delta t}{\rho 2\Delta x}(p_{i+1,j}^{n}-p_{i-1,j}^{n}) +\nu\left(\frac{\Delta t}{\Delta x^2}(u_{i+1,j}^{n}-2u_{i,j}^{n}+u_{i-1,j}^{n})\right. +\left.\frac{\Delta t}{\Delta y^2}(u_{i,j+1}^{n}-2u_{i,j}^{n}+u_{i,j-1}^{n})\right) $$

la ecuación del momento en la dirección $u$:

$$v_{i,j}^{n+1} = v_{i,j}^{n}-u_{i,j}^{n}\frac{\Delta t}{\Delta x}(v_{i,j}^{n}-v_{i-1,j}^{n}) - v_{i,j}^{n}\frac{\Delta t}{\Delta y}(v_{i,j}^{n}-v_{i,j-1}^{n})$$$$ -\frac{\Delta t}{\rho 2\Delta y}(p_{i,j+1}^{n}-p_{i,j-1}^{n}) +\nu\left(\frac{\Delta t}{\Delta x^2}(v_{i+1,j}^{n}-2v_{i,j}^{n}+v_{i-1,j}^{n})\right. +\left.\frac{\Delta t}{\Delta y^2}(v_{i,j+1}^{n}-2v_{i,j}^{n}+v_{i,j-1}^{n})\right)$$

¡Ya estamos casi! Ahora, reorganizamos la ecuación de presión-Poisson.

$$ p_{i,j}^{n}=\frac{(p_{i+1,j}^{n}+p_{i-1,j}^{n})\Delta y^2+(p_{i,j+1}^{n}+p_{i,j-1}^{n})\Delta x^2}{2(\Delta x^2+\Delta y^2)}-\frac{\rho\Delta x^2\Delta y^2}{2(\Delta x^2+\Delta y^2)} \times$$$$\left[\frac{1}{\Delta t}\left(\frac{u_{i+1,j}-u_{i-1,j}}{2\Delta x}+\frac{v_{i,j+1}-v_{i,j-1}}{2\Delta y}\right)-\frac{u_{i+1,j}-u_{i-1,j}}{2\Delta x}\frac{u_{i+1,j}-u_{i-1,j}}{2\Delta x}\right. $$$$ -2\frac{u_{i,j+1}-u_{i,j-1}}{2\Delta y}\frac{v_{i+1,j}-v_{i-1,j}}{2\Delta x}-\left.\frac{v_{i,j+1}-v_{i,j-1}}{2\Delta y}\frac{v_{i,j+1}-v_{i,j-1}}{2\Delta y}\right]$$

La condición incial es $u, v, p = 0$ en todos los puntos, y las condiciones de contorno son:

$u=1$ en $y=2$ (la "tapa" en movimiento);

$u, v=0$ en las otras fronteras;

$\frac{\partial p}{\partial y}=0$ en $y=0$;

$p=0$ en $y=2$

$\frac{\partial p}{\partial x}=0$ en $x=0,2$

Implementando el flujo en una cavidad

In [1]:
%pylab inline
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from matplotlib import cm
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

nx = 41
ny = 41
nt = 500
nit=50
c = 1
dx = 2.0/(nx-1)
dy = 2.0/(ny-1)
x = np.linspace(0,2,nx)
y = np.linspace(0,2,ny)
Y,X = np.meshgrid(y,x)

rho = 1
nu = .1
dt = .001

u = np.zeros((ny, nx))
v = np.zeros((ny, nx))
p = np.zeros((ny, nx)) 
b = np.zeros((ny, nx))
Populating the interactive namespace from numpy and matplotlib

La ecuación de presión de Poisson que está escrita arriba puede ser difícil de escribir sin errores tipográficos. La función buildUpB escrita a continuación representa el contenido de los corchetes, por lo que la totalidad de la PPE se hace ligeramente más manejable.

In [7]:
def buildUpB(b, rho, dt, u, v, dx, dy):
    
    b[1:-1,1:-1]=rho*(1/dt*((u[2:,1:-1]-u[0:-2,1:-1])/(2*dx)+(v[1:-1,2:]-v[1:-1,0:-2])/(2*dy))-\
		((u[2:,1:-1]-u[0:-2,1:-1])/(2*dx))**2-\
		2*((u[1:-1,2:]-u[1:-1,0:-2])/(2*dy)*(v[2:,1:-1]-v[0:-2,1:-1])/(2*dx))-\
		((v[1:-1,2:]-v[1:-1,0:-2])/(2*dy))**2)
	
    return b

La función presPoisson se define también para ayudar a separar los diferentes ciclos de cálculos. Ten en cuenta la presencia de la variable de pseudo-tiempo nit. Esta sub-iteración en el cálculo Poisson ayuda a asegurar un campo libre de divergencia.

In [4]:
def presPoisson(p, dx, dy, b):
    pn = np.empty_like(p)
    pn[:] = p[:]
    
    for q in range(nit):
	    pn[:] = p[:]
	    p[1:-1,1:-1] = ((pn[2:,1:-1]+pn[0:-2,1:-1])*dy**2+(pn[1:-1,2:]+pn[1:-1,0:-2])*dx**2)/\
			(2*(dx**2+dy**2)) -\
			dx**2*dy**2/(2*(dx**2+dy**2))*b[1:-1,1:-1]
		
	    p[-1,:] =p[-2,:]		##dp/dy = 0 en y = 2
	    p[0,:] = p[1,:]	 	##dp/dy = 0 en y = 0
	    p[:,0]=p[:,1]		   ##dp/dx = 0 en x = 0
	    p[:,-1]=0		       ##p = 0 en x = 2
        
    return p

Finalmente, el resto de las ecuaciones de flujo de la cavidad se envuelven dentro de la función cavityFlow, lo que nos permite representar fácilmente los resultados del programa de solución de flujo en una cavidad durante diferentes períodos de tiempo.

In [5]:
def cavityFlow(nt, u, v, dt, dx, dy, p, rho, nu):
    un = np.empty_like(u)
    vn = np.empty_like(v)
    b = np.zeros((ny, nx))
    
    for n in range(nt):
        un[:] = u[:]
        vn[:] = v[:]
        
        b = buildUpB(b, rho, dt, u, v, dx, dy)
        p = presPoisson(p, dx, dy, b)
        
        u[1:-1,1:-1] = un[1:-1,1:-1]-\
            un[1:-1,1:-1]*dt/dx*(un[1:-1,1:-1]-un[0:-2,1:-1])-\
            vn[1:-1,1:-1]*dt/dy*(un[1:-1,1:-1]-un[1:-1,0:-2])-\
            dt/(2*rho*dx)*(p[2:,1:-1]-p[0:-2,1:-1])+\
            nu*(dt/dx**2*(un[2:,1:-1]-2*un[1:-1,1:-1]+un[0:-2,1:-1])+\
            dt/dy**2*(un[1:-1,2:]-2*un[1:-1,1:-1]+un[1:-1,0:-2]))
	
        v[1:-1,1:-1] = vn[1:-1,1:-1]-\
            un[1:-1,1:-1]*dt/dx*(vn[1:-1,1:-1]-vn[0:-2,1:-1])-\
            vn[1:-1,1:-1]*dt/dy*(vn[1:-1,1:-1]-vn[1:-1,0:-2])-\
            dt/(2*rho*dy)*(p[1:-1,2:]-p[1:-1,0:-2])+\
            nu*(dt/dx**2*(vn[2:,1:-1]-2*vn[1:-1,1:-1]+vn[0:-2,1:-1])+\
            (dt/dy**2*(vn[1:-1,2:]-2*vn[1:-1,1:-1]+vn[1:-1,0:-2])))

        u[0,:] = 0
        u[:,0] = 0
        u[:,-1] = 1
        v[0,:] = 0
        v[-1,:]=0
        v[:,0] = 0
        v[:,-1] = 0
        u[-1,:] = 0
        
    return u, v, p

Empecemos con nt = 200 y veamos que solución nos da:

In [8]:
u = np.zeros((ny, nx))
v = np.zeros((ny, nx))
p = np.zeros((ny, nx))
b = np.zeros((ny, nx))
nt = 200
u, v, p = cavityFlow(nt, u, v, dt, dx, dy, p, rho, nu)
fig = plt.figure(figsize=(11,7), dpi=100)
plt.contourf(X,Y,p,alpha=0.5)    ###plnttong the pressure field as a contour
plt.colorbar()
plt.contour(X,Y,p)               ###plotting the pressure field outlines
plt.quiver(X[::2,::2],Y[::2,::2],u[::2,::2],v[::2,::2]) ##plotting velocity
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
Out[8]:
<matplotlib.text.Text at 0x7f0193076d90>

Se puede ver que dos zonas de presión diferentes se están formando y que la forma de espiral que se espera se está empezando a formar en este problema de flujo en una cavidad con tapa en movimiento. Experimenta con diferentes valores de nt para ver el tiempo que el sistema tarda en estabilizarse.

In [9]:
u = np.zeros((ny, nx))
v = np.zeros((ny, nx))
p = np.zeros((ny, nx))
b = np.zeros((ny, nx))
nt = 700
u, v, p = cavityFlow(nt, u, v, dt, dx, dy, p, rho, nu)
fig = plt.figure(figsize=(11,7), dpi=100)
plt.contourf(X,Y,p,alpha=0.5)
plt.colorbar()
plt.contour(X,Y,p)
plt.quiver(X[::2,::2],Y[::2,::2],u[::2,::2],v[::2,::2])
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
Out[9]:
<matplotlib.text.Text at 0x7f0192e00c10>

Aprender más

El módulo interactivo 12 pasos para Navier-Stokes es uno de los varios componentes de la clase de Computational Fluid Dynamics impartida por la Prof. Lorena A. Barba en la Universidad de Boston entre 2009 y 2013.

Para una muestra de otros materiales de esta clase, se puede explorar la sección de Resources en la parte de Spring 2013 de course's Piazza site.


In [1]:
from IPython.core.display import HTML
def css_styling():
    styles = open("../styles/custom.css", "r").read()
    return HTML(styles)
css_styling()
Out[1]:

(La celda de arriba establece el formato de este notebook)