Dans la suite, on fixe une fois pour toute $a=(0,1)$, $b = (0,-1)$, $c = (0.1,0)$, $\eps = 10^{-3}$.
QN1. Écrire quatre fonctions n(x), gradn(x), f(x), gradf(x) calculant respectivement $n_\eps(x),\nabla n_\eps(x),f_\eps(x),\nabla f_\eps(x)$.
# on importe les modules numpy et pyplot
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# les deux commandes suivante paramètrent l'affichage des figures
%matplotlib inline
plt.rcParams['figure.figsize'] = [9.,6.]
a = [0.,1.]
b = [0.,-1.]
c = [.1,0.]
eps = 1e-3
def n(x):
return np.sqrt(eps+x[0]**2+x[1]**2)
def gradn(x):
return x/n(x)
def f(x):
return n(x-a) + n(x-b) + n(x-c)
def gradf(x):
return gradn(x-a) + gradn(x-b) + gradn(x-c)
QN2. Écrire une fonction gradient_fixe(f,gradf,x0,tau) implémentant l'algorithme de descente de gradient à pas fixe:
$$\begin{cases} x^{(0)} \in \mathbb{R}^2 \hbox{ donné }\\ x^{(k+1)} = x^{(k)} - \tau \nabla f(x^{(k)}) \end{cases}$$def gradient_fixe(f, gradf, x0, tau, err=1e-6):
G = []
x = x0.copy()
for i in range(100):
g = gradf(x)
n = np.linalg.norm(g)
G.append(n)
if n <= err:
break
x = x - tau*g
return G
QN4 Écrire une fonction gradient_backtracking(f,gradf,x0,tau) implémentant l'algorithme de descente de gradient avec backtracking d'Armijo:
$$\begin{cases} x^{(0)} \in \mathbb{R}^2 \hbox{ donné }\\ g^{(k)} = \nabla f(x^{(k)}) \\ d^{(k)} = - g^{(k)} \\ \tau^{(k)} = backtrack(f,x^{(k)},d^{(k)}, g^{(k)}) \\ x^{(k+1)} = x^{(k)} + \tau^{(k)} d^{(k)} \end{cases}$$La fonction backtrack est donnée. La fonction gradient_backtracking aura le même comportement que gradient_fixe:
G = gradient_fixe(f,gradf,np.array([1.,1.]),0.03)
plt.semilogy(G,label='tau=0.03')
G = gradient_fixe(f,gradf,np.array([1.,1.]),0.05)
plt.semilogy(G, label='tau=0.05')
G = gradient_fixe(f,gradf,np.array([1.,1.]),0.1)
plt.semilogy(G, label='tau=0.1')
plt.legend()
<matplotlib.legend.Legend at 0x7f4da354e050>
Q4 Écrire une fonction gradient_backtracking(f,gradf,x0,tau) implémentant l'algorithme de descente de gradient avec backtracking d'Armijo:
$$\begin{cases} x^{(0)} \in \mathbb{R}^2 \hbox{ donné }\\ g^{(k)} = \nabla f(x^{(k)}) \\ d^{(k)} = - g^{(k)} \\ \tau^{(k)} = backtrack(f,x^{(k)},d^{(k)}, g^{(k)}) x^{(k+1)} = x^{(k)} - \tau \end{cases}$$La fonction backtrack est donnée. La fonction gradient_backtracking aura le même comportement que gradient_fixe:
def backtrack(f,x,d,g):
t = 1
m = np.dot(d,g)
while f(x+t*d) > f(x) + 0.3*t*m:
t = 0.5*t
return t
def gradient_backtracking(f,gradf,x0,err=1e-6):
x = x0.copy()
G = []
for i in range(100):
g = gradf(x)
d = -g
n = np.linalg.norm(d)
G.append(n)
if n <= err:
break
t = backtrack(f,x,d,g)
x = x + t*d
return np.array(G)
QN5 Tester la fonction gradient_backtracking en partant des points $x^{(0)} \in \{ (0,0), (1,1), (10,10) \}$. Tracer l'évolution de la norme du gradient au cours des itérations dans ces trois cas. Commenter.
x0 = np.array([0.,0.])
G = gradient_backtracking(f,gradf,x0,1e-6)
plt.semilogy(G,label='x0 = [0,0]')
x0 = np.array([1.,1.])
G = gradient_backtracking(f,gradf,x0,1e-6)
plt.semilogy(G,label='x0 = [1,1]')
x0 = np.array([10.,10.])
G = gradient_backtracking(f,gradf,x0,1e-6)
plt.semilogy(G,label='x0 = [10,10]')
plt.legend()
<matplotlib.legend.Legend at 0x7f4da34fabd0>