Algorithmes d'optimisation -- L3 MINT et doubles licences 2019/2020 -- Université Paris-Saclay
$\newcommand{\Rsp}{\mathbb{R}} \newcommand{\nr}[1]{\|#1\|} \newcommand{\abs}[1]{|#1|} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\sca}[2]{\langle#1|#2\rangle} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\hdots}{\dots} \newcommand{\cond}{\mathrm{cond}}$ On commence par importer les modules habituels:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
# la commande suivante agrandit les figures
plt.rcParams['figure.figsize'] = [9.,6.]
def verifier_gradient(f,g,x0):
N = len(x0)
gg = np.zeros(N)
for i in range(N):
eps = 1e-4
e = np.zeros(N)
e[i] = eps
gg[i] = (f(x0+e) - f(x0-e))/(2*eps)
print('erreur numerique dans le calcul du gradient: %g (doit etre petit)' % np.linalg.norm(g(x0)-gg))
On considère un système physique constitué d'une chaine de $N+1$ ressorts. Les deux extrémités du $i$ème ressort ($0\leq i\leq N$ sont les points $(t_i,x_i) \in\Rsp^2$ et $(t_{i+1},x_{i+1}) \in \Rsp^2$, où $t_i = hi$ est fixé. On considère également que la chaine est fixée à ses extrémités: $x_0 = x_{N+1} = 0$. Il reste donc $N$ inconnues $x = (x_1,\hdots,x_N)\in \Rsp^N$. L'énergie du système est donnée par la formule suivante:
$$J(x) = J(x_1,\hdots,x_N) = \frac{1}{2}\sum_{0\leq i\leq N} \nr{x_{i+1} - x_i}^2 $$où l'on a donc fixé $x_0 = x_{N+1} = 0$. On pose un obstacle sous la chaîne de ressort, qui force chacune des coordonnées $x_i$ a être minorée par une constante $f_i$ (on peut penser à une main qui pousse le ressort par exemple). On arrive dont au problème d'optimisation
$$ \min_{x\in K} J(x) \hbox{ où } K = \{x\in \Rsp^N \mid \forall 1\leq i\leq N, x_i \geq f_i \}. $$Nous allons la résolution numérique de ce problème d'optimisation par la méthode de gradient projeté. On rappelle les formules suivantes:
Le gradient de la fonction $J$ en $x\in \Rsp^N$ est alors donné par $\nabla J(x) = Q x.$
Q1) Écrire une fonction projK(x) retournant la projection de $x\in \Rsp^N$ sur $K$ (la tester avec des petites valeurs de $N$). On fixe désormais $N=30$: écrire la matrice $Q$ et deux fonctions J(x)
et gradJ(x)
calculant la valeur et le gradient de $J$. Vérifier le calcul du gradient avec check_gradient
.
# initialiser les variables K,Q, x0, fmin
N = 30
T = np.linspace(0,1,N+2)[1:-1]
F = np.exp(-50*(T-.75)**2) + np.exp(-50*(T-.25)**2)
#plt.plot(T,F,'.-g',label='obstacle')
plt.fill_between(T,F,'.-g',label='obstacle',alpha=0.1)
plt.legend()
# <completer>
On rappelle que l'algorithme du gradient projeté est défini de la manière suivante:
$$ \begin{cases} x^{(0)} \in \Rsp^N\\ x^{(k+1)} = P_K\left(x^{(k)} - \tau \nabla J(x^{(k)})\right) \end{cases} $$où $\tau>0$. On a démontré en cours que si
$$ \forall x\in \Rsp^M, m\mathrm{Id} \leq \D^2 J(x) \leq M\mathrm{Id} , $$alors l'algorithme converge dès que $\tau < 2m/M^2$, avec un taux optimal lorsque $\tau^* = m/M^2$.
Q2) Montrer que $\D^2 J(x) = Q$; calculer les valeurs propres de $Q$ via la fonction np.linalg.eigvalsh. Quelle valeur de $\tau^*$ l'estimation ci-dessus donne-t-elle?
# <completer>
Q3) Écrire une boucle réalisant l'algorithme du gradient projeté (pour $1\leq k\leq 500$), et stockant le vecteur $G=(\nr{x^{(k+1)} - x^{(k)}})$ (comme il s'agit d'un algorithme de point fixe, c'est une bonne manière de quantifier la convergence). Tracer la solution $x \in \Rsp^N$ trouvée toutes les 20 itérations (on suggère plt.plot(T,x)). Tester pour $\tau = \tau^*$. En pratique, vérifier que l'algorithme converge toujours $\tau=0.5$ mais diverge pour $\tau$ trop grand.
# <completer>
Q4) Comme $\nabla J(x) = Qx$, l'algorithme peut en fait être décrit par
$$ \begin{cases} x^{(0)} \in \Rsp^N\\ x^{(k+1)} = P_K(A_\tau x^{(k)}) \end{cases} $$où $A_\tau = \mathrm{Id}_N - \tau Q$. Montrer que si toutes les valeurs propres de $A_\tau$ sont de module $<1$, alors l'application $x\mapsto A_\tau x$ est contractante. Vérifier numériquement ce critère pour $\tau=0.5$ (on utilisera np.linalg.eigvalsh pour calculer les valeurs propres).
# <completer>
Une autre manière d'approcher la solution d'un problème d'optimisation sous contrainte consiste à pénaliser la violation des contraintes. Plus précisément, on rajoute à la fonctionnelle $J$ un terme par contrainte d'inégalité $x_i >= F_i$, de la forme $P_i(x) = \frac{1}{\eps} \max(F_i - x_i, 0)^2$ où $\eps>0$:
Ainsi, on considère le problème de minimisation
$$P_\eps := \min_{x\in\Rsp^N} J_\eps(x) \hbox{ où } J_\eps(x) = J(x) + \frac{1}{\eps} \sum_{1\leq i\leq N} \max(F_i - x_i,0)^2. $$on admettra que
$$\nabla J_\eps(x) = \nabla J(x) - \frac{2}{\eps} \sum_{1\leq i\leq N} \max(F_i - x_i, 0) e_i $$Q1) Écrire deux fonctions Jeps
/gradJeps
calculant $J_\eps/\nabla J_\eps$. Vérifier le calcul du gradient en utilisant verifier_gradient
.
def Jeps(x,eps):
# <completer>
def gradJeps(x,eps):
# <completer>
x0 = np.random.rand(N)
verifier_gradient(lambda x: Jeps(x,1),
lambda x: gradJeps(x,1),
x0)
Q2) Résoudre le problème $P_\eps$ par descente de gradient avec rebroussement (on fournit la fonction gradient_armijo
) pour $\eps=1,0.1,0.01,0.001$. Interpréter l'explosion du nombre d'itérations.
def rebroussement_armijo(f,x,d,m,alpha=0.3,beta=0.5):
t = 1
while f(x+t*d) > f(x) + alpha*t*m:
t = beta*t
return t
def gradient_armijo(f,g,x0,err=1e-5,maxiter=2000):
x = x0.copy()
fiter = []
giter = []
k = 0 # nombre d'itérations
while(True):
k = k+1
if k > maxiter: # maximum de 10^6 itérations
print('erreur: nombre maximum d\'itérations atteint')
break
d = -g(x)
fiter.append(f(x))
giter.append(np.linalg.norm(d))
if np.linalg.norm(d) <= err:
break
t = rebroussement_armijo(f,x,d,-np.linalg.norm(d)**2)
#if k%10==0: # on affiche des informations toute les 20 itérations
# print('iteration %d: f=%f, |g|=%f, step=%f' % (k, f(x), np.linalg.norm(d),t))
x = x + t*d
return x,np.array(fiter),np.array(giter)
# <completer>