In [2]:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def log_1(t):
    if t <= 0:
        return -float("inf")
    return np.log(t)
log = np.vectorize(log_1)

# comme en TP, on fournit des fonctions permettant de vérifier le gradient et/ou la hessienne
def verifier_gradient(f,gradf,x0):
    N = len(x0)
    gg = np.zeros(N)
    for i in range(N):
        eps = 1e-5
        e = np.zeros(N)
        e[i] = eps
        gg[i] = (f(x0+e) - f(x0-e))/(2*eps)
    print('erreur numérique dans le calcul du gradient: %g (doit être petit)' % np.linalg.norm(gradf(x0)-gg))
    
def verifier_hessienne(gradf,hessf,x0):
    N = len(x0)
    H = np.zeros((N,N))
    for i in range(N):
        eps = 1e-5
        e = np.zeros(N)
        e[i] = eps
        H[i,:] = (gradf(x0+e) - gradf(x0-e))/(2*eps)
    print('erreur numerique dans le calcul de la hessienne: %g (doit etre petit)' % np.sum((H-hessf(x0)))**2)
    
# on donne également la fonction pas_armijo/gradient_armijo
def pas_armijo(f,gradf,x,v):
    t = 1
    m = np.dot(v,gradf(x))
    alpha=0.3
    beta=0.5
    while f(x+t*v) > f(x) + alpha*t*m:
        t = beta*t
    return t

def gradient_armijo(f,gradf,x0,err=1e-4):
    x = x0
    G = []
    k = 0 
    maxiter = 200
    while(True): 
        k = k+1
        if k > maxiter:
            print('erreur: nombre maximum d\'itérations atteint')
            break
        # calcul de d, t, 
        d = -gradf(x)
        G.append(np.linalg.norm(d))
        if np.linalg.norm(d) <= err:
            break
        t = pas_armijo(f,gradf,x,d)
        x = x + t*d
    return x,np.array(G)
$$\newcommand{\eps}{\varepsilon}$$

Partie 1.2 -- Résolution numérique du problème

QN1. Écrire deux fonctions f(x), gradf(x) calculant respectivement $f(x),\nabla f(x)$. (On pourra utiliser la fonction verifier_gradient() pour vérifier le calcul)

  • **Attention, il faut utiliser la fonction `log` définie dans le préambule ci-dessus plutôt que `np.log`**
  • **Vous pouvez utiliser la commande `help` pour obtenir de l'aide sur une fonction i.e. `help(np.dot)`**
In [4]:
# paramètres
z = np.array([8., 1.])
eps = 1e-3

# compléter  
# verifier_gradient(f,gradf,np.random.rand(2)/3)

QN2. La fonction x,G = gradient_armijo(f,gradf,x0) donnée en préambule implémente la descente de gradient avec rebroussement d'Armijo. Elle retourne la solution calculée x et un tableau G contenant $(\|\nabla f (x^{(k)})\|)$. En utilisant cette fonction, tracer sur un même figure et en échelle logarithmique $k\mapsto \|\nabla f (x^{(k)})\|$ en partant de $x^{(0)} = (\frac{1}{4},\frac{1}{4})$, pour plusieurs choix du paramètre $\eps \in \{.1,.01,.001,.0001\}$.

In [ ]:
 

QN3 Écrire une fonction hessf(x) calculant $\mathrm{D}^2 f(x)$. (On pourra utiliser verifier_hessienne() pour vérifier le calcul)

In [1]:
# compléter  
# verifier_hessienne(gradf,hessf,np.random.rand(2)/3)

QN4. Implémenter la méthode de Newton avec rebroussement d'Armijo (appelée (Newton) dans le sujet). La fonction Python x,G = newton_armijo(f,gradf,x0) retournera la solution calculée x et un tableau G contenant $(\|\nabla f (x^{(k)})\|)$. En utilisant cette fonction, tracer en échelle logarithmique $k\mapsto \|\nabla f (x^{(k)})\|$ en partant de $x^{(0)} = (\frac{1}{4},\frac{1}{4})$ et pour plusieurs choix du paramètre $\eps \in \{.1,.01,.001,.0001\}$.

(On pourra utiliser la fonction np.linalg.solve pour résoudre un système linéaire ou np.linalg.inv pour inverser une matrice)

In [ ]:
 

**Ce fichier doit être enregistré dans le répertoire `reMise_copie` situé sur le bureau, et nommé M315-nom-prenom.ipynb**

In [ ]: