In [1]:
from IPython.core.display import HTML
css_file = './custom.css'
HTML(open(css_file, "r").read())
Out[1]:
In [2]:
import sys #only needed to determine Python version number
import matplotlib #only needed to determine Matplotlib version number

print('Python version ' + sys.version)
print('Matplotlib version ' + matplotlib.__version__ )

%reset -f
Python version 3.6.2 |Anaconda custom (64-bit)| (default, Jul 20 2017, 13:51:32) 
[GCC 4.4.7 20120313 (Red Hat 4.4.7-1)]
Matplotlib version 2.1.0

M62_CM1 Rappels sur le langage Python.

In [3]:
# Enable inline plotting
%matplotlib inline 
%autosave 300
Autosaving every 300 seconds

Notions de base de Python


Indentation

Le corps d'un bloc de code (boucles, sous-routines, etc.) est défini par son indentation: l'indentation est une partie intégrante de la syntaxe de Python.

Commentaires

Le symbole dièse # indique le début d'un commentaire: tous les caractères entre # et la fin de la ligne sont ignorés par l'interpréteur.

Variables et affectation

Dans la plupart des langages informatiques, le nom d'une variable représente une valeur d'un type donné stockée dans un emplacement de mémoire fixe. La valeur peut être modifiée, mais pas le type. Ce n'est pas le cas en Python, où les variables sont typées dynamiquement.

In [4]:
b = 2 # b is an integer
print(b)
2
In [5]:
b = b*2.0 # b is a float
print(b)
4.0

L'affectation b = 2 crée une association entre le nom $b$ et le nombre entier $2$. La déclaration b*2.0 évalue l'expression et associe le résultat à $b$; l'association d'origine avec l'entier $2$ est détruite. Maintenant $b$ se réfère à la valeur en virgule flottante $4.0$. Il faut bien prendre garde au fait que l'instruction d'affectation (=) n'a pas la même signification que le symbole d'égalité ($=$) en mathématiques (ceci explique pourquoi l'affectation de $3$ à $x$, qu'en Python s'écrit x = 3, en algorithmique se note souvent $x\leftarrow 3$).

On peut aussi effectuer des affectations parallèles:

In [6]:
a, b = 128, 256
print(a)
print(b)

a,b = b,a
print(a)
print(b)
128
256
256
128

Attention: Python est sensible à la casse. Ainsi, les noms n et N représentent différents objets. Les noms de variables peuvent être non seulement des lettres, mais aussi des mots; ils peuvent contenir des chiffres (à condition toutefois de ne pas commencer par un chiffre), ainsi que certains caractères spéciaux comme le tiret bas _ (appelé underscore en anglais).

Chaîne de caractères (Strings)

Une chaîne de caractères est une séquence de caractères entre guillemets (simples ou doubles). Les chaînes de caractères sont concaténées avec l'opérateur plus +, tandis que l'opérateur : est utilisé pour extraire une portion de la chaîne. Voici un exemple:

In [7]:
string1 = 'Press return to exit'
string2 = 'the program'
print(string1 + ' ' + string2) # Concatenation
print(string1[0:12])# Slicing
Press return to exit the program
Press return

Une chaîne de caractères est un objet immuable, i.e. ses caractères ne peuvent pas être modifiés par une affectation, et sa longueur est fixe. Si on essaye de modifier un caractère d'une chaîne de caractères, Python renvoie une erreur comme dans l'exemple suivant:

In [8]:
s = 'Press return to exit'
#s[0] = 'p' # Décommenter pour voir l'exception

Listes

Une liste est une suite d'objets, rangés dans un certain ordre. Chaque objet est séparé par une virgule et la suite est encadrée par des crochets. Une liste n'est pas forcement homogène: elle peut contenir des objets de types différents les uns des autres. La première manipulation que l'on a besoin d'effectuer sur une liste, c'est d'en extraire et/ou modifier un élément: la syntaxe est ListName[index]. Voici un exemple:

In [9]:
fraise = [12, 10, 18, 7, 15, 3] # Create a list
print(fraise)
fraise[2]
fraise[1] = 11 
print(fraise)
[12, 10, 18, 7, 15, 3]
[12, 11, 18, 7, 15, 3]

En Python, les éléments d'une liste sont indexés à partir de $0$.

In [10]:
fraise[0], fraise[1], fraise[2], fraise[3], fraise[4], fraise[5]
Out[10]:
(12, 11, 18, 7, 15, 3)

Si on tente d'extraire un élément avec un index dépassant la taille de la liste, Python renvoi un message d'erreur:

In [11]:
#fraise[6] # Décommenter pour voir l'exception

On peut extraire une sous-liste en déclarant l'indice de début (inclus) et l'indice de fin (exclu), séparés par deux-points: ListName[i:j], ou encore une sous-liste en déclarant l'indice de début (inclus), l'indice de fin (exclu) et le pas, séparés par des deux-points: ListName[i:j:k].
Cette opération est connue sous le nom de slicing (en anglais).

Un dessin et quelques exemples permettrons de bien comprendre cette opération fort utile:

In [12]:
fraise[2:4]
Out[12]:
[18, 7]
In [13]:
fraise[2:]
Out[13]:
[18, 7, 15, 3]
In [14]:
fraise[:2]
Out[14]:
[12, 11]
In [15]:
fraise[:]
Out[15]:
[12, 11, 18, 7, 15, 3]
In [16]:
fraise[2:5]
Out[16]:
[18, 7, 15]
In [17]:
fraise[2:6]
Out[17]:
[18, 7, 15, 3]
In [18]:
fraise[2:7]
Out[18]:
[18, 7, 15, 3]
In [19]:
fraise[2:6:2]
Out[19]:
[18, 15]
In [20]:
fraise[-2:-4]
Out[20]:
[]
In [21]:
fraise[-4:-2]
Out[21]:
[18, 7]
In [22]:
fraise[-1]
Out[22]:
3

À noter que lorsqu'on utilise des tranches, les dépassements d'indices sont licites.

Voici quelques opérations et méthodes très courantes associées aux listes:

  • a.append(x) ajoute l'élément x en fin de la liste a
  • a.extend(L) ajoute les éléments de la liste L en fin de la liste a, équivaut à a+L
  • a.insert(i,x) ajoute l'élément x en position i de la liste a, équivaut à a[i:i]=x
  • a.remove(x) supprime la première occurrence de l'élément x dans la liste a
  • a.pop([i]) supprime l'élément d'indice i dans la liste a et le renvoi
  • a.index(x) renvoie l'indice de la première occurrence de l'élément x dans la liste a
  • a.count(x) renvoie le nombre d'occurrence de l'élément x dans la liste a
  • a.sort() modifie la liste a en la triant
  • a.reverse() modifie la liste a en inversant les éléments
  • len(a) renvoie le nombre d'éléments de la liste a
  • x in a renvoi True si la liste a contient l'élément x, False sinon
  • x not in a renvoi True si la liste a ne contient pas l'élément x, False sinon
  • max(a) renvoi le plus grand élément de la liste a
  • min(a) renvoi le plus petit élément de la liste a
In [23]:
a = [2, 37, 20, 83, -79, 21] # Create a list
print(a)
[2, 37, 20, 83, -79, 21]
In [24]:
a.append(100) # Append 100 to list
print(a)
[2, 37, 20, 83, -79, 21, 100]
In [25]:
L = [17, 34, 21]
a.extend(L)
print(a)
[2, 37, 20, 83, -79, 21, 100, 17, 34, 21]
In [26]:
a.count(21)
Out[26]:
2
In [27]:
a.remove(21)
In [28]:
print(a)
[2, 37, 20, 83, -79, 100, 17, 34, 21]
In [29]:
a.count(21)
Out[29]:
1
In [30]:
a.pop(4)
Out[30]:
-79
In [31]:
print(a)
[2, 37, 20, 83, 100, 17, 34, 21]
In [32]:
a.index(100)
Out[32]:
4
In [33]:
a.reverse()
In [34]:
print(a)
[21, 34, 17, 100, 83, 20, 37, 2]
In [35]:
a.sort()
In [36]:
print(a)
[2, 17, 20, 21, 34, 37, 83, 100]
In [37]:
len(a) # Determine length of list
Out[37]:
8
In [38]:
a.insert(2,7) # Insert 7 in position 2
In [39]:
print(a)
[2, 17, 7, 20, 21, 34, 37, 83, 100]
In [40]:
a[0] = 21 # Modify selected element
In [41]:
print(a)
[21, 17, 7, 20, 21, 34, 37, 83, 100]
In [42]:
a[2:4] = [-2,-5,-1978] # Modify selected elements
In [43]:
print(a)
[21, 17, -2, -5, -1978, 21, 34, 37, 83, 100]

ATTENTION: si a est une liste, la commande b=a ne crée pas un nouvel objet b mais simplement une référence (pointeur) vers a. Ainsi, tout changement effectué sur b sera répercuté sur a aussi! Pour créer une copie c de la liste a qui soit vraiment indépendante on utilisera la commande deepcopy du module copy comme dans les exemples suivants:

In [44]:
import copy
a = [1.0, 2.0, 3.0]
b = a # 'b' is an alias of 'a'
b[0] = 5.0 # Change 'b'
print(a) # The change is reflected in 'a'
print(b)
[5.0, 2.0, 3.0]
[5.0, 2.0, 3.0]
In [45]:
a = [1.0, 2.0, 3.0]
c = copy.deepcopy(a) # 'c' is an independent copy of 'a'
c[0] = 5.0 # Change 'c'
print(a) # 'a' is not affected by the change
print(c)
[1.0, 2.0, 3.0]
[5.0, 2.0, 3.0]

Qu'est-ce qui se passe lorsque on copie une liste a avec la commande b=a? En effet, une liste fonctionne comme un carnet d'adresses qui contient les emplacements en mémoire des différents éléments de la liste. Lorsque on écrit b=a on dit que b contient les mêmes adresses que a (on dit que les deux listes pointent vers le même objet). Ainsi, lorsqu'on modifie la valeur de l'objet, la modification sera visible depuis les deux alias.

Matrices (sans NumPy)

Les matrices peuvent être représentées comme des listes imbriquées: chaque ligne est un élément d'une liste. Par exemple, le code

In [46]:
a = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]

définit a comme la matrice $3\times3$ $$ \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{pmatrix}. $$ La commande len (comme length) renvoie la longueur d'une liste. On obtient donc le nombre de ligne de la matrice avec len(a) et son nombre de colonnes avec len(a[0]):

In [47]:
print(a)
[[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]
In [48]:
print(a[1]) # Print second row (element 1)
[4, 5, 6]
In [49]:
print(a[1][2]) # Print third element of second row
6
In [50]:
print(len(a))
3
In [51]:
print(len(a[0]))
3

Dans Python les indices commences à zéro, ainsi a[0] indique la première ligne, a[1] la deuxième etc. $$ \mathbb{A}= \begin{pmatrix} a_{00} &a_{01}&a_{02}&\dots\\ a_{10} &a_{11}&a_{12}&\dots\\ \vdots &\vdots&\vdots&\vdots \end{pmatrix} $$

Dictionnaires

Un dictionnaire est une sorte de liste mais au lieu d'utiliser des index, on utilise des clés, c'est à dire des valeurs autres que numériques.

Pour initialiser un dictionnaire, on utile la syntaxe suivante:

In [52]:
a={}

Pour ajouter des valeurs à un dictionnaire il faut indiquer une clé ainsi qu'une valeur:

In [53]:
a["nom"] = "engel"
a["prenom"] = "olivier"
print(a)
{'nom': 'engel', 'prenom': 'olivier'}

La méthode get permet de récupérer une valeur dans un dictionnaire et, si la clé est introuvable, de donner une valeur à retourner par défaut:

In [54]:
data={}
data = {"name": "Olivier", "age": 30}
print(data.get("name"))
print(data.get("adresse", "Adresse inconnue"))
Olivier
Adresse inconnue

Pour vérifier la présence d'une clé on utilise in

In [55]:
"nom" in a
Out[55]:
True
In [56]:
"age" in a
Out[56]:
False

Il est possible de supprimer une entrée en indiquant sa clé, comme pour les listes:

In [57]:
del a["nom"]
print(a)
{'prenom': 'olivier'}
  • Pour récupérer les clés on utilise la méthode keys
  • Pour récupérer les valeurs on utilise la méthode values
  • Pour récupérer les clés et les valeurs en même temps, on utilise la méthode items qui retourne un tuple.
In [58]:
fiche = {"nom":"engel","prenom":"olivier"}

for cle in fiche.keys():
    print(cle)

for valeur in fiche.values():
    print(valeur)

for cle,valeur in fiche.items():
    print(cle, valeur)
nom
prenom
engel
olivier
nom engel
prenom olivier

On peut utiliser des tuples comme clé comme lors de l'utilisation de coordonnées:

In [59]:
b = {}
b[(3,2)]=12
b[(4,5)]=13
b
Out[59]:
{(3, 2): 12, (4, 5): 13}

Comme pour les listes, pour créer une copie indépendante utiliser la méthode copy:

In [60]:
d = {"k1":"olivier", "k2":"engel"}
e = d.copy()
print(d)
print(e)
d["k1"] = "XXX"
print(d)
print(e)
{'k1': 'olivier', 'k2': 'engel'}
{'k1': 'olivier', 'k2': 'engel'}
{'k1': 'XXX', 'k2': 'engel'}
{'k1': 'olivier', 'k2': 'engel'}

 Fonction range

La fonction range crée un itérateur. Au lieu de créer et garder en mémoire une liste d'entiers, cette fonction génère les entiers au fur et à mesure des besoins:

  • range(n) renvoi un itérateur parcourant $0,1,2,\dots,n-1$;
  • range(n,m) renvoi un itérateur parcourant $n,n+1,n+2,\dots,m-1$;
  • range(n,m,p) renvoi un itérateur parcourant $n,n+p,n+2p,\dots,m-1$.
In [61]:
A = range(0,10)
print(A)
range(0, 10)

Pour les afficher on crée une list:

In [62]:
A = list(A)
print(A)
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
In [63]:
print(list(range(0)))
[]
In [64]:
print(list(range(1)))
[0]
In [65]:
print(list(range(3,7)))
[3, 4, 5, 6]
In [66]:
print(list(range(0,20,5)))
[0, 5, 10, 15]
In [67]:
print(list(range(0,20,-5)))
[]
In [68]:
print(list(range(0,-20,-5)))
[0, -5, -10, -15]
In [69]:
print(list(range(20,0,-5)))
[20, 15, 10, 5]

Fonction print

Pour afficher à l'écran des objets on utilise la fonction print(object1, object2, ...) qui convertis object1, object2 en chaînes de caractères et les affiche sur la même ligne séparés par des espace.

In [70]:
a = 12345,6789
b = [2, 4, 6, 8]
print(a,b)
(12345, 6789) [2, 4, 6, 8]

Le retour à la ligne peut être forcé par le caractère \n, la tabulation par le caractère \t.

In [71]:
print("a=", a, "\tb=", b)
print("a=", a, "\nb=", b)
a= (12345, 6789) 	b= [2, 4, 6, 8]
a= (12345, 6789) 
b= [2, 4, 6, 8]

Pour mettre en colonne des nombres on pourra utiliser l'opérateur %: la commande print('%format1, %format2,...' %(n1,n2,...) affiche les nombres n1,n2,... selon les règles %format1, %format2,.... Typiquement on utilise

  • wd pour un entier
  • w.df pour un nombre en notation floating point
  • w.de pour un nombre en notation scientifique

w est la largeur du champ total et d le nombre de chiffres après la virgule.

In [72]:
a = 1234.56789
n = 9876
print('%7.2f' %a)
1234.57
In [73]:
print('n = %6d' %n)
n =   9876
In [74]:
print('n = %06d' %n)
n = 009876
In [75]:
print('%12.3f %6d' %(a,n))
    1234.568   9876
In [76]:
print('%12.4e %6d' %(a,n))
  1.2346e+03   9876

Opérations arithmétiques

  • + Addition
  • - Soustraction
  • * Multiplication
  • / Division
  • ** Exponentiation
  • // Quotient de la division euclidienne
  • % Reste de la division euclidienne
In [77]:
a = 100
b = 17
c = a-b
a,b,c
Out[77]:
(100, 17, 83)
In [78]:
a = 2
c = b+a
a,b,c
Out[78]:
(2, 17, 19)
In [79]:
a = 3
b = 4
c = a
a = b
b = c
a, b, c 
Out[79]:
(4, 3, 3)

Certains de ces opérations sont aussi définies pour les chaînes de caractères et les listes comme dans l'exemple suivant:

In [80]:
s = 'Hello '
t = 'to you'
a = [1, 2, 3]
print(3*s) # Repetition
Hello Hello Hello 
In [81]:
print(3*a) # Repetition
[1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3]
In [82]:
print(a + [4, 5]) # Append elements
[1, 2, 3, 4, 5]
In [83]:
print(s + t) # Concatenation
Hello to you
In [84]:
#print(3 + s) # Décommenter pour voir l'exception

Il existe aussi les opérateurs augmentés:

On écrit Équivaut à
a += b a = a + b
a -= b a = a - b
a *= b a = a * b
a /= b a = a / b
a **= b a = a ** b
a %= b a = a % b

Opérateurs de comparaison et connecteurs logiques

Les opérateurs de comparaison renvoient True si la condition est vérifiée, False sinon. Ces opérateurs sont

On écrit Ça signifie
< $<$
> $>$
<= $\le$
>= $\ge$
== $=$
!= $\neq$
in $\in$

Attention: bien distinguer l'instruction d'affectation = du symbole de comparaison ==.

Pour combiner des conditions complexes (par exemple $x>-2$ et $x^2<5$), on peut combiner des variables booléennes en utilisant les connecteurs logiques:

On écrit Ça signifie
and et
or ou
not non

Deux nombres de type différents (entier, à virgule flottante, etc.) sont convertis en un type commun avant de faire la comparaison. Dans tous les autres cas, deux objets de type différents sont considérés non égaux.

In [85]:
a = 2 # Integer
b = 1.99 # Floating
c = '2' # String
print('a>b?',a>b)
print('a==c?',a==c)
print('(a>b) and (a==c)?',(a>b) and (a==c))
print('(a>b) or (a==c)?',(a>b) or (a==c))
a>b? True
a==c? False
(a>b) and (a==c)? False
(a>b) or (a==c)? True

Fonctions


Supposons de vouloir calculer les images de certains nombres par une fonction polynomiale donnée. Si la fonction en question est un peu longue à saisir, par exemple $f\colon x\mapsto 2x^7-x^6+5x^5-x^4+9x^3+7x^2+8x-1$, il est rapidement fastidieux de la saisir à chaque fois que l'on souhaite calculer l'image d'un nombre par cette fonction.

def

Il est tout à fait possible de définir une fonction (au sens du langage Python) qui ressemble à une fonction mathématique. La syntaxe est la suivante:

def FunctionName(parameters):
    statements
    return values


La déclaration d'une nouvelle fonction commence par le mot-clé def. Ensuite, toujours sur la même ligne, vient le nom de la fonction (ici FunctionName) suivi des paramètres formels de la fonction (ici parameters), placés entre parenthèses, le tout terminé par deux-points (on peut mettre autant de paramètres formels qu'on le souhaite et éventuellement aucun). Une fois la première ligne saisie, on appuie sur la touche Entrée: le curseur passe à la ligne suivante avec une indentation. Si l'instruction return est absente, la fonction renvoi l'objet None.

In [86]:
def f(x):
    return 2*x**7 - x**6 + 5*x**5 - x**4 + 9*x**3 + 7*x**2 + 8*x -1

f(2)
Out[86]:
451

Attention: dès que Python atteint l'instruction return something, il renvoi l'objet something et abandonne aussitôt après l'exécution de la fonction (on parle de code mort pour désigner les lignes qui suivent l'instruction return.

Voici un bêtisier pour mieux comprendre les règles:

  • dans ce premier cas il manque les deux-points en fin de ligne,
In [87]:
#def f(x) # Décommenter pour voir l'exception
  • dans ce deuxième il manque l'indentation,
In [88]:
# Décommenter pour voir l'exception
#def f(x):
#return 2*x**7-x**6+5*x**5-x**4+9*x**3+7*x**2+8*x-1 
  • dans ce troisième il manque le mot return et donc tout appel de la fonction aura comme réponse None,
In [89]:
# Décommenter pour voir l'exception
#def f(x):
#    2*x**7-x**6+5*x**5-x**4+9*x**3+7*x**2+8*x-1
#print(f(2))
  • dans ce quatrième l'instruction print 'Hello' n'est jamais lue par Python car elle apparait après l'instruction return.
In [90]:
def f(x):
	a = 2*x**7-x**6+5*x**5-x**4+9*x**3+7*x**2+8*x-1
	return a
	print('Hello')
    
print(f(2))
451

Attention: les variables définies à l'intérieur d'une fonction ne sont pas visibles depuis l'extérieur de la fonction. On exprime cela en disant qu'une telle variable est locale à la fonction. De plus, si une variable existe déjà avant l'exécution de la fonction, tout se passe comme si, durant l'exécution de la fonction, cette variable était masquée momentanément, puis restituée à la fin de l'exécution de la fonction.

Dans l'exemple suivant, la variable x est une variable locale à la fonction f: crée au cours de l'exécution de la fonction f, elle est supprimée une fois l'exécution terminée:

In [91]:
# Décommenter pour voir l'exception
def f(y):
    x = 2
    return 4.*y

print(f(5))
#print(x)
20.0

Dans l'exemple suivant, la variable x est une variable qui vaut $6$ à l'extérieur de la fonction et $7$ au cours de l'exécution de la fonction f:

In [92]:
x = 6.
def f(y):
    x = 7
    return x*y

print(x)
print(f(1.))
print(x)
6.0
7.0
6.0

Dans l'exemple suivant la fonction derivatives approche les dérivées première et seconde d'une fonction $f$ par les formules \begin{align*} f'(x)&\simeq\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}, & f''(x)&\simeq\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2} \end{align*}

In [93]:
import math
def derivatives(f,x,h):
    df  = (f(x+h)-f(x-h))/(2.*h)
    ddf = (f(x+h)-2.*f(x)+f(x-h))/h**2
    return df,ddf

Si on veut calculer la valeur des dérivées première et seconde de la fonction $x\mapsto\cos(x)$ en $x=\frac{\pi}{2}$ il suffit d'écrire

In [94]:
df, ddf = derivatives(math.cos,math.pi/2,1.0e-5)
print('First derivative =', df)
print('Second derivative =', ddf)
First derivative = -0.9999999999898845
Second derivative = 1.6940658945086004e-11

Attention: si une liste est passée comme paramètre d'une fonction et cette fonction la modifie, cette modification se répercute sur la liste initiale. Si ce n'est pas le résultat voulu, il faut travailler sur une copie de la liste.

In [95]:
def squares(a):
    for i in range(len(a)):
        a[i] = a[i]**2

a = [1,2,3,4]
print(a) 
squares(a)
print(a) 
[1, 2, 3, 4]
[1, 4, 9, 16]

Fonctions Lambda (fonctions anonimes)

Quand on définit la fonction $f\colon x\mapsto 2x$ avec

In [96]:
def f(x):
    return 2*x

on fait deux choses: on crée l'objet «fonction qui a $x$ associe $2x$» et on affecte cet objet à une variable (globale) $f$:

In [97]:
f(3)
Out[97]:
6

On peut aussi créer une fonction sans lui donner de nom, c'est une fonction lambda: la ligne

In [98]:
(lambda x: 2*x)(3)
Out[98]:
6

se lit «fonction qui a $x$ associe $2x$» (i.e. $x\mapsto 2x$) évaluée en $x=3$.

La ligne

In [99]:
g = lambda x: x*2
g(3)
Out[99]:
6

équivaut à

In [100]:
def g(x): 
    return x*2 

g(3)
Out[100]:
6

Les fonctions lambda sont surtout utiles pour passer une fonction en paramètre à une autre (par exemple, pour appliquer la fonction à tous les éléments d'une liste):

In [101]:
m = map(lambda x: x+1, [1, 3, 42])  
list(m)
Out[101]:
[2, 4, 43]

Une fonction lambda peut avoir plusieurs paramètres:

In [102]:
somme = lambda x,y : x + y
somme(10, 3)  
Out[102]:
13

Pour éviter la tentation de code illisible, Python limite les fonctions lambda: une seule ligne et return implicite. Si on veut écrire des choses plus compliquées, on utilise def (on peut toujours). Même avec ces limitations, on peut souvent s'en sortir. Par exemple

In [103]:
def abs_avec_def(x):
    if x >= 0:
        return x
    else:
        return -x
list(map(abs_avec_def, [-1, 0, 42]))  
Out[103]:
[1, 0, 42]

est équivalent à

In [104]:
list(map(lambda x: x if x >= 0 else -x, [-1, 0, 42]))  
Out[104]:
[1, 0, 42]

Cependant, dans des nombreuses situations il sera plus simple d'utiliser les list-comprehensions.

List-comprehensions

Les listes définies par compréhension permettent de générer des listes de manière très concise sans avoir à utiliser des boucles. La syntaxe pour définir une liste par compréhension est très proche de celle utilisée en mathématiques pour définir un ensemble:

  • en mathématiques: $\big\{\ f(x)\ \big|\ x\in E\ \big\}$
  • en python: [f(x) for x in E]
In [105]:
liste = [2, 4, 6, 8, 10]
In [106]:
[3*x for x in liste] 
Out[106]:
[6, 12, 18, 24, 30]
In [107]:
[[x,x**3] for x in liste] 
Out[107]:
[[2, 8], [4, 64], [6, 216], [8, 512], [10, 1000]]
In [108]:
[3*x for x in liste if x>5]
Out[108]:
[18, 24, 30]
In [109]:
[3*x for x in liste if x**2<50]
Out[109]:
[6, 12, 18]
In [110]:
liste2 = range(3)
[x*y for x in liste for y in liste2]
Out[110]:
[0, 2, 4, 0, 4, 8, 0, 6, 12, 0, 8, 16, 0, 10, 20]

Le code vu à propos des lambda functions

In [111]:
m = map(lambda x: x+1, [1, 3, 42])  
list(m)
Out[111]:
[2, 4, 43]

équivaut à

In [112]:
[x+1 for x in [1, 3, 42]]
Out[112]:
[2, 4, 43]

Pour un entier $n\in\mathbb{N}$ donné, on calcule la liste de ses diviseurs :

In [113]:
n = 100
[d for d in range(1,n+1) if (n%d==0)]
Out[113]:
[1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100]

Après avoir définie une liste, on affiche d'abord les carrés des éléments de la liste liste donnée, ensuite les nombres paires, enfin les carrés pairs:

In [114]:
liste = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]
print([x**2 for x in liste])
print([x    for x in liste if x % 2 == 0])
print([x**2 for x in liste if x**2 % 2 == 0])
print([x    for x in [a** 2 for a in liste] if x % 2 == 0])
[1, 4, 9, 16, 25, 36, 49]
[2, 4, 6]
[4, 16, 36]
[4, 16, 36]

Structure conditionnelle


Supposons vouloir définir la fonction valeur absolue: $$ \lvert x\rvert =\begin{cases}x&\text{si }x\ge0,\\-x&\text{sinon.}\end{cases} $$ On a besoin d'une instruction qui opère une disjonction de cas. En Python il s'agit de l'instruction de choix introduite par le mot-clé if. La syntaxe est la suivante:

if condition_1: instruction_1.1 instruction_1.2 elif condition_2: instruction_2.1 instruction_2.2 ... else: instruction_n.1 instruction_n.2

condition_1, condition_2... représentent des ensembles d'instructions dont la valeur est True ou False (on les obtient en général en utilisant les opérateurs de comparaison). La première condition condition_i ayant la valeur True entraîne l'exécution des instructions instruction_i.1 et instruction_i.2. Si toutes les conditions sont fausses, les instructions instruction_n.1 et instruction_n.2 sont exécutées.

Bien noter le rôle essentiel de l'indentation qui permet de délimiter chaque bloc d'instructions et la présence des deux points après la condition du choix (mot clé if) et après le mot clé else.

Voici un exemple pour établir si un nombre est positif:

In [115]:
def sign_of(a):
    if a < 0.0:
        sign = 'negative'
    elif a > 0.0:
        sign = 'positive'
    else:
        sign = 'zero'
    return sign

a = 2.0
print ('a is ' + sign_of(a))  
a = -2.0
print ('a is ' + sign_of(a))  
a = 0.0
print ('a is ' + sign_of(a))  
a is positive
a is negative
a is zero

La fonction valeur absolue peut être définie comme suit:

In [116]:
def val_abs(x):
    if x>0:
        return x
    else:
        return -x

print(val_abs(5))
print(val_abs(-5))
5
5

Boucles


Les structure de répétition se classent en deux catégories: les répétitions conditionnelles pour lesquelles le bloc d'instructions est à répéter autant de fois qu'une condition est vérifiée, et les répétitions inconditionnelles pour lesquelles le bloc d'instructions est à répéter un nombre donné de fois.

Bouclewhile: répétition conditionnelle

Le constructeur while a la forme générale suivante (attention à l'indentation et aux deux points):

while condition: instruction_1 instruction_2

condition représente des ensembles d'instructions dont la valeur est True ou False. Tant que la condition condition a la valeur True, on exécute les instructions instruction_i.

Attention: si la condition ne devient jamais fausse, le bloc d'instructions est répété indéfiniment et le programme ne se termine pas.

Voici un exemple pour créer la liste $\left[1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}\right]$:

In [117]:
nMax = 5
n = 1
a = [] # Create empty list
while n<nMax:
    a.append(1.0/n) # Append element to list
    n += 1
print(a)
[1.0, 0.5, 0.3333333333333333, 0.25]

Dans l'exemple suivant on calcul la somme des $n$ premiers entiers:

In [118]:
def somme(n):
    s ,i = 0, 0
    while i<n:
        i += 1
        s += i
    return s
n=100
print(somme(n))
print('En effet n(n+1)/2=',n*(n+1)/2)
5050
En effet n(n+1)/2= 5050.0

 Répétition for

Lorsque l'on souhaite répéter un bloc d'instructions un nombre déterminé de fois, on peut utiliser un compteur actif, c'est-à-dire une variable qui compte le nombre de répétitions et conditionne la sortie de la boucle. C'est la structure introduite par le mot-clé for qui a la forme générale suivante (attention à l'indentation et aux deux points):

for target in sequence: instruction_1 instruction_2

target est le compteur actif et sequence est un itérateur (souvent généré par la fonction range ou une liste ou une chaîne de caractères). Tant que target appartient à sequence, on exécute les instructions instruction_i.

Voici un exemple pour créer la liste $\left[1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}\right]$ avec un itérateur généré par la fonction range:

In [119]:
nMax = 5
a = [] # Create empty list
for n in range(1,nMax):
    a.append(1/n) # Append element to list
print(a)
[1.0, 0.5, 0.3333333333333333, 0.25]

La même avec avec une list-comprhension:

In [120]:
a=[1/n for n in range(1,nMax)]
print(a)
[1.0, 0.5, 0.3333333333333333, 0.25]

Interrompre une boucle: break et continue

L'instruction break sort de la plus petite boucle for ou while englobante.

In [121]:
for i in [1,2,3,4,5]:
    if i==4:
        print("J'ai trouvé")
        break
    print(i)
1
2
3
J'ai trouvé
In [122]:
for lettre in 'Notebook IPython':
    if lettre=='P':
        break
    print(lettre)
N
o
t
e
b
o
o
k
 
I

L'instruction continue continue sur la prochaine itération de la boucle.

In [123]:
a=0
while a<=5:
    a+=1
    if a%2==0:
        continue
    print(a)
print("Boucle terminée")
1
3
5
Boucle terminée

Les instructions de boucle ont une clause else qui est exécutée lorsque la boucle se termine par épuisement de la liste (avec for) ou quand la condition devient fausse (avec while), mais pas quand la boucle est interrompue par une instruction break.

La boucle suivante recherche des nombres premiers:

In [124]:
for n in range(2,10):
    for x in range(2,n):
        if n%x==0:
            print(n, 'egale', x, '*', n/x)
            break # on sort de la boucle 'for' interne
    else:
        print(n, 'est un nombre premier')
2 est un nombre premier
3 est un nombre premier
4 egale 2 * 2.0
5 est un nombre premier
6 egale 2 * 3.0
7 est un nombre premier
8 egale 2 * 4.0
9 egale 3 * 3.0

Modules


Un module est une collection de fonctions. Il y a différents types de modules: ceux qui sont inclus dans la version de Python comme random ou math, ceux que l'on peut rajouter comme numpy ou matplotlib et ceux que l'on peut faire soi-même (il s'agit dans les cas simples d'un fichier Python contenant un ensemble de fonctions).

Pour importer un module, on peut utiliser la commande import ModuleName. Il est alors possible d'obtenir une aide sur le module avec la commande help(ModuleName). La liste des fonctions définies dans un module peut être affichée par la commande dir(ModuleName). Les fonctions s'utilisent sous la forme ModuleName.FunctionName(parameters).

Il est également possible d'importer le contenu du module sous la forme from ModuleName import * et alors les fonctions peuvent être utilisées directement par FunctionName(parameters).

Python offre par défaut une bibliothèque de plus de deux cents modules qui évite d'avoir à réinventer la roue dès que l'on souhaite écrire un programme. Ces modules couvrent des domaines très divers: mathématiques (fonctions mathématiques usuelles, calculs sur les réels, sur les complexes, combinatoire\dots), administration système, programmation réseau, manipulation de fichiers, etc. Ici on en présente seulement quelques-uns, à savoir ce dont on se servira dans les projets.

Le module math

Dans Python seulement quelque fonction mathématique est prédéfinie:

  • abs(a) Valeur absolue de $a$
  • max(suite) Plus grande valeur de la suite
  • min(suite) Plus petite valeur de la suite
  • round(a,n) Arrondi $a$ à $n$ décimales près
  • pow(a,n) Exponentiation, renvoi $a^n$
  • sum(L) Somme des éléments de la suite
  • divmod(a,b) Renvoie quotient et reste de la division de $a$ par $b$
  • cmp(a,b) Renvoie $\begin{cases}-1&\text{si }a<b,\\0&\text{si }a=b,\\1&\text{si }a>b.\end{cases}$
    Toutes les autres fonctions mathématiques sont définies dans le module math. Comme mentionné précédemment, on dispose de plusieurs syntaxes pour importer un module:
In [125]:
import math
print(math.pi)
print(math.sin(math.pi))
print(math.log(1.0))
3.141592653589793
1.2246467991473532e-16
0.0
In [126]:
from math import *
print(pi)
print(sin(pi))
print(log(1.0))
3.141592653589793
1.2246467991473532e-16
0.0

Voici la liste des fonctions définies dans le module math:

In [127]:
import math
dir(math)
Out[127]:
['__doc__',
 '__file__',
 '__loader__',
 '__name__',
 '__package__',
 '__spec__',
 'acos',
 'acosh',
 'asin',
 'asinh',
 'atan',
 'atan2',
 'atanh',
 'ceil',
 'copysign',
 'cos',
 'cosh',
 'degrees',
 'e',
 'erf',
 'erfc',
 'exp',
 'expm1',
 'fabs',
 'factorial',
 'floor',
 'fmod',
 'frexp',
 'fsum',
 'gamma',
 'gcd',
 'hypot',
 'inf',
 'isclose',
 'isfinite',
 'isinf',
 'isnan',
 'ldexp',
 'lgamma',
 'log',
 'log10',
 'log1p',
 'log2',
 'modf',
 'nan',
 'pi',
 'pow',
 'radians',
 'sin',
 'sinh',
 'sqrt',
 'tan',
 'tanh',
 'tau',
 'trunc']

Notons que le module définit les deux constantes $\pi$ (pi) et $e$ (e).

Le module random

Ce module propose diverses fonctions permettant de générer des nombres (pseudo-)aléatoires qui suivent différentes distributions mathématiques. Il apparait assez difficile d'écrire un algorithme qui soit réellement non-déterministe (c'est-à-dire qui produise un résultat totalement imprévisible). Il existe cependant des techniques mathématiques permettant de simuler plus ou moins bien l'effet du hasard. Voici quelques fonctions fournies par ce module:

  • random.randrange(p,n,h) choisit un éléments aléatoirement dans la liste range(p,n,h)
  • random.randint(a,b) choisit un entier aléatoirement dans l'intervalle $[a;b]$
  • random.choice(seq) choisit un éléments aléatoirement dans la liste seq
  • random.random() renvoie un décimal aléatoire dans $[0;1[$
  • random.uniform(a,b) choisit un décimal aléatoire dans $[a;b]$
In [128]:
import random
random.randrange(50,100,5)
Out[128]:
75
In [129]:
random.randint(50,100)
Out[129]:
68
In [130]:
random.choice([1,7,10,11,12,25])
Out[130]:
7
In [131]:
random.random()
Out[131]:
0.8731470716087093
In [132]:
random.uniform(10,20)
Out[132]:
18.420470773729523

Dessiner des courbes avec le module matplotlib


Le tracé de courbes scientifiques peut se faire à l'aide du module matplotlib.
Matplotlib est un package complet; pylab et pyplot sont des modules de matplotlib qui sont installés avec matplotlib.
Pylab associe les fonctions de pyplot (pour les tracés) avec les fonctionnalité du module numpy pour obtenir un environnement très proche de celui de MATLAB.

On peut écrire et exécuter des script Python (qui utilisent Matplotlib) en ligne à l'adresse https://trinket.io/python/a8645625fd
Pour l'utiliser, on peut importer le module pylab.

La référence complète de matplotlib est lisible à l'adresse: http://matplotlib.sourceforge.net/matplotlib.pylab.html Il est en particulier recommandé de regarder les screenshots (captures d'écrans), qui sont donnés avec le code utilisé pour les générer.

Vous pouvez consulter aussi

1D

Pour tracer le graphe d'une fonction $f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$, Python a besoin d'une grille de points $x_i$ où évaluer la fonction, ensuite il relie entre eux les points $(x_i,f(x_i))$ par des segments. Plus les points sont nombreux, plus le graphe est proche du graphe de la fonction $f$. Pour générer les points $x_i$ on peut utiliser

  • l'instruction linspace(a,b,n+1) qui construit la liste de $n+1$ éléments $$ \left[a,a+h,a+2h,\dots,b=a+nh\right] \quad\text{avec } h=\frac{b-a}{n} $$
  • ou l'instruction arange(a,b,h) qui construit la liste de $n=E(\frac{b-a}{h})+1$ éléments $$ \left[a,a+h,a+2h,\dots,a+nh\right] $$ Voici un exemple avec une sinusoïde:
In [133]:
%matplotlib inline
from matplotlib.pylab import *
x = linspace(-5,5,101) # x = [-5,-4.9,-4.8,...,5] with 101 elements
y = sin(x) # operation is broadcasted to all elements of the array
plot(x,y);
#show()

ou encore

In [134]:
from matplotlib.pylab import *
x = arange(-5,5,0.1) # x = [-5,-4.9,-4.8,...,5] with 101 elements
y = sin(x) # operation is broadcasted to all elements of the array
plot(x,y);
# show()

On obtient une courbe sur laquelle on peut zoomer, modifier les marge et sauvegarder dans différents formats.

Plusieurs courbes sur le même repère

On peut même tracer plusieurs courbes sur la même figure. Par exemple, dans la figure suivante, on a tracé la même fonction: la courbe bleu correspond à la grille la plus grossière, la courbe rouge correspond à la grille la plus fine:

In [135]:
from matplotlib.pylab import *
a = linspace(-5,5,5) 
fa = sin(a) # matplotlib importe numpy qui redefinie les fonctions de base pour pouvoir les appliquer a un vecteur
plot(a,fa,'b-',label="$f(a)$");
b = linspace(-5,5,101) 
fb = sin(b) 
plot(b,fb,'r-.',label="$f(b)$" );
legend();

Pour tracer plusieurs courbes sur le même repère, on peut les mettre les unes à la suite des autres en spécifiant la couleur et le type de trait, changer les étiquettes des axes, donner un titre, ajouter une grille, une légende etc.

Par exemple, dans le code ci-dessous "r-" indique que la première courbe est à tracer en rouge (red) avec un trait continu, et "g." que la deuxième est à tracer en vert (green) avec des points.

In [136]:
from matplotlib.pylab import *
x = linspace(-5,5,101) 
y1 = sin(x)            
y2 = cos(x)
plot(x,y1,"r-",x,y2,"g.")
legend(['sinus','cosinus'])
xlabel('abscisses')
ylabel('ordonnees')
title('Comparaison de sin(x) et cos(x)')
grid(True)

Quelques options de pylab:

Line style Color Symbols
- solid line b blue v triangle down symbols
-- dashed line r red > triangle right symbols
: dotted line m magenta + plus symbols
-. dash-dot line k black D diamond symbols
. points g green , pixels
o filled circles c cyan < triangle left symbols
^ filled triangles up y yellow s square symbols
w white x cross symbols
* star symbols

On peut déplacer la légende en spécifiant l'une des valeurs suivantes:

best, upper right, upper left, lower right, lower left, center right, center left, lower center, upper center, center:

In [137]:
from matplotlib.pylab import *
x = arange(-pi,pi,0.05*pi)
plot(x,sin(x),'co',x,cos(x),'mD')
legend(['sinus','cosinus'],loc='upper left')
axis([-pi, pi, -1, 1]) # axis([xmin, xmax, ymin, ymax])
Out[137]:
[-3.141592653589793, 3.141592653589793, -1, 1]
In [138]:
from matplotlib.pylab import *

a = linspace(-5,5,5) 
fa = sin(a) 
plot(a,fa,ls='--', lw=3, color="blue", label=r"$f(a)$")
b = linspace(-5,5,10) 
fb = sin(b) 
plot(b,fb,ls='--', lw=2.0, color="orange", label=r"$f(b)$")
c = linspace(-5,5,101) 
fc = sin(c) 
plot(c,fc,ls='-.', lw=0.5, color="green", label=r"$f(c)$")

plot([0], [0.5], lw=0.5, marker='o', color="cyan")
text(0, 0.6,r"$\sigma_i$", horizontalalignment='center', fontsize=20)

xlim(-5, 5)
ylim(-1, 1)
yticks([-1, -0.5, 0, 1])
xticks([-4, -2, 0, 2])

xlabel("$x$", fontsize=18)
ylabel("$y$", fontsize=18)

legend(bbox_to_anchor=(1.04,1),loc='upper left', ncol=1, fontsize=14, frameon=False);

Plusieurs "fenêtres" graphiques

On génère deux fenêtres contenant chacune un graphe:

In [139]:
from matplotlib.pylab import *
x = arange(-pi,pi,0.05*pi)
figure(1)
plot(x, sin(x), 'r')
figure(2)
plot(x, cos(x), 'g')
Out[139]:
[<matplotlib.lines.Line2D at 0x7fa60844f240>]

Plusieurs repères dans la même fenêtre

La fonction subplot(x,y,z) subdivise la figure sous forme d'une matrice (x,y) et chaque case est numérotée, z étant le numéro de la case où afficher le graphe. La numérotation se fait de gauche à droite, puis de haut en bas, en commençant par $1$.

In [140]:
from matplotlib.pylab import *
x = arange(-pi,pi,0.05*pi)

figure(figsize=(10, 10), facecolor="#f1f1f1")
# axes coordinates as fractions of the canvas width and height
#left, bottom, width, height = 0.1, 0.1, 0.8, 0.8
#axes((left, bottom, width, height), facecolor="#e1e1e1")

subplot(4,3,1)
plot(x, sin(x), 'r')
subplot(4,3,5)
plot(x, cos(x), 'g')
subplot(4,3,9)
plot(x, x*x, 'b')
subplot(4,3,12)
plot(x, exp(-x*x), 'm')
Out[140]:
[<matplotlib.lines.Line2D at 0x7fa608367588>]

Animations

Pour afficher une animation on utilisera le module animation de matplotlib. Voici un exemple avec deux méthodes différentes : la première utilise la commande magique %matplotlib inline, la deuxième la commande magique %matplotlib notebook qui permet d'intéragir avec l'animation.

In [141]:
%reset -f
%matplotlib inline

from matplotlib.pylab import *
import matplotlib.animation as animation
from IPython.display import display, clear_output

fig = figure()
axis([0,3,-1,1])
line, = plot([],[],lw=2) 

x = linspace(0,3,100)
animate = lambda i: line.set_data(x, cos(2*pi*(x-0.01*i)))

# CI
plot(x,cos(2*pi*x))

# Marche en temps
for i in range(len(x)):
    animate(i)
    clear_output(wait=True)
    display(fig)
clear_output(wait=True)
In [142]:
%reset -f
%matplotlib notebook
%matplotlib notebook
from matplotlib.pylab import *
from matplotlib import animation

x = linspace(0,3,100)

# First set up the figure, the axis, and the plot element we want to animate
fig = figure() # initialise la figure
line, = plot([],[],lw=2) 
axis([0,3,-1,1])

# Define the initialization function, which plots the background of each frame:
# init = lambda : plot([],[]) 
init = lambda : plot(x,cos(2*pi*x))

# Define the animation function, which is called for each new frame:
animate = lambda i: line.set_data(x,cos(2*pi*(x-0.01*i)))

# call the animator. blit=True means only re-draw the parts that have changed. 
ani = animation.FuncAnimation(fig, animate, init_func=init, frames=100, blit=False, interval=20, repeat=False)

# Eventually
# from IPython.display import HTML, Image
# ani.save('animation.gif', writer='imagemagick', fps=60)
# Image(url='animation.gif')
Traceback (most recent call last):
  File "/home/minnolina/anaconda3/lib/python3.6/site-packages/matplotlib/cbook/__init__.py", line 389, in process
    proxy(*args, **kwargs)
  File "/home/minnolina/anaconda3/lib/python3.6/site-packages/matplotlib/cbook/__init__.py", line 227, in __call__
    return mtd(*args, **kwargs)
  File "/home/minnolina/anaconda3/lib/python3.6/site-packages/matplotlib/animation.py", line 1560, in _stop
    self.event_source.remove_callback(self._loop_delay)
AttributeError: 'NoneType' object has no attribute 'remove_callback'

2D

La représentation graphique de l’évolution d’une fonction $f$ de deux variables $x$ et $y$ n'est pas une tâche facile, surtout si le graphique en question est destiné à être imprimé. Dans ce type de cas, un graphe faisant apparaître les lignes de niveaux de la fonction en question peut être une solution intéressante et lisible. Commençons donc par considérer l'exemple simple d'une fonction de la forme: $$ f(x,y)= \frac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2} $$

Le tracé de cette fonction en courbes de niveaux va nécessiter la création d’un maillage bidimensionnel permettant de stocker l’intervalle de chacune des variables. La fonction destinée à cela s’appelle meshgrid (incluse dans le module NumPy). On construit donc le maillage en question sur le rectangle $[-5;5]\times[-5;5]$. La fonction meshgrid fait appel dans ce cas à deux fonctions linspace pour chacune des variables. z est ici un objet array qui contient les valeurs de la fonction $f$ sur chaque nœud du maillage.

In [143]:
%matplotlib inline
from matplotlib.pylab import *
x=linspace(-2*pi,2*pi,200)
y=linspace(-2*pi,2*pi,200)
xx,yy = meshgrid(x,y)
z = sin(xx**2 + yy**2) / (xx**2 + yy**2)
In [144]:
imshow(z);

Pour tracer l’évolution de $f$ en lignes de niveaux on utilisera les fonctionscontour et contourf avec comme arguments les variables x et y, les valeurs de z correspondantes (et eventuellement le nombre de lignes de niveaux choisit).

In [145]:
h = contour(x,y,z)
In [146]:
h = contour(x,y,z,20)
In [147]:
h = contourf(x,y,z,20)

Par défaut, ces courbes de niveaux sont colorées en fonction de leur altitude $z$ correspondante.

S’il n’est pas possible d’utiliser de la couleur, on peut imposer une couleur uniforme pour le graphe et utiliser des labels sur les lignes de niveaux afin de repérer leurs altitudes. La fonction en question s’appelle clabel et prend comme principal argument la variable graphe précédente. La première option inline=1 impose d’écrire les valeurs sur les lignes de niveaux, les deux options suivantes gérant la taille de la police utilisée et le format d’écriture des valeurs.

In [148]:
x=linspace(-2,2,101)
y=linspace(-2,2,101)
xx,yy = meshgrid(x,y)
z = xx**2 + yy**2
graphe4 = contour(x,y,z,8,colors='grey')
clabel(graphe4,inline=1,fontsize=10,fmt='%1.4f')
Out[148]:
<a list of 15 text.Text objects>

Pour visualiser un champ de vecteur on pourra utiliser streamplot:

In [149]:
x=linspace(-2,2,101)
y=linspace(-2,2,101)
xx,yy = meshgrid(x,y)
z = xx**2 + yy**2
dx = 2*xx
dy = 2*yy
speed = sqrt(dx*dx+dy*dy)
streamplot(xx, yy, dx, dy, density=1.2, color=speed, linewidth=2*speed / speed.max())
Out[149]:
<matplotlib.streamplot.StreamplotSet at 0x7fa60861e908>