On considère la propagation d'une onde électromagnétique entre deux plans conducteurs parfaits $y=0$ et $y=a$. On suppose l'onde polarisée suivant $\vec{u}_z$ et on cherche des solutions de l'équation de d'Alembert sous la forme:
$$\vec{\underline{E}}=\left[ Ae^{{\rm i}k_2 y} +Be^{-{\rm i}k_2 y} \right] e^{{\rm i}(\omega t - k_1 x)} \vec{u}_z=E_z(x,y,z,t)\vec{u}_z$$La composante tangentielle du champ électrique s'annule à la surface du conducteur. Cela impose les deux conditions aux limites:
$\forall t \quad \forall x \quad \forall z$
$E_z(x,0,z,t)=0$
$E_z(x,a,z,t)=0$
On en déduit
$$\vec{\underline{E}}=-2A\sin(n\frac{\pi}{a}y)\sin(\omega t - k_1 x)\vec{u}_z \quad n\in \mathbb{N}^*$$avec $k_1=\sqrt{\left(\frac{\omega}{c}\right)^2-n^2\frac{\pi^2}{a^2}}$
%display latex
a=0.1
omega=2*pi*5*10^9 # on prend une fréquence de 5 GHz (deux modes possible: 1 et 2)
c=3e8
var('x,y,n,t')
k1=sqrt((omega/c)^2-(n*pi/a)^2);k1
Ez(x,y,n,t)=-0.02*sin(n*pi*y/a)*sin(omega*t-k1(n)*x);Ez
borne1=2*pi/k1(1)
plot3d(Ez(x,y,1,0), (x,0,3*borne1) ,(y,0,a))
T=2*pi/omega
mode1=animate([plot3d(Ez(x,y,1,k*0.05*T), (x,0,3*borne1) ,(y,0,a),
axes_labels=['x','y','Ez']) for k in range(20)]).interactive()
show(mode1,delay=5)
borne2=2*pi/k1(2)
mode2=animate([plot3d(Ez(x,y,2,k*0.05*T), (x,0,3*borne2) ,(y,0,a),
axes_labels=['x','y','Ez']) for k in range(20)]).interactive()
show(mode2,delay=5)