Euler introduziu o uso da função exponencial e logaritmos em provas analíticas. Ele descobriu maneiras de expressar várias funções logarítmicas usando séries de potências e definiu logaritmos com sucesso para números negativos e complexos, expandindo muito o escopo das aplicações matemáticas dos logaritmos. Ele também definiu a função exponencial para números complexos e descobriu sua relação com as funções trigonométricas.
A Equação de Euler, também conhecida como identidade de Euler, é frequentemente citada como um exemplo de profunda beleza matemática.
Ela é representada pela igualdade:
\begin{equation} e^{i\pi} + 1 = 0\end{equation}Em que:
Na Equação de Euler, três das operações aritméticas básicas ocorrem exatamente uma vez cada: adição, multiplicação e exponenciação. A identidade também vincula cinco constantes matemáticas fundamentais:
Fundamentalmente a Identidade de Euler afirma que $e^{i \pi}$ é igual a $-1$. A expressão $e^{i \pi}$ é um caso especial da expressão $e^z$, onde $z$ pode ser qualquer número complexo. Em geral, $e^z$ é definido para o complexo $z$ estendendo uma das definições da função exponencial de expoentes reais para expoentes complexos.
Por exemplo, uma definição comum é
\begin{equation} e^z = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{{z}}{{n}}\right)^n\end{equation}A Identidade de Euler então afirma que o limite, ao $n$ aproximar o infinito, de $(1 + \frac{i \pi}{n})^n$ é igual a $-1$.
Para compreendermos melhor essa ideia do limite, podemos observar a seguinte animação:
A Identidade de Euler é considerada um caso especial da fórmula de Euler, ao qual afirma que para qualquer número real $x$:
\begin{equation} e^{i\theta} = \cos{\theta} + i\sin{\theta}\end{equation}Onde os dados de entrada das funções trigonométricas seno e cosseno são dados em radianos. Em particular, quando $x = \pi$:
\begin{equation} e^{i\theta} = \cos{\pi} + i\sin{\pi}\end{equation}Sabemos que:
\begin{equation}\cos{\pi} = -1\end{equation}\begin{equation}\sin{\pi} = 0\end{equation}Então temos que:
\begin{equation}e^{i\pi} = -1 + 0i\end{equation}Que nos leva até a Identidade de Euler:
\begin{equation} e^{i\pi} + 1 = 0\end{equation}Ao qual nos mostra a surpreendente conexão entre cinco dos mais significantes números da Matemática.
Existem muitas provas para a Identidade de Euler, neste caso específico utilizaremos a prova com a série de Taylor, com a biblioteca SymPy.
A ideia básica da série de Taylor é que muitas (porém, nem todas) funções na linha real podem ser representadas por polinômios de grau infinito. O mais conhecido exemplo de uma série de Taylor é a soma da série geométrica:
\begin{equation}\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 ...\end{equation}para $|x| < 1$
Podemos ilustrar essa soma em SymPy da seguinte maneira:
import sympy as sym
sym.init_printing()
x = sym.Symbol('x')
sym.series(1 / (1 - x))
O termo:
sym.Order(x**6)
Ele indica que todos os termos omitidos possuem um grau maior que ou igual a 6. Naturalmente, SymPy pode apenas calcular muitos termos finitos de funções de série de Taylor. Nós podemos controlar o número de termos da série de Taylor calculada por SymPy ao passarmos o argumento opcional n para sympy.series. Por exemplo, nós podemos calcular os 10 primeiros termos da série geométrica da seguinte maneira:
sym.series(1 / (1 - x), n=10)
Nós agora alteramos nossa atenção para a Fórmula de Euler ao definirmos a variável $\theta$:
theta = sym.Symbol('\\theta', real=True)
theta
Também definimos funções para calcularmos a série de Taylor de $\sin{\theta}$ e $\cos{\theta}$ para qualquer grau de n.
def sin_series(n):
return sym.series(sym.sin(theta), n=n)
def cos_series(n):
return sym.series(sym.cos(theta), n=n)
Os termos iniciais para a série de $\sin{\theta}$ são:
n = 10
sin_series(n)
Os termos iniciais para a série de $\cos{\theta}$ são:
cos_series(n)
Vamos comparar essas duas séries com $e^{i\theta}$:
def exp_series(n):
return sym.series(sym.exp(sym.I * theta), n=n)
exp_series(n)
A ideia chave por trás dessa prova da Fórmula de Euler é que os termos dessa soma contendo $i$ são idênticos (à parte de $i$) ao termos da série de Taylor para $\sin{\theta}$. Similarmente, os termos não contendo $i$ são idênticos aos termos da série de Taylor de $\cos{\theta}$.
Nós podemos ver isso com mais clareza ao pedirmos para SymPy coletar os termos contendo $i$:
sym.collect(exp_series(n), sym.I)
Imediatamente podemos reconhecer essa expresão como $\cos{\theta} + i\sin{\theta}$.
Além dessa inspeção visual, SymPy torna ligeiramente fácil a verificação se a série de Taylor está de acordo com quantidade grande de número de termos.
N = 100
sym.simplify(exp_series(N) - (cos_series(N) + sym.I * sin_series(N)))