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地学実験II 〜大気の運動を理解するための計算機実習〜¶

京都大学防災研究所榎本剛¶

2017年8月21〜22日¶

実習1 地球大気の成り立ちと大気大循環¶

地球大気の鉛直構造¶

地球大気は，下から対流圏（troposphere），成層圏（stratosphere），中間圏（mesosphere），熱圏（thermosphere）に分けられる。高度約11~kmまでを対流圏と呼び，気温は1~kmつき6.5 $^\circ$ C下がる。対流圏では，空気は上下によくかき混ぜられている。成層圏下部では気温の高度変化が少なく，高度20~kmから約50~kmではオゾンが紫外線を吸収するために，気温が高さとともに上昇している。対流圏，成層圏，中間圏の上端をそれぞれ対流圏界面（tropopause），成層圏界面（stratopause），中間圏界面（mesopause）と呼ぶ。

国際（米国）標準大気に基づいて気温の高度分布を描いてみよう。

In [1]:

import matplotlib.pyplot as plt
T = [15.0, -56.5, -56.5, -44.5, -2.5, -2.5, -58.5, -86.2]
h = [0., 11, 20., 32., 47, 51., 71, 84.852]
plt.plot(T, h)
plt.show()

地球大気の組成¶

地球大気の組成を次の表に示す。この表にある数値から乾燥大気の平均分子量を計算してみよう。

成分	分子量	容積比	重量比
窒素 N $_2$	28.013	78.08%	75.53%
酸素 O $_2$	32.000	20.95%	23.15%
アルゴン A $_\mathrm{r}$	39.95	0.93%	1.283%
水蒸気 H $_2$ O	18.02	0〜5%	0〜3%
二酸化炭素 CO $_2$	44.01	380 ppm	557 ppm
ネオン N $_\mathrm{e}$	20.18	18 ppm	12.5 ppm
ヘリウム H $_\mathrm{e}$	4.00	5 ppm	0.7 ppm
メタン CH $_4$	16.04	1.75 ppm	0.944 ppm
クリプトン K $_\mathrm{r}$	83.80	1 ppm	3 ppm
水素 H $_2$	2.02	0.5 ppm	0.03 ppm
亜酸化窒素 N $_2$ O	56.03	0.3 ppm	0.6 ppm
オゾン O $_3$	48.00	0〜0.1 ppm	0〜0.2 ppm

平均分子量は重量比を $m$ ，分子量を $M$ とすると

$\bar{M} = \frac{\sum_i m_i}{\sum_i m_i/M_i}$ と定義される。

$\sum_i m_i = 1$ kgに対して，上位3つの成分の分子量をそれぞれ28, 32, 40とし重量比が75.5%, 23.2%, 1.3%とすると次のように計算される。

In [2]:

1/(0.755/28 + 0.232/32 + 0.013/40)

Out[2]:

28.952538517216418

平均分子量の定義の分母がキロモル分子量 $n=m/M$ であることに着目すると

$\bar{M} = \frac{\sum_i n_i M_i}{\sum_i n_i}$

$\sum_i n_i=1$ molに対する

$n_i$ は容積比を表すので，平均分子量は分子量を容積比で重み付き平均したものになる。上位3つの成分の容積比がそれぞれ78%, 21%, 1%とすると次のように計算できる。

In [3]:

28 * 0.78 + 32 * 0.21 + 40 * 0.01 

Out[3]:

28.959999999999997

太陽放射と地球放射¶

入ってきた全ての放射を完全に吸収する仮想的な物体を黒体（black body）と呼ぶ。次に示すWienの変位則は，黒体放射の極大値をとる波長が温度とともに短くなることを示す。

$\lambda_\mathrm{m}T = 2897$ 太陽放射の極大値が0.5

$\mu$ mであるとすると太陽の温度は

In [4]:

def calc_T_wien(l):
    lT = 2897
    return lT / l
calc_T_wien(0.5)

Out[4]:

5794.0

Wienの変位則は次のPlanck函数から求めたものである。

$B_{\lambda}(T) = \frac{c_1}{\lambda^5\pi(\exp(c_2/\lambda T) - 1)}$ ここで

$c_1 = 2\pi c^2h$ Wm

$^2$ ,

$c_2 = chk^{-1}$ mK, 光速

$c = 2.998\times 10^8$ ms

$^{-1}$ , Planck定数

$h = 6.626\times 10^{-34}$ Js, Boltzmann定数

$k = 1.381\times 10^{-23}$ JK

$^{-1}$ である。波長

$\lambda$ に対して

$\lambda B_\lambda(T)$ を描いてみよう。

In [5]:

from scipy.constants import pi, c, h, k
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def l_planck_func(l, T):
    c1 = 2 * pi * c**2 * h 
    c2 = c * h / k
    return c1 * l**-4 / (pi * (np.exp(c2/(l * T))-1))

l = np.logspace(-1, 2)
lw = l_planck_func(l * 1e-6, 255)
sw = l_planck_func(l * 1e-6, 6000)
print(sw.max(), lw.max(), sw.max()/lw.max())

lw = lw / lw.max()
sw = sw / sw.max()

plt.semilogx(l, lw)
plt.semilogx(l, sw)

plt.show()

17202714.1756 56.0440591025 306949.825745

この黒体スペクトルは最大値で規格化されている。太陽放射に対する最大値は30万倍以上大きいことが分かる。