import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
plt.style.use('ggplot')
plt.rcParams['figure.figsize'] = (10,6)
# Для кириллицы на графиках
font = {'family': 'Verdana',
'weight': 'normal'}
plt.rc('font', **font)
try:
from ipywidgets import interact, IntSlider, fixed
except ImportError:
print u'Так надо'
На прошлом семинаре мы рассматривали модели регрессии - случай, в котором необходимо было предсказать вещественную переменную $y \in \mathbb{R}^n$ (Стоимость автомобиля, стоимость жилья, размер мозга, объемы продаж и тп.)
В задаче классификации переменная $y$ - содержит метку принадлежности к классу, как, например, это было в задаче с наивным байесом - категорию текстов. Частный случай задачи классификации - бинарная классификация $y = \{-1, 1\}$. Например: является ли клиент банка кредитоспособным, доброкачественная ли опухоль, сообщение - SPAM или HAM?
Спрашивается, почему бы нам не взять, да и построить обычную регрессию на метки класса $y$?
Загрузите данные о кредитовании. Они достаточно сильно анонимизированны и еще не до конца подходят для применения, но сейчас это нам не помешает. Постройте график наблюдений в координатах y
и a15
df = pd.read_csv('crx.data',index_col=None)
df.head()
df.plot(x='a15', y='y', kind='scatter')
Почему бы не обучить по этим данным регрессию, предстказывающую значение $y$? Да потому что это бред не очень корректно!
Нам надо найти уравнение прямой (гиперплоскости), которая бы могла разделить два класса ($H_2$ и $H_3$ подходят). В данном случае, уравнение прямой задаётся как: $$g(x) = w_0 + w_1x_1 + w_2x_2 = \langle w, x \rangle = w^\top x$$
Некоторые геометрические особенности
Если для какого-то объекта $M \geq 0$, то его классификация выполнена успешно.
Отлично! Значит нам надо просто минимизировать ошибки классификации для всех объектов:
$$L(w) = \sum_i [y^{(i)} \langle w, x^{(i)} \rangle < 0] \rightarrow \min_w$$Проблема в том, что это будет комбинаторная оптимизация. Существуют различные аппроксимации этой функции ошибок:
Перед тем как мы начнем, рассмотрим функцию $$\sigma(z) = \frac{1}{1 + exp{(-z)}},$$она называется сигмойда. Постройте данную фукнцию.
# Your code here
def sigmoid(z):
return 1./(1+np.exp(-z))
z = np.arange(-10, 10)
s = sigmoid(z)
plt.plot(z, s)
[<matplotlib.lines.Line2D at 0x10ce78610>]
Можно несколькими способами представить линейную регрессию. Один из самых простых - вот какой.
Рассмотрим принадлежность к классу $y=\pm1$ некого объекта $x$: $p(y=\pm1 | x,w)$ и выразим её через сигмойду от отступа: $$p(y=\pm1|x,w) = \sigma(y \langle w, x \rangle) $$
А ошибка, которую мы будем минимизировать - логарифмическая:
$$L(w) = -\sum_i \log(\sigma(y^{(i)} \langle w, x^{(i)} \rangle)) \rightarrow \min_w$$История с регуляризацией, мультиколлинеарностью и шкалированием признаков здесь полностью повторяется!
Сгенерируем выборку и опробуем логистическую регрессию
np.random.seed(0)
X = np.r_[np.random.randn(20, 2) + [2, 2],
np.random.randn(20, 2) + [-2, -2]]
y = [-1] * 20 + [1] * 20
fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 7))
ax.scatter(X[:, 0],
X[:, 1],
c=y,
cmap=plt.cm.Paired)
<matplotlib.collections.PathCollection at 0x10d34fe50>
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
Обучите логистическую регрессию на этих данных и нарисуйте разделяющую гиперплоскость
model = LogisticRegression(C=1.0,
fit_intercept=True,
penalty='l2')
model.fit(X, y)
LogisticRegression(C=1.0, class_weight=None, dual=False, fit_intercept=True, intercept_scaling=1, max_iter=100, multi_class='ovr', n_jobs=1, penalty='l2', random_state=None, solver='liblinear', tol=0.0001, verbose=0, warm_start=False)
print 'w_0 = %f' % model.intercept_
print 'w_1, w_2 = ', model.coef_
w_0 = -0.183954 w_1, w_2 = [[-1.06097157 -1.00171289]]
# Нарисуем эту гиперплоскость
w_0 = model.intercept_[0]
w_1 = model.coef_[0][0]
w_2 = model.coef_[0][1]
x_1 = np.linspace(-4, 4, 10)
x_2 = - (w_0 + w_1*x_1)/w_2
fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 7))
ax.scatter(X[:, 0],
X[:, 1],
c=y,
cmap=plt.cm.Paired)
plt.plot(x_1, x_2)
[<matplotlib.lines.Line2D at 0x10fe0cb90>]
y_hat = model.predict(X)
y_hat[:10]
array([-1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1])
y_hat_proba = model.predict_proba(X)
y_hat_proba[:10, :]
array([[ 9.98616528e-01, 1.38347180e-03], [ 9.99496019e-01, 5.03981209e-04], [ 9.95091160e-01, 4.90883960e-03], [ 9.94323473e-01, 5.67652674e-03], [ 9.90157090e-01, 9.84290974e-03], [ 9.97319087e-01, 2.68091305e-03], [ 9.94720579e-01, 5.27942062e-03], [ 9.94026880e-01, 5.97312006e-03], [ 9.96628393e-01, 3.37160720e-03], [ 9.77815343e-01, 2.21846572e-02]])
dec_func = model.decision_function(X)
dec_func[:10]
array([-6.58177471, -7.59246747, -5.31179677, -5.16572302, -4.61111223, -5.91891334, -5.23864551, -5.11449484, -5.68898843, -3.78591991])
Рассмотрим набор данных, который в простонародье называют "Бублик".
from sklearn.datasets import make_circles
X, y = make_circles(n_samples=100, shuffle=True,
noise = 0.1,
factor=0.1)
plt.scatter(X[:, 0],
X[:, 1],
c=y)
<matplotlib.collections.PathCollection at 0x110a39c90>
Очевидно, что классы нельзя разделить линией. Но можно сделать это окружностью! Т.е. разделяющся линия теперь будет задаваться не уравнением прямой $g(x) = w_0 + w_1x_1 + w_2x_2$, а уравнением окружности $c(x) = (x_1 - a)^2 + (x_2 - b)^2 - R^2$.
Выполните преобразование матрицы X, чтобы в ней были столбцы для $x_1$, $x^2_1$, $x_2$, $x^2_2$ и обучите логистическую регрессию
X_new = np.c_[X[:,0], X[:,1], X[:,0]**2, X[:,1]**2]
model = LogisticRegression(C=100000,
fit_intercept=True)
model.fit(X_new, y)
LogisticRegression(C=100000, class_weight=None, dual=False, fit_intercept=True, intercept_scaling=1, max_iter=100, multi_class='ovr', n_jobs=1, penalty='l2', random_state=None, solver='liblinear', tol=0.0001, verbose=0, warm_start=False)
# Посчитаем количество ошибок
y_hat = model.predict(X_new)
(y != y_hat).sum()
0
# Нарисуем полученную окружность
x0, x1 = np.meshgrid(np.arange(-1.5, 1.5, 0.1),
np.arange(-1.5, 1.5, 0.1))
xx0, xx1 = x0.ravel(), x1.ravel()
X_grid = np.c_[xx0, xx1, xx0**2, xx1**2]
y_hat = model.decision_function(X_grid)
y_hat = y_hat.reshape(x0.shape)
plt.contour(x0, x1, y_hat, levels=[0])
plt.scatter(X[:,0],
X[:, 1],
c=y)
<matplotlib.collections.PathCollection at 0x110daee50>
Вновь данные по кредитованию.
Столбец с классом называется y
.
Значение $1$ соответствует классу клиентов банка, которым выдали кредит и они его успешно вернули.
Значение $-1$ соответствует клиентам, невыполнившим свои кредитные обязанности.
В банке хотят уметь определять по признакам a1-a15
, сможет ли новый клиент вернуть кредит или нет? То есть нам надо обучить классификатор! Обычно, в банках используют скор-карты, но процесс их построения тесно связан с логистической регрессией
Загрузите данные и преобразуйте признаки a1
, a9
, a10
и a12
из строковых в числовые. В них только 2 возможных значения. Для этого можно использовать функцию DataFrame.replace() в pandas
или самое обычное присваивание на соответствующих строках.
# Your code here
В признаках a6
, a7
присутствуют "редкие" значение. Найдите их с помощью фунцкии .value_counts()
и объедините, присвоив им одно и то же значение, например 'Other'
.
# Your code here
Выделите бинарные признаки a1
, a9
, a10
и a12
в матрицу X_binary
Преобразуйте категориальные признаки a5
, a6
, a7
, a13
с помощью DictVectorizer
. Вы должны получить матрицу X_cat
.
Нормализуйте количественные признаки a2
, a3
, a8
, a11
, a14
и a15
с помощью StandartScaler
или вручную. Вы должны получить матрицу X_real
.
Матрица X_cat
будет sparse-матрицой (разреженной). Преобразуте её в полную матрицу с помощью команд X_cat = X_cat.toarray()
или X_cat = X_cat.todence()
Используйте функцию np.concatinate(..) или np.c[..] чтобы сцепить матрицы X_binary
, X_cat
и X_real
В результате вы должны получить матрицу с преобразованными призанками X
и вектор ответов y
# Your code here
В случае с логистичесткой регресии, сложность модели выражается в значениях весов $w_j$ при признаках. Больший вес означает большее влияние признака на результат. В таком случае, давайте добавил штрафное слагаемое в функцию оптимизации для логистической регресии. Самый распространенные из них это:
$C$ - называется гиперпараметром регуляризации и он задается вручную. Выбирается он с помощью кросс-валидации. Чем больше $С$ - тем меньше влияние регуляризации.
Разделите ваши даннные на обучающую и контрольную выборку в пропорции 70/30 соответственно.
Lasso regression называется так, потому что она осуществляет "отлов" признаков - т.е. незначимые признаки будут иметь нулевые веса в модели, в то время как в Ridge regression - веса будут постепенно падать у всех признаков.
Давайте сравним работу регуляризаторов.
penalty='l1'
). На каждой итерации оцените качество (ROC-AUC) на валидационной выборке и запомните полученные коэффициенты моделиC
C
penalty='l2'
)# Your code here