Шестаков А.В. Майнор по анализу данных 22/03/2016
Сегодня мы рассмотрим следующие темы
На прошлом семинаре мы рассматривали модели регрессии - случай, в котором необходимо было предсказать вещественную переменную $y \in \mathbb{R}^n$ (Стоимость автомобиля, стоимость жилья, размер мозга, объемы продаж и тп.)
В задаче классификации переменная $y$ - содержит метку принадлежности к классу, как, например, это было в задаче с наивным байесом - категорию текстов. Частный случай задачи классификации - бинарная классификация $y = \{-1, 1\}$. Например: является ли клиент банка кредитоспособным, доброкачественная ли опухоль, сообщение - SPAM или HAM?
Спрашивается, почему бы нам не взять, да и построить обычную регрессию на метки класса $y$?
Загрузите данные о кредитовании. Они достаточно сильно анонимизированны и еще не до конца подходят для применения, но сейчас это нам не помешает. Постройте график наблюдений в координатах y
и a15
import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.style.use('ggplot')
%matplotlib inline
df = pd.read_csv('crx.data',index_col=None)
df.head()
df.plot(x='a15', y='y', kind='scatter')
Почему бы не обучить по этим данным регрессию, предстказывающую значение $y$? Да потому что это бред не очень корректно!
Обратимся к слегка идеализированному варианту, линейно разделимой выборке:
Нам надо найти уравнение прямой (гиперплоскости), которая бы могла разделить два класса ($H_2$ и $H_3$ подходят). В данном случае, уравнение прямой задаётся как: $$g(x) = w_0 + w_1x_1 + w_2x_2 = \langle w, x \rangle = w^\top x$$
Некоторые геометрические особенности
Если для какого-то объекта $M \geq 0$, то его классификация выполнена успешно.
Отлично! Значит нам надо просто минимизировать ошибки классификации для всех объектов:
$$L(w) = \sum_i [y^{(i)} \langle w, x^{(i)} \rangle < 0] \rightarrow \min_w$$Проблема в том, что это будет комбинаторная оптимизация. Существуют различные аппроксимации этой функции ошибок:
Это самая простая модель человеческой нейронной сети. В ней есть входы, которые взвешиваются и суммируются. Затем взвешенная сумма проходит через некую функцию активации (в данном случае $sign(\cdot)$).
Перцептрон можно использовать для классификации.
Существует итерационный алгоритм, который корректирует веса $w_0 \cdots w_n$ до тех пор, пока ошибки имею место быть:
Randomly initialize weights: w=(w_0, \dots, w_d)
Until no errors on train set:
for i in xrange(N):
if y_i * w.T * x_i < 0:
w = w + alpha * y_i * x_i
Этот алгоритм гарантированно сходится для линейно разделимой выборки. А если это не наш случай?
Перед тем как мы начнем, рассмотрим функцию $$\sigma(z) = \frac{1}{1 + exp{(-z)}},$$она называется сигмойда. Постройте данную фукнцию.
# Your code here
def sigmoid(z):
return 1./(1+np.exp(-z))
z = np.arange(-10, 10)
s = sigmoid(z)
plt.plot(z, s)
Можно несколькими способами представить линейную регрессию. Один из самых простых - вот какой.
Рассмотрим принадлежность к классу $y=\pm1$ некого объекта $x$: $p(y=\pm1 | x,w)$ и выразим её через сигмойду от отступа: $$p(y=\pm1|x,w) = \sigma(y \langle w, x \rangle) $$
А ошибка, которую мы будем минимизировать - логарифмическая:
$$L(w) = -\sum_i \log(\sigma(y^{(i)} \langle w, x^{(i)} \rangle)) \rightarrow \min_w$$История с регуляризацией, мультиколлинеарностью и шкалированием признаков здесь полностью повторяется!
Сгенерируем выборку и применим к ней линейную регрессию
np.random.seed(0)
X = np.r_[np.random.randn(20, 2) + [2, 2],
np.random.randn(20, 2) + [-2, -2]]
y = [-1] * 20 + [1] * 20
fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 7))
ax.scatter(X[:, 0],
X[:, 1],
c=y,
cmap=plt.cm.Paired)
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
Обучите LogisticRegression() на данных X
и y
, изобразите разделяющую прямую
model = LogisticRegression()
## Your code here
Рассмотрим набор данных, который в простонародье называют "Бублик".
from sklearn.datasets import make_circles
X, y = make_circles(n_samples=100, shuffle=True, noise = 0.1, factor=0.1)
X = X
plt.scatter(X[:, 0],
X[:, 1],
c=y,
cmap=plt.cm.Paired)
Очевидно, что классы нельзя разделить линией. Но можно сделать это окружностью! Т.е. разделяющся линия теперь будет задаваться не уравнением прямой $g(x) = w_0 + w_1x_1 + w_2x_2$, а уравнением окружности $c(x) = (x_1 - a)^2 + (x_2 - b)^2 - R^2$.
Выполните преобразование матрицы X, чтобы в ней были столбцы для $x_1$, $x^2_1$, $x_2$, $x^2_1$,
# Your code here
Обучите логистическую регрессию по полученным признакам. Проверьте, что полученные предсказания совпадают с ответами
model = LogisticRegression(C=1000000, fit_intercept=True)
# Параметр выставлен таким, чтобы отказаться от регуляризации
# Your code here
Нарисуйте разделяющую окружность и исходные данные.
Вам поможет функция LogisticRegression.decision_function(X)
, которая возвращает значения $c(X)$ для всех строк из матрицы X.
Нам нужны только точки, соответствующие $c(x)=0$. поэтому для того, чтобы нарисовать окружность используйте функцию plt.contour
c параметром levels=[0]
.
x0, x1 = np.meshgrid(np.arange(-1.5, 1.5, 0.1),
np.arange(-1.5, 1.5, 0.1))
xx0, xx1 = x0.ravel(), x1.ravel()
# Your code here
Вновь данные по кредитованию.
Столбец с классом называется y
.
Значение $1$ соответствует классу клиентов банка, которым выдали кредит и они его успешно вернули.
Значение $-1$ соответствует клиентам, невыполнившим свои кредитные обязанности.
В банке хотят уметь определять по признакам a1-a15
, сможет ли новый клиент вернуть кредит или нет? То есть нам надо обучить классификатор! Обычно, в банках используют скор-карты, но процесс их построения тесно связан с логистической регрессией
Загрузите данные и преобразуйте признаки a1
, a9
, a10
и a12
из строковых в числовые. В них только 2 возможных значения. Для этого можно использовать функцию DataFrame.replace() в pandas
или самое обычное присваивание на соответствующих строках.
df = pd.read_csv('crx.data').dropna()
# Your code here
В признаках a6
, a7
присутствуют "редкие" значение. Найдите их с помощью фунцкии .value_counts()
и объедините, присвоив им одно и то же значение, например 'Other'
.
# Your code here
Выделите бинарные признаки a1
, a9
, a10
и a12
в матрицу X_binary
Преобразуйте категориальные признаки a5
, a6
, a7
, a13
с помощью DictVectorizer
. Вы должны получить матрицу X_cat
.
Нормализуйте количественные признаки a2
, a3
, a8
, a11
, a14
и a15
с помощью StandartScaler
или вручную. Вы должны получить матрицу X_real
.
Матрица X_cat
будет sparse-матрицой (разреженной). Преобразуте её в полную матрицу с помощью команд X_cat = X_cat.toarray()
или X_cat = X_cat.todence()
Используйте функцию np.concatinate(..) или np.c[..] чтобы сцепить матрицы X_binary
, X_cat
и X_real
В результате вы должны получить матрицу с преобразованными призанками X
и вектор ответов y
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.feature_extraction import DictVectorizer
# Your code here
Разделите ваши даннные на обучающую и контрольную выборку в пропорции 70/30 соответственно.
Обучите логистическую регрессию с параметром penalty='l2'
и C=1
.
Для контрольной и обучающей выборке:
from sklearn.cross_validation import train_test_split
from sklearn.metrics import accuracy_score
from sklearn.metrics import precision_score
from sklearn.metrics import recall_score
from sklearn.metrics import f1_score
from sklearn.metrics import confusion_matrix
from sklearn.metrics import roc_curve
from sklearn.metrics import roc_auc_score
# Your code here
Уверены ли мы, что нам не просто повезло, а построенная модель действительно "ловит" классы?
Какие признаки использовать в конечном счете?
Как оценивать гипер-параметры моделей (например параметр регуляризации в регрессии)?
Методами скользящего контроля!
Это называют K-Fold Cross-Validation. Как это проходит:
from sklearn.cross_validation import KFold
n = y.size
kfold = KFold(n,
n_folds=3,
shuffle=True)
score = np.empty((3,))
i = 0
# Нагруженная версия, чтобы было явно видно, что происходит
for train_idx, test_idx in kfold:
X_train, y_train = X[train_idx], y[train_idx]
X_test, y_test = X[test_idx], y[test_idx]
model = LogisticRegression(C=1)
model.fit(X_train, y_train)
y_hat = model.predict(X_test)
score[i] = recall_score(y_test, y_hat)
i+=1
print score
# Легкая версия
from sklearn.cross_validation import cross_val_score
model = LogisticRegression(C=1)
score = cross_val_score(model, X, y,
cv=kfold,
scoring='recall')
print score
Теперь должно быть очевидно, как с помощью кросс-валидации подбирать параметры моделей.
Возьмем, например, параметр С
для регуляризации:
C_vals = [0.1, 0.2, 0.5, 1, 2, 20000]
for c in C_vals:
model = LogisticRegression(C=c, penalty='l1')
score = cross_val_score(model, X, y,
cv=kfold,
scoring='recall')
print 'C = %.1f, mean = %.3f, std = %.3f'%(c, score.mean(), score.std())