Annonce

La branche étudiante de l'IEEE propose, ce jeudi 25 février de 13 h 30 à 17 h 30, une formation à Mathematica pour donner les bases de ce logiciel. L'inscription est nécessaire. http://ieee.aees.be/fr/accueil/25-francais/activites/conferences/151-formation-mathematica

Initialisation

Pour que la division soit comme en Python 3:

In [1]:
from __future__ import division

Importer toutes les fonctions et quelques variables de Sympy:

In [2]:
from sympy import *
from sympy.abc import a,b,c,k,n,t,u,v,w,x,y,z
init_printing(pretty_print=True, use_latex='mathjax')

Plusieurs choses ne sont pas dans les notes de cours

Calculer le pgcd de $$p(x)=x^5 - 20x^4 + 140x^3 - 430x^2 + 579x - 270$$ et $$q(x)=x^6 - 25x^5 + 243x^4 - 1163x^3 + 2852x^2 - 3348x + 1440$$

In [5]:
p = x**5 - 20*x**4 + 140*x**3 - 430*x**2 + 579*x - 270
q = x**6 - 25*x**5 + 243*x**4 - 1163*x**3 + 2852*x**2 - 3348*x + 1440
In [3]:
gcd(4,6)
Out[3]:
$$2$$
In [8]:
gcd(p,q)
Out[8]:
$$x^{4} - 11 x^{3} + 41 x^{2} - 61 x + 30$$

7 Calcul différentiel et intégral

7.1 Limites

In [ ]:
from sympy.abc import x
In [ ]:
limit(1/x, x, 0, dir='+')
In [ ]:
oo
In [ ]:
limit(1/x, x, oo)
In [ ]:
 

7.2 Sommes

Calculer la somme des nombres 134,245,325,412,57.

In [9]:
sum([134, 245, 325, 412, 57])
Out[9]:
$$1173$$
In [10]:
sum([134, 245, 325, 412, 57, x])
Out[10]:
$$x + 1173$$
In [11]:
sum([134, 245, 325, 412, 57, x, []])
---------------------------------------------------------------------------
TypeError                                 Traceback (most recent call last)
<ipython-input-11-86a5c62c0901> in <module>()
----> 1 sum([134, 245, 325, 412, 57, x, []])

TypeError: unsupported operand type(s) for +: 'Add' and 'list'
In [ ]:
 

Caluler la somme $$\sum_{i=0}^n i$$

In [13]:
from sympy.abc import i
summation(i, (i,0,n))
Out[13]:
$$\frac{n^{2}}{2} + \frac{n}{2}$$
In [15]:
summation(i**2, (i,0,2016))
Out[15]:
$$2733212496$$

Calculer la somme $$\sum_{k=1}^\infty {1 \over k^6}$$

In [16]:
summation(1/k**6, (k, 1, oo))
Out[16]:
$$\frac{\pi^{6}}{945}$$

7.3 Produit

Calculer le produit $$\prod_{n=1}^{2016} 2n+1$$

In [17]:
product(2*n+1, (n,1,2016))
Out[17]:
$$8868169326519690749916346923947655056485312237838739648241772231965162628093269499861910784452591061014430955912255189498073213940814331266176188364591926426070508871165254457859565586232524705699185609047788562381145568750910753228948567801351561868323366323452074205042649918222402205940414662437823614838957989530490151204746525246869495640288645650461944177046293564842754663795155020445912565051583499175836977215497725547651618402095088774966971369261469093626958486424060684083098525097770124941776909671023220789779362207308465721201881343561241295602137569990257711658275155986974067284162093944333211269019750980841578510758831440006143755585767024067141912296999922161006801048983751003585977722909963368292440608434616997931271635073573781029235336643382614341542164644141344176697410614218306305948653800591923230304574498199224742542023279626438989450369141911263150337976710409414188536078453665238082129024790286193490510403594154979960421291692881925375690437241661455710503213154231081238139187387691150065889950850364369713486130897172852040327299713168196650136701637915083611083235626132722941102386496905288227533004127250399699896697612481690347483756170191619230464185528973752058981749669359315584478044860942906420071324996148353834714079080120477042786314575357557841495303417439076813969702181842312813397251377534302269021259401425803956350638781968981320112594947691293276137315290235737349392231207929797010279995857967049643614680773866981551810273447362536818494420661933773419436582636932662297192944345546127636491167324183635975717018293826093759939318374659537756000218419039404239192518142704414899646162294172907458511567017005287060020347111180514655691127446052457625355935097582389033283920296291541885067614185713360386071824575870876316997492208001451781115569251443443201992111530146648492993595442690082429090699054308398625220265797872641395019086792274861371579690851375908077121782341959163903021493148364206552426546058671889307256603925761307492831779541859544697723557644829603886822669897225969343359445245314914686813814563594521419514617361279244650717632811193677366796042858050849732679481661565005931399405128903121922920510185768123774231091173713268857634497611523459593104714394884543986656436113256338417772498936630507589129352460091175905158706384986015184025134723511439664618867418364309771320785678134474192947293083439468539871513963596475857769221507478012531861534736812017153221534999942095280716121221550315834844118243191092024630454674268453416805609769873534738233208493562956443587541923643021456346913790768900439230891366954474911123378567628767446009686347683585946818162311479014722668273312780199347217464655259283471708669308345783026934623186393413030472119912740205038353184011698377949948706605171257201989592588039520402603885497560173020064957639215291596163949169686294973519052439104394301720872071488430112429106871908951070705829746247792247542688439879531639710931489716690372137736768592304813796481238024712322226165048562989424647510215588316574202394650365741975111841211625628863443942751783458927987548987690484953760604668221693173442950097465751866017874523516413979329851003324304892027135008044225451368589556785403709319835816600489403145123552161280899325308402361634323029723819644194849080316849261463596800829277881556290273257304407998152661517253801369466311658469803287259145496686022062549676396488159103124682203145230410496006647370811417051218346791121355219820842472402599011899085486954769310234300317342030759879312872644644109391638142984482664248924032729947827287402288275588266221140908604477965187564365542602394297877054935390961737629849953149182570703384198842670196154234838754481335327589157369766811918606372712466315774408082474137114687077232987077392110693801704544605205157034774314584295901350882766088757679467716247769051574645820982576952291979411771530126866646168004684351354726627982532169353583493798362199129087146068948763714213415353569636926757132330513609806542890186960130715536231207843080324783147944371914900172644875443344317742437966973762827088952511411382210334884180906599356893702821848814138030183609452833211079573890188145067664748271091656613981494522003553171808873117847166768803885536219902592518362898697842893736540075739050727556466316530318096917478144480994616755148490388407182821205615672463890929501051320930188863366169990283083511580266137347869307085904829360615503066083706984458759478578490573496463132983501116023835632141557724277215668328720569828110239197289585864644383717012027982928485292862639814400629739854784763903171165978181904701405060494812248362317018254392292093087384428327481660345653697008020991588902823377076664936726775996206213390397312813989845566743750703542365276548916010776627300674977450439993702948507697091127348041477733445575991008807317947159547924152162523313253066324992829482303547404986063420010491808988780540368780059039169949394123596601715078230248532248489929256362683500660750030751113135737315987282799379887514627422994414913672910416284860178308413081410377078914867432800465816939108490261648187640420044710995984825340240396683561964395184559015148925331100494931828510082245801714268323523328924830032619728704824991306838682238357790425028963907695145695965908730381600424368612696524736110269181044095720009940885017936957162525081892663309557453472936867629739938292991728227863410832797975852035284186107469278301034360314468392538065947736353526379312805091851232659355837321260628282652100551281358918077189927803631296823507251101127384024140054506903700999298858279445880574252957748425475405076367405070791118441808568033458015177042581076897889707944973507020756443266957446936429550137789111139205789029421770984433633343577706679129315415351404519389712439289932538716652094489421871644148496452156332098932345698264309700790151003171351184574996671287636492636017153233624074280689530070529711047651333413664100299667353960634472125857025678355480178834210932542237143273035738058631284611446592969900752990452248115051800202758918628949021763754089397106215519480600732525763068083353519718691928033432059442193958871218407541522424953345925482155043895248137951122586303160336124157390922189229663216882968285397078039827386315161742836151144685429692241155684573433451550462841114431377116657432376983296549514111141443439834119999432004988193511962890625$$
In [ ]:
 

7.4 Calcul différentiel

Calculer la dérivée de $$x^5+bx$$

In [19]:
b,x
Out[19]:
$$\left ( b, \quad x\right )$$
In [20]:
diff(x**5+b*x, b)
Out[20]:
$$x$$
In [21]:
diff(x**5+b*x, x)
Out[21]:
$$b + 5 x^{4}$$

Calculer la dérivée de $$\arcsin(x)$$

In [22]:
diff(asin(x), x)
Out[22]:
$$\frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 1}}$$

7.5 Calcul intégral

Calculer l'intégrale $$\int\log(x)\, dx$$

In [23]:
integrate(log(x), x)
Out[23]:
$$x \log{\left (x \right )} - x$$

Calculer l'intégrale $$\int a^x\, dx$$

In [24]:
integrate(a**x, x)
Out[24]:
$$\begin{cases} x & \text{for}\: \log{\left (a \right )} = 0 \\\frac{a^{x}}{\log{\left (a \right )}} & \text{otherwise} \end{cases}$$

Calculer l'intégrale $$\int x^a\, dx$$

In [25]:
integrate(x**a, x)
Out[25]:
$$\begin{cases} \log{\left (x \right )} & \text{for}\: a = -1 \\\frac{x^{a + 1}}{a + 1} & \text{otherwise} \end{cases}$$
In [30]:
log(100, 10)
Out[30]:
$$2$$
In [31]:
log?

Calculer l'intégrale $$\int \sec^2(x)\,dx$$

In [26]:
integrate(sec(x)**2, x)
Out[26]:
$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}$$
In [37]:
integrate(integrate(x**2*y, x), y)
Out[37]:
$$\frac{x^{3} y^{2}}{6}$$
$$\int_0^5\int_0^2 x^2y\,dx\,dy$$
In [39]:
integrate(x**2*y, (x,0,2), (y,0,5))
Out[39]:
$$\frac{100}{3}$$

7.6 Sommes, produits, dérivées et intégrales non évaluées

In [40]:
A = Sum(1/k**6, (k,1,oo))
B = Product(2*n+1, (n,1,21))
C = Derivative(asin(x), x)
D = Integral(log(x), x)
In [41]:
Eq(A, A.doit())
Out[41]:
$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{6}} = \frac{\pi^{6}}{945}$$
In [42]:
Eq(B, B.doit())
Out[42]:
$$\prod_{n=1}^{21} \left(2 n + 1\right) = 563862029680583509947946875$$
In [43]:
Eq(C, C.doit())
Out[43]:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{asin}{\left (x \right )} = \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + 1}}$$
In [44]:
Eq(D, D.doit())
Out[44]:
$$\int \log{\left (x \right )}\, dx = x \log{\left (x \right )} - x$$
In [ ]:
 

7.7 Développement en séries

Calculer la série de Taylor de $\tan(x)$ en $x_0=0$ d'ordre 14.

In [45]:
series(tan(x), x, 0, 14)
Out[45]:
$$x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 x^{5}}{15} + \frac{17 x^{7}}{315} + \frac{62 x^{9}}{2835} + \frac{1382 x^{11}}{155925} + \frac{21844 x^{13}}{6081075} + \mathcal{O}\left(x^{14}\right)$$
In [51]:
series(sin(x), x, 0, 10)
Out[51]:
$$x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120} - \frac{x^{7}}{5040} + \frac{x^{9}}{362880} + \mathcal{O}\left(x^{10}\right)$$

7.8 Équations différentielles

In [55]:
from sympy import E
A = Derivative(E**x, x)
Eq(A, A.doit())
Out[55]:
$$\frac{d}{d x} e^{x} = e^{x}$$

Trouver une fonction $f(x)$ telle que ${d\over dx} f(x) = f(x)$

In [56]:
f = Function('f')
In [58]:
f(x)
Out[58]:
$$f{\left (x \right )}$$
In [61]:
eq = Eq(Derivative(f(x),x), f(x))
In [62]:
dsolve(eq)
Out[62]:
$$f{\left (x \right )} = C_{1} e^{x}$$

Trouver une fonction $f(x)$ telle que ${d^2\over dx^2} f(x) = -f(x)$

In [64]:
eq2 = Eq(Derivative(f(x),x,x), -f(x))
In [65]:
dsolve(eq2)
Out[65]:
$$f{\left (x \right )} = C_{1} \sin{\left (x \right )} + C_{2} \cos{\left (x \right )}$$
In [66]:
Derivative(f(x),x,x,x,x,x)
Out[66]:
$$\frac{d^{5}}{d x^{5}} f{\left (x \right )}$$
In [67]:
Derivative(f(x),x,5)
Out[67]:
$$\frac{d^{5}}{d x^{5}} f{\left (x \right )}$$
In [68]:
f(x).diff(x,5)
Out[68]:
$$\frac{d^{5}}{d x^{5}} f{\left (x \right )}$$

Résoudre$$y''-4y'+5y=0$$.

In [69]:
from sympy.abc import x,y
eq = Eq(y(x).diff(x,x)-4*y(x).diff(x)+5*y(x),0)
dsolve(eq, y(x))
Out[69]:
$$y{\left (x \right )} = \left(C_{1} \sin{\left (x \right )} + C_{2} \cos{\left (x \right )}\right) e^{2 x}$$

8 Algèbre linéaire

8.1 Définir une matrice

Définir la matrice $$M=\begin{bmatrix} 2& 9& 3\\ 4& 5& 10\\ 2& 0& 3 \end{bmatrix}$$

In [70]:
Matrix([[2, 9, 3], [4, 5, 10], [2, 0, 3]])
Out[70]:
$$\left[\begin{matrix}2 & 9 & 3\\4 & 5 & 10\\2 & 0 & 3\end{matrix}\right]$$
In [107]:
M = Matrix(3,3,[2, 9, 3, 4, 5, 10, 2, 0, 3])

Définir la matrice $$N=\begin{bmatrix} 2& 9& 3\\ 4& 5& 10\\ -6& -1& -17 \end{bmatrix}$$

In [73]:
N = Matrix(3,3,[2,9,3,4,5,10,-6,-1,-17]); N
Out[73]:
$$\left[\begin{matrix}2 & 9 & 3\\4 & 5 & 10\\-6 & -1 & -17\end{matrix}\right]$$

Définir le vecteur $$v=\begin{bmatrix} 5\\ 2\\ 1 \end{bmatrix}$$

In [75]:
v = Matrix([5,2,1]); v
Out[75]:
$$\left[\begin{matrix}5\\2\\1\end{matrix}\right]$$

8.2 Opérations de base

In [76]:
M, N
Out[76]:
$$\left ( \left[\begin{matrix}2 & 9 & 3\\4 & 5 & 10\\2 & 0 & 3\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}2 & 9 & 3\\4 & 5 & 10\\-6 & -1 & -17\end{matrix}\right]\right )$$
In [77]:
M + N
Out[77]:
$$\left[\begin{matrix}4 & 18 & 6\\8 & 10 & 20\\-4 & -1 & -14\end{matrix}\right]$$
In [78]:
M * 3
Out[78]:
$$\left[\begin{matrix}6 & 27 & 9\\12 & 15 & 30\\6 & 0 & 9\end{matrix}\right]$$
In [79]:
M * N
Out[79]:
$$\left[\begin{matrix}22 & 60 & 45\\-32 & 51 & -108\\-14 & 15 & -45\end{matrix}\right]$$
In [80]:
M * v
Out[80]:
$$\left[\begin{matrix}31\\40\\13\end{matrix}\right]$$
In [81]:
M ** -1
Out[81]:
$$\left[\begin{matrix}\frac{5}{24} & - \frac{3}{8} & \frac{25}{24}\\\frac{1}{9} & 0 & - \frac{1}{9}\\- \frac{5}{36} & \frac{1}{4} & - \frac{13}{36}\end{matrix}\right]$$
In [82]:
N ** -1
---------------------------------------------------------------------------
ValueError                                Traceback (most recent call last)
<ipython-input-82-086bca9c1aa4> in <module>()
----> 1 N ** -1

/Users/slabbe/Applications/sage-git/local/lib/python2.7/site-packages/sympy/core/decorators.pyc in binary_op_wrapper(self, other)
    116                     else:
    117                         return f(self)
--> 118             return func(self, other)
    119         return binary_op_wrapper
    120     return priority_decorator

/Users/slabbe/Applications/sage-git/local/lib/python2.7/site-packages/sympy/matrices/dense.pyc in __pow__(self, other)
    561     @call_highest_priority('__rpow__')
    562     def __pow__(self, other):
--> 563         return super(DenseMatrix, self).__pow__(other)
    564 
    565     @call_highest_priority('__pow__')

/Users/slabbe/Applications/sage-git/local/lib/python2.7/site-packages/sympy/matrices/matrices.pyc in __pow__(self, num)
    537             n = int(num)
    538             if n < 0:
--> 539                 return self.inv()**-n   # A**-2 = (A**-1)**2
    540             a = eye(self.cols)
    541             s = self

/Users/slabbe/Applications/sage-git/local/lib/python2.7/site-packages/sympy/matrices/matrices.pyc in inv(self, method, **kwargs)
    307         if method is not None:
    308             kwargs['method'] = method
--> 309         return self._eval_inverse(**kwargs)
    310 
    311     def inv_mod(self, m):

/Users/slabbe/Applications/sage-git/local/lib/python2.7/site-packages/sympy/matrices/dense.pyc in _eval_inverse(self, **kwargs)
    304         M = self.as_mutable()
    305         if method == "GE":
--> 306             rv = M.inverse_GE(iszerofunc=iszerofunc)
    307         elif method == "LU":
    308             rv = M.inverse_LU(iszerofunc=iszerofunc)

/Users/slabbe/Applications/sage-git/local/lib/python2.7/site-packages/sympy/matrices/matrices.pyc in inverse_GE(self, iszerofunc)
   2629         red = big.rref(iszerofunc=iszerofunc, simplify=True)[0]
   2630         if any(iszerofunc(red[j, j]) for j in range(red.rows)):
-> 2631             raise ValueError("Matrix det == 0; not invertible.")
   2632 
   2633         return self._new(red[:, big.rows:])

ValueError: Matrix det == 0; not invertible.
In [83]:
M.transpose()
Out[83]:
$$\left[\begin{matrix}2 & 4 & 2\\9 & 5 & 0\\3 & 10 & 3\end{matrix}\right]$$

8.3 Accéder aux coefficients

In [84]:
M
Out[84]:
$$\left[\begin{matrix}2 & 9 & 3\\4 & 5 & 10\\2 & 0 & 3\end{matrix}\right]$$
In [85]:
M[1,1]
Out[85]:
$$5$$
In [88]:
M[2,1]
Out[88]:
$$0$$
In [90]:
M.row(0)
Out[90]:
$$\left[\begin{matrix}2 & 9 & 3\end{matrix}\right]$$
In [92]:
M.col(1)
Out[92]:
$$\left[\begin{matrix}9\\5\\0\end{matrix}\right]$$
In [94]:
M
Out[94]:
$$\left[\begin{matrix}2 & 9 & 3\\4 & 5 & 10\\2 & 0 & 3\end{matrix}\right]$$
In [96]:
M[0,0] = pi
In [ ]:
 

8.4 Construction de matrices particulières

In [102]:
zeros(4,6)
Out[102]:
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
In [103]:
ones(3,8)
Out[103]:
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\end{matrix}\right]$$
In [104]:
eye(5)
Out[104]:
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{matrix}\right]$$
In [105]:
diag(3,4,5)
Out[105]:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 0\\0 & 4 & 0\\0 & 0 & 5\end{matrix}\right]$$
In [106]:
diag(3,4,5,M)
Out[106]:
$$\left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & \pi & 9 & 3\\0 & 0 & 0 & 4 & 5 & 10\\0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 3\end{matrix}\right]$$

8.5 Matrice échelonnée réduite

Calculer la forme échelonnée réduite de $M$ et $N$.

In [108]:
M
Out[108]:
$$\left[\begin{matrix}2 & 9 & 3\\4 & 5 & 10\\2 & 0 & 3\end{matrix}\right]$$
In [110]:
M.rref()
Out[110]:
$$\left ( \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{matrix}\right], \quad \left [ 0, \quad 1, \quad 2\right ]\right )$$
In [112]:
N
Out[112]:
$$\left[\begin{matrix}2 & 9 & 3\\4 & 5 & 10\\-6 & -1 & -17\end{matrix}\right]$$
In [111]:
N.rref()
Out[111]:
$$\left ( \left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{75}{26}\\0 & 1 & - \frac{4}{13}\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right], \quad \left [ 0, \quad 1\right ]\right )$$

8.6 Noyau

Calculer le noyau des matrices $M$ et $N$.

In [113]:
M.nullspace()
Out[113]:
$$\left [ \right ]$$
In [114]:
N.nullspace()
Out[114]:
$$\left [ \left[\begin{matrix}- \frac{75}{26}\\\frac{4}{13}\\1\end{matrix}\right]\right ]$$

8.7 Déterminant

Calculer le déterminant des matrices $M$ et $N$.

In [115]:
M.det()
Out[115]:
$$72$$
In [116]:
N.det()
Out[116]:
$$0$$

8.8 Polynôme caractéristique

Calculer le polynôme caractérisque de la matrice $M$ et de $N$.

In [117]:
from sympy.abc import x
In [118]:
M.charpoly(x)
Out[118]:
$$\operatorname{PurePoly}{\left( x^{3} - 10 x^{2} - 11 x - 72, x, domain=\mathbb{Z} \right)}$$
In [119]:
M.charpoly(x).as_expr()
Out[119]:
$$x^{3} - 10 x^{2} - 11 x - 72$$
In [120]:
N.charpoly(x).as_expr()
Out[120]:
$$x^{3} + 10 x^{2} - 117 x$$

8.9 Valeurs propres et vecteurs propres

Calculer les valeurs propres et vecteurs propres de $$K=\begin{bmatrix} 93& 27& -57\\ -40& 180& -140\\ -15& 27& 51 \end{bmatrix}$$

In [121]:
K = Matrix(3,3,[93,27,-57,-40,180,-140,-15,27,51])
K
Out[121]:
$$\left[\begin{matrix}93 & 27 & -57\\-40 & 180 & -140\\-15 & 27 & 51\end{matrix}\right]$$
In [122]:
K.eigenvals()
Out[122]:
$$\left \{ 90 : 1, \quad 108 : 1, \quad 126 : 1\right \}$$
In [123]:
K.eigenvects()
Out[123]:
$$\left [ \left ( 90, \quad 1, \quad \left [ \left[\begin{matrix}1\\2\\1\end{matrix}\right]\right ]\right ), \quad \left ( 108, \quad 1, \quad \left [ \left[\begin{matrix}\frac{9}{5}\\1\\0\end{matrix}\right]\right ]\right ), \quad \left ( 126, \quad 1, \quad \left [ \left[\begin{matrix}1\\\frac{10}{3}\\1\end{matrix}\right]\right ]\right )\right ]$$

En général, les racines peuvent être plus compliquées:

In [124]:
M.eigenvals()
Out[124]:
$$\left \{ \frac{10}{3} + \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{11523}}{3} + \frac{2467}{27}} + \frac{133}{9 \left(- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{11523}}{3} + \frac{2467}{27}}} : 1, \quad \frac{10}{3} + \frac{133}{9 \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{11523}}{3} + \frac{2467}{27}}} + \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{11523}}{3} + \frac{2467}{27}} : 1, \quad \frac{133}{9 \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{11523}}{3} + \frac{2467}{27}}} + \frac{10}{3} + \sqrt[3]{\frac{2 \sqrt{11523}}{3} + \frac{2467}{27}} : 1\right \}$$
In [ ]: