Notebook

In [1]:

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Solução dos exercícios¶

Gaussiana

a. Verifique que $\displaystyle\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-\frac{1}{2}x^2}dx = \sqrt{2\pi}$

b. Defina a variável simbólica " $a$ ". Assuma $a>0$ e determine $\displaystyle\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-\frac{1}{2}ax^2}dx$

In [2]:

integrate(exp(-1/2*x^2),x,-oo,oo)

Out[2]:

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\sqrt{2} \sqrt{\pi}$

In [3]:

var('a')
assume(a>0)

In [4]:

integrate(exp(-1/2*a*x^2),x,-oo,oo)

Out[4]:

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{2 \, \sqrt{\frac{1}{2}} \sqrt{\pi}}{\sqrt{a}}$

Oscilador amortecido

a. Resolva a equação do oscilador amortecido
$m\ddot{y}(t) +b\dot{y}(t)= -ky(t).$

Para isso você precisará:

Definir as variáveis simbólicas e funções involvidas (ver guia de referencia rápida);
Estabelecer a equação diferencial;
Assuma $4mk-b^2>0$ ;
Resolver a equação diferencial usando o desolve.

A sintáxe do comando é desolve(equação, dvar, ivar=t), onde dvar é a variável dependente e ivar=t indica que a variável independente e $t$ . Use a ajuda desolve? se necessário.

Solução¶

Definir as variáveis simbólicas e funções involvidas (ver guia de referencia rápida);

In [6]:

var('m,b,k,t')
y = function('y')(t)

Estabelecer a equação diferencial;

In [8]:

eq = m*diff(y,t,2)+b*diff(y,t) == -k*y
eq

Out[8]:

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}b \frac{\partial}{\partial t}y\left(t\right) + m \frac{\partial^{2}}{(\partial t)^{2}}y\left(t\right) = -k y\left(t\right)$

Assuma $4mk-b^2>0$ ;

In [9]:

assume(4*m*k-b^2>0)

Resolver a equação diferencial usando o desolve.

In [10]:

desolve(eq,y,ivar=t)

Out[10]:

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}{\left(K_{2} \cos\left(\frac{1}{2} \, t \sqrt{-\frac{b^{2}}{m^{2}} + \frac{4 \, k}{m}}\right) + K_{1} \sin\left(\frac{1}{2} \, t \sqrt{-\frac{b^{2}}{m^{2}} + \frac{4 \, k}{m}}\right)\right)} e^{\left(-\frac{b t}{2 \, m}\right)}$

b. Suponha que um sistema mecânico seja governado por pela equação diferencial

$\ddot{y}(t) +\frac{1}{5}\dot{y}(t)= -\frac{1}{4}y(t).$ Encontre a solução assumindo as condições iniciais

$y(0) = \frac{1}{2}, \dot{y}(0) = \frac{7}{4}.$

Para incluir as condições iniciais, use desolve(equação, dvar, ics=[t_0, y(t_0), y'(t_0)]), onde t_0, y(t_0), y'(t_0) são as tais condições.

In [11]:

eq2 = diff(y,t,2)+1/5*diff(y,t) == -1/4*y; eq2

Out[11]:

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{1}{5} \, \frac{\partial}{\partial t}y\left(t\right) + \frac{\partial^{2}}{(\partial t)^{2}}y\left(t\right) = -\frac{1}{4} \, y\left(t\right)$

In [15]:

sol = desolve(eq2,y,ivar=t,ics=[0,1/2,7/4]); sol

Out[15]:

$\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{1}{2} \, {\left(3 \, \sqrt{6} \sin\left(\frac{1}{5} \, \sqrt{6} t\right) + \cos\left(\frac{1}{5} \, \sqrt{6} t\right)\right)} e^{\left(-\frac{1}{10} \, t\right)}$

c. Plote um gráfico da solução encontrada no intervalo $0<t<50$ . Dica: guarde a solução da equação diferencial em uma variável Python (sol = desolve(...))

In [16]:

plot(sol,t,0,50)

Out[16]:

Melhorando o gráfico¶

In [17]:

plot(sol,t,0,50, gridlines=True, frame=True)

Out[17]:

In [27]:

plot(sol,t,0,50, gridlines=True, frame=True, axes=False, color='red', title='Título do gráfico')

Out[27]:

In [35]:

plot(sol,t,0,50, gridlines=True, frame=True, axes=False, color='red', title='Título do gráfico',
     legend_label='solução', axes_labels=['$t$','$y(t)$'])

Out[35]:

In [37]:

whos

Variable   Type          Data/Info
----------------------------------
a          Expression    a
b          Expression    b
eq         Expression    b*diff(y(t), t) + m*diff(y(t), t, t) == -k*y(t)
eq2        Expression    1/5*diff(y(t), t) + diff(y(t), t, t) == -1/4*y(t)
k          Expression    k
m          Expression    m
sol        Expression    1/2*(3*sqrt(6)*sin(1/5*sq<...>5*sqrt(6)*t))*e^(-1/10*t)
t          Expression    t
y          Expression    y(t)

In [ ]: