Introducción a la Programación en MATLAB (C3)

Mauricio Tejada

ILADES - Universidad Alberto Hurtado

Agosto 2017

3. Matrices

Matlab es un lenguaje de programación basado en matrices.

  • Una matriz es un arreglo bidireccional que contiene números reales o complejos. Una matriz de dimensión $n \times m$ tiene $n$ filas y $m$ columnas.

  • Escalares en Matlab están representados por matrices $1 \times 1$.

  • Vectores fila (columna) están representados por matrices $n \times 1$ ($1 \times n$), con $n$ el tamaño.

Existen dos formas de definir matrices: usando el teclado y/o leyendo archivos externos (de texto, excel, etc).

  • Usando el teclado: Toda matriz se inicia y termina con [ ], las columnas están separadas por espacios (o comas) y las columnas por punto y coma.
  • Leyendo archivos externos: Se usan los comandos textread, cvsread, xlsread, etc. Más adelante veremos detalles.
In [1]:
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
A =

     1     2     3
     4     5     6
     7     8     9
In [2]:
B = [1 2 3; 4 5 6]
C = [1; 2; 3]
D = [1 4 3]
B =

     1     2     3
     4     5     6


C =

     1
     2
     3


D =

     1     4     3

3.1 Secuencias

Es posible crear vectores a partir de secuencias con valores equidistantes unos de otros.

  • Forma 1: inicio:incremento:fin (incremento por defecto = 1). La secuencia termina en el número más cercano al número final definido.
  • Forma 2: linspace(inicio,fin,numero) (el incremento es calculado automáticamente).

Adicionalmente, existe la posibilidad de crear secuencias con número espaciados logarítmicamente.

  • Forma 3: logspace(inicio,fin,numero) crea un vector de numero elementos en el intervalo [10^inicio,10^fin] espaciados logarítmicamente.
In [3]:
H0 = (1:10)
H0 =

     1     2     3     4     5     6     7     8     9    10
In [4]:
H1 = 1:0.6:3
H1 =

    1.0000    1.6000    2.2000    2.8000
In [5]:
H2 = linspace(1,0.1,6)
H2 =

    1.0000    0.8200    0.6400    0.4600    0.2800    0.1000
In [6]:
H3 = logspace(1,3,3)
H3 =

          10         100        1000

3.2 Matrices Especiales

Matlab tiene funciones especialmente diseñadas para construir cierto tipo de matrices:

  • Matrices de ceros: zeros(nfilas,ncolumnas)
  • Matrices de unos: ones(nfilas,ncolumnas)
  • Matriz identidad: eye(dimesion)
  • Matrices con números aleatorios: rand(nfilas,ncolumnas) (uniforme [0,1]) y randn(nfilas,ncolumnas) (Normal estándar).
In [7]:
ME1 = zeros(3,2)
ME1 =

     0     0
     0     0
     0     0
In [8]:
ME2 = ones(4,1)
ME2 =

     1
     1
     1
     1
In [9]:
ME3 = eye(3)
ME3 =

     1     0     0
     0     1     0
     0     0     1
In [10]:
ME4 = rand(2,2)
ME4 =

    0.8147    0.1270
    0.9058    0.9134
In [11]:
ME5 = randn(3,1)
ME5 =

    0.3188
   -1.3077
   -0.4336

Notas:

  • Para generar número aleatorios de una distribución Normal con media $\mu$ y desviación estándar $\sigma$ usamos mu+sig*randn(nfilas,ncols).
  • Para generar número aleatorios de una distribución Uniforme definida en el intervalo $[a,b]$ usamos a+(b-a)rand(nfilas,ncols).
In [12]:
xn = 2+0.5*randn(3,3)
xu = 2+(4-2)*rand(2,2)
xn =

    2.1713    1.3251    1.9685
    3.7892    3.5175    2.3574
    3.3847    2.3627    1.8975


xu =

    2.8435    3.5844
    3.8315    3.9190

3.3 Operaciones con Matrices

El álgebra lineal define operaciones matriciales que Matlab es capaz de realizar. Todas las operaciones matriciales deben cumplir con los requerimiento de conformabilidad apropiados a la operación, caso contrario Matlab indicara que existe un error.

  • Suma +
  • Sustracción -
In [13]:
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
B = [1 1 1; 2 2 2; 3 3 3]

S = A + B
R = A - B
A =

     1     2     3
     4     5     6
     7     8     9


B =

     1     1     1
     2     2     2
     3     3     3


S =

     2     3     4
     6     7     8
    10    11    12


R =

     0     1     2
     2     3     4
     4     5     6
  • Multiplicación *
  • Potencia ^
In [14]:
MM = A*B
P = A^2 % Idem P = A*A
MM =

    14    14    14
    32    32    32
    50    50    50


P =

    30    36    42
    66    81    96
   102   126   150
  • Traspuesta '
  • Inversa inv(matriz)
  • División Izquierda '\' ($A^{-1}\times B$)
  • División Derecha '/' ($B \times A^{-1}$)
In [15]:
C = rand(3,3)
Ctrans = C'
IV = inv(C)
DI = C \ A    % Idem DI = inv(C)*A
C =

    0.6557    0.9340    0.7431
    0.0357    0.6787    0.3922
    0.8491    0.7577    0.6555


Ctrans =

    0.6557    0.0357    0.8491
    0.9340    0.6787    0.7577
    0.7431    0.3922    0.6555


IV =

   -6.6730    2.2190    6.2376
  -13.9906    9.0904   10.4219
   24.8178  -13.3832  -18.6027


DI =

   45.8661   47.6497   49.4332
   95.3245  100.8463  106.3681
 -158.9337 -166.1017 -173.2698
  • Operaciones elemento por elemento usan un punto precediendo al operador: .*, .^, ./.
In [16]:
A
B
Me = A.*B
Pe = A.^2
A =

     1     2     3
     4     5     6
     7     8     9


B =

     1     1     1
     2     2     2
     3     3     3


Me =

     1     2     3
     8    10    12
    21    24    27


Pe =

     1     4     9
    16    25    36
    49    64    81
In [17]:
v = [1 2 3]'
g = [3 4 5]'

v.*g
v =

     1
     2
     3


g =

     3
     4
     5


ans =

     3
     8
    15

3.4 Referenciación y Submatrices

Los elementos se una matriz se pueden referenciar de diversas formas:

  • Usando matriz(i,j) donde i es la fila y j es la columna.
In [18]:
A
A =

     1     2     3
     4     5     6
     7     8     9
In [19]:
a22 = A(2,2)
a31 = A(3,1)
a22 =

     5


a31 =

     7
  • Usando matriz(ii:if,ji:jf) para extraer más de un elemento. ii e if corresponden a la fila inicial y la fila final (lo mismo aplica a ci y cf para las columnas). Este método se usa para extraer submatrices o particionar.
In [20]:
A([1 2],[1 2])
ans =

     1     2
     4     5
In [21]:
subA1 = A(1:2,1:2)
subA2 = A(2:3,1:3)
subA1 =

     1     2
     4     5


subA2 =

     4     5     6
     7     8     9
  • Usar únicamente : indica toda la fila o columna según corresponda. El término end indica el último elemento.
In [22]:
subA3 = A(2,:)
subA4 = A(:,2:3)
subA5 = A(2:end,3)
subA3 =

     4     5     6


subA4 =

     2     3
     5     6
     8     9


subA5 =

     6
     9
  • Note que al usar matriz(ii:if,ji:jf) no estamos haciendo otra cosa que definir un vector secuencia dentro la matriz. Por tanto es válido usar vectores para referenciar elementos (en secuencia o no).
In [23]:
B=rand(4,6)
Ind = 1:4
subB1 = B(Ind,5)
subB2 = B(1:4,5)
B =

    0.1712    0.0462    0.3171    0.3816    0.4898    0.7547
    0.7060    0.0971    0.9502    0.7655    0.4456    0.2760
    0.0318    0.8235    0.0344    0.7952    0.6463    0.6797
    0.2769    0.6948    0.4387    0.1869    0.7094    0.6551


Ind =

     1     2     3     4


subB1 =

    0.4898
    0.4456
    0.6463
    0.7094


subB2 =

    0.4898
    0.4456
    0.6463
    0.7094
  • Podemos usar la misma lógica para elegir elementos que no son contiguos:
In [24]:
Indc = [1 3 4]
Indf = [2 4]
subB3 = B(Indf,Indc)
Indc =

     1     3     4


Indf =

     2     4


subB3 =

    0.7060    0.9502    0.7655
    0.2769    0.4387    0.1869

3.5 Concatenar Matrices

Para concatenar matrices usamos los mismos procedimientos que para la definición de matrices usando el teclado, la única diferencia está en que los elementos son matrices.

  • La matriz se define en [].
  • Concatenar horizontalmente , o (espacio).
  • Concatenar verticalmente ;.

Nota: Ser cuidadoso con la conformabilidad de las matrices.

In [25]:
A = rand(3,2)
B = rand(2,2)

C = [A ; B]    % Concatenar verticalmente A y B
D = [A' B]     % Concatenar horizontalmente la traspuesta de A con B
A =

    0.1626    0.9597
    0.1190    0.3404
    0.4984    0.5853


B =

    0.2238    0.2551
    0.7513    0.5060


C =

    0.1626    0.9597
    0.1190    0.3404
    0.4984    0.5853
    0.2238    0.2551
    0.7513    0.5060


D =

    0.1626    0.1190    0.4984    0.2238    0.2551
    0.9597    0.3404    0.5853    0.7513    0.5060

3.6 Matrices de Mayor Dimensión

Matlab es capaz de manipular matrices de mayor dimensión (ejemplo 3D). Todas las reglas de creación, referenciación, partición y concatenación aplican.

Nota: Sólo operaciones elemento por elemento son utilizables con matrices de mayor dimensión.

In [26]:
A = rand(3,3,3)
A(:,:,1) =

    0.6991    0.5472    0.2575
    0.8909    0.1386    0.8407
    0.9593    0.1493    0.2543


A(:,:,2) =

    0.8143    0.3500    0.6160
    0.2435    0.1966    0.4733
    0.9293    0.2511    0.3517


A(:,:,3) =

    0.8308    0.9172    0.7537
    0.5853    0.2858    0.3804
    0.5497    0.7572    0.5678
In [27]:
Asub = A(2,2,3)
Asub =

    0.2858