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GARCH模型¶

原理讲解¶

GARCH 模型¶

在 ARCH ( $p$ )模型中，如果 $p$ 很大，则要估计很多参数，会损失样本容量。Bollerslev（1986）提出 GARCH，使得待估计参数减少，而对未来条件方差的预测更加准确。其基本思想是，在 ARCH 模型的基础上，再加上 $\sigma_{t}^{2}$ 的自同归部分，即 $\sigma_{t}^{2}$ 还是 $\left\{\boldsymbol{\sigma}_{t-1}^{2}, \cdots, \sigma_{t-p}^{2}\right\}$ 的函数。 GARCH $(p,$ $q$ ) 的模型设定为：

$\sigma_{t}^{2}=\alpha_{0}+\alpha_{1} \varepsilon_{t-1}^{2}+\cdots+\alpha_{q} \varepsilon_{t-q}^{2}+\gamma_{1} \sigma_{t-1}^{2}+\cdots+\gamma_{p} \sigma_{t-p}^{2}\tag{1}$

其中，p 为 $\sigma_{t}^{2}$ 的自回归阶数，而 $q$ 为 $\varepsilon_{t}^{2}$ 的滞后阶数。称 $\varepsilon_{t-i}^{2}$ 为“ARCH 项”，而称 $\sigma_{t-i}^{2}$ 为“GARCH 项”。

何时使用 ARCH 或 GARCH 模型¶

首先，用 OLS 估计原方程“ $y_{t}=x_{t}^\prime \boldsymbol{\beta}+\varepsilon_{t}$ ，得到残差序列 $\left\{e_{t}\right\}_{\circ}$ 其次，用 $0 \mathrm{LS}$ 估计辅助同归 $, e_{t}^{2}=\alpha_{0}+\alpha_{1} e_{t-1}^{2}+\cdots+\alpha_{p} e_{t-p}^{2}+e r r o r_{t},$ 并检验原假设“ $H_{0}: \alpha_{1}=\alpha_{2}=\cdots=\alpha_{p}=0 "($ 不存在条件异方差 )。Engle（1982）提出进行 LM 检验，其检验统计量为 $T R^{2} \stackrel{d}{\longrightarrow} \chi^{2}(p)$ ，其中 $T$ 为样本容量， $R^{2}$ 为上述辅助同归的可决系数。如果拒绝 $H_{0},$ 则认为应使用 ARCH 或 GARCH 模型。
可以对残差平方序列 $\left|e_{t}^{2}\right|$ 进行 $Q$ 检验, $,$ 检验其序列相关性。如果 $\left\{e_{t}^{2}\right\}$ 存在自相关,则认为 $\varepsilon_{t}$ 存在条件异方差。
最为直接的方法是,在估计 ARCH 或 GARCH 模型之后,看条件方差方程中的系数（即所有 $\alpha$ 与 $\gamma$ ) 是否显著。

ARCH 与 GARCH 模型的扩展¶

ARCH-M：金融理论认为，金融资产的风险越高，其期望收益率也应该越高，这样才会有人愿意持有它。超出正常期望收益率的部分，称为"风险溢价"(riskpremium)。但在标准的 ARCH 模型中，变量的均值与条件方差却没有关系。Engle，Lilien and Robins (1987)提出了如下"ARCH - in - Mean 模型"(简记 ARCH - M)。
TARCH："坏消息"对资产价格波动性的影响可能大于好消息的影响。Glosten，Jagannathanand Runkle ( 1993)提出了非对称( asymmetric)的"门限 GARCH"模型( Threshold GARCH，简记 TARCH)。
EGARCH：在标准的 GARCH 模型中，对参数的取值有所限制，给 MLE 估计带来不便。为此，使用对数形式的条件方差方程
带 ARMA 的 GARCH
在条件方差方程中引入解释变量
使用非正态扰动项

KS 检验与QQ 图原理讲解¶

KS 检验¶

Kolmogorov-Smirnov 检验是基于累计分布函数的，用于检验一个分布是否符合某种理论分布或比较两个经验分布是否有显著差异。

单样本 K-S 检验是用来检验一个数据的观测经验分布是否符合已知的理论分布。

两样本 K-S 检验由于对两样本的经验分布函数的位置和形状参数的差异都敏感，所以成为比较两样本的最有用且最常用的非参数方法之一。

QQ 图原理¶

任何分布都能化为 [0, 1] 均匀分布

假设 $F_{X}(a)=p(x \leq a)$ 为累积分布函数， $f(x)$ 为概率密度函数， $F_{X}(a)=\int_{-\infty}^{a} f(x) d x,$ 则存在如下等式:

$P\left(F_{X}(X) \leq a\right)=P\left(X \leq F_{X}^{-1}(a)\right)=F_{X}\left(F_{X}^{-1}(a)\right)=a\tag{2}$

则累积分布函数 $Y=F_{X}(X)$ 服从 [0, 1] 间的均匀分布。

arch 模块实现¶

In [1]:

import datetime as dt

import arch.data.sp500

st = dt.datetime(1988, 1, 1)
en = dt.datetime(2018, 1, 1)
data = arch.data.sp500.load()
market = data['Adj Close']
returns = 100 * market.pct_change().dropna()
ax = returns.plot()
xlim = ax.set_xlim(returns.index.min(), returns.index.max())

In [2]:

from arch import arch_model

model_arch = arch_model(y=returns, mean='Constant', lags=0, vol='GARCH',p=1,
                       o=0, q=1, dist='normal')   # 构建 GARCH（1,1)模型
res = model_arch.fit()
res.summary()

Iteration:      1,   Func. Count:      6,   Neg. LLF: 6955.831420300672
Iteration:      2,   Func. Count:     16,   Neg. LLF: 6951.317990771391
Iteration:      3,   Func. Count:     24,   Neg. LLF: 6947.0646164023
Iteration:      4,   Func. Count:     32,   Neg. LLF: 6946.364741603253
Iteration:      5,   Func. Count:     39,   Neg. LLF: 6942.159596737265
Iteration:      6,   Func. Count:     46,   Neg. LLF: 6939.773381475562
Iteration:      7,   Func. Count:     53,   Neg. LLF: 6938.412846197003
Iteration:      8,   Func. Count:     60,   Neg. LLF: 6936.760037838338
Iteration:      9,   Func. Count:     66,   Neg. LLF: 6936.742006327482
Iteration:     10,   Func. Count:     72,   Neg. LLF: 6936.718529994181
Iteration:     11,   Func. Count:     78,   Neg. LLF: 6936.7184774904035
Optimization terminated successfully.    (Exit mode 0)
            Current function value: 6936.718476989043
            Iterations: 11
            Function evaluations: 79
            Gradient evaluations: 11

Out[2]:

Constant Mean - GARCH Model Results
Dep. Variable:	Adj Close	R-squared:	-0.001
Mean Model:	Constant Mean	Adj. R-squared:	-0.001
Vol Model:	GARCH	Log-Likelihood:	-6936.72
Distribution:	Normal	AIC:	13881.4
Method:	Maximum Likelihood	BIC:	13907.5
		No. Observations:	5030
Date:	Thu, Jun 04 2020	Df Residuals:	5026
Time:	09:09:56	Df Model:	4

Mean Model
	coef	std err	t	P>\|t\|	95.0% Conf. Int.
mu	0.0564	1.149e-02	4.906	9.302e-07	[3.384e-02,7.887e-02]

Volatility Model
	coef	std err	t	P>\|t\|	95.0% Conf. Int.
omega	0.0175	4.683e-03	3.738	1.854e-04	[8.328e-03,2.669e-02]
alpha[1]	0.1022	1.301e-02	7.852	4.105e-15	[7.665e-02, 0.128]
beta[1]	0.8852	1.380e-02	64.125	0.000	[ 0.858, 0.912]

Covariance estimator: robust

In [3]:

pic = res.plot()

matlab 实现¶

牛津大学教授代码：https://pan.baidu.com/s/1N_J_cYhRq-b_jfPaO_qL2g#list/path=%2F

GARCH 估计与残差分布检验

% 1.导入数据
data = xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\各市场收益率');
rst   = data(:,2);   %WTI市场现货原始收益率
mldate   = x2mdate(data(:,1)); % 导入日期

% 2.处理汇率收益率序列
epsilon=rst-mean(rst);   %现货原始收益率残差
T=length(epsilon);

% 3.构建GARCH(1,1)模型
options=optimset('fminunc');

options=optimset(options,'TolFun',1e-005); 

options=optimset(options,'TolX',1e-005); 

options=optimset(options,'Display','off'); 

options=optimset(options,'Diagnostics','off'); 

options=optimset(options,'LargeScale','off');

options=optimset(options,'MaxFunEvals',2000);

[garch11p,garch11LL,garch11ht,garch11vcvrobust]=tarch(epsilon,1,0,1,'SKEWT',[],[],options);
[garch11text,garch11AIC,garch11BIC]=tarch_display(garch11p,garch11LL,garch11vcvrobust,epsilon,1,2,1);

% 4.检验残差分布选择是否合理(可以利用AIC值、QQ图、KS检验、标准残差做ARCH检验)
% 4.1 KS检验
ehat = epsilon./sqrt(garch11ht);   %标准残差
u = skewtcdf(ehat,garch11p(4,1),garch11p(5,1));     %概率积分变换
v = unifrnd(0,1,T,1);
[H, pValue, KSstatistic] = kstest2(u,v);

% 4.2 QQ图
fig=figure;
set(fig,'Position',[100 100 550 500],'Color',[1 1 1])
y = unifinv((1:T)'/(T+1),0,1);
LB = 0;
UB=1;
h=plot([LB UB],[LB UB],sort(u),y);
set(h(1),'LineStyle','--','Color',[1 0 0],'LineWidth',1)
set(h(2),'LineStyle','none','Marker','o','MarkerSize',1,'Color',[0 0 1])
axis tight
set(gca,'FontSize',16)
a = 'WTI';
title(['' a '原油现货收益率Q-Q图'],'FontSize',16)
xlabel('U(0，1)')
ylabel('残差概率值');

% 4.3 标准残差做ARCH检验,p值高说明无法拒绝原假设(不存在条件异方差)
[h,p,stat,cValue] = archtest(ehat,'lags',10);
if p<=0.01
    arch{1,1} = ['' num2str(stat,'%3.3f') '***'];
    elseif p<=0.05
        arch{1,1} = ['' num2str(stat,'%3.3f') '**'];
    elseif p<=0.1
        arch{1,1} = ['' num2str(stat,'%3.3f') '*'];
    else arch{1,1} = ['' num2str(stat,'%3.3f') ''];
end