ARCH模型¶

原理讲解¶

产生背景¶

通常认为，横截面数据容易存在异方差，而时间序列数据常存在自相关。然而，Engle（1982）指出，时间序列数据也常存在一种特殊的异方差，即“自回归条件异方差”（Autoregressive Conditional Heteroskedasticity，简记 ARCH）Bollerslev（1986）对 ARCH 进行了推广，称为“ Generalized ARCH“，简记 GARCH 考察美国道琼斯股指在1953—1990年期间日收益率的波动，参见下图

从图可以看出，股指日收益率在某一段时间内剧烈波动，而在另一段时间内风平浪静。从理论上，这可以抽象为，当本期或过去若干期的波动（方差）较大时，未来几期的波动（方差）很可能也较大；反之亦然。换言之，方差大的观测值似乎集聚在一起，而方差小的观测值似乎也集聚在一起。这被称为“波动性集聚“（ volatility clustering）或“扎堆“。

ARCH 模型的性质¶

考虑一般的线性回归模型:

记扰动项 $\varepsilon_{t}$ 的条件方差为$\sigma_{t}^{2} \equiv \operatorname{Var}\left(\varepsilon_{t} | \varepsilon_{t-1}, \cdots\right)$，其中 $\sigma_{t}^{2}$ 的下标 $t$ 表示条件方差可以随时间而变。受到波动性集聚现象的启发，假设 $\sigma_{t}^{2}$ 取决于上一期扰动项之平方：

这就是“ ARCH(1)扰动项”。更一般地，假设 $\sigma_{t}^{2}$ 依赖于前 $p$ 期扰动项之平方:

就是“ ARCH(p)扰动项”。不失一般性，以 ARCH(1)扰动项为例，来考察 ARCH 扰动项的性质。假设扰动项 $\varepsilon_{t}^{2}$ 的生成过程为:

其中，$v_{t}$ 为白噪声，并将其方差标准化为 1，即 $\operatorname{Var}\left(v_{t}\right)=\mathrm{E}\left(v_{t}^{2}\right)=1$。假定 $v_{t}$ 与$\epsilon _ { t - 1 }$相互独立，而且$\alpha _ { 0 } > 0$，$0 < \alpha _ { 1 } < 1$（为了保证 $\sigma_{t}^{2}$ 为正，且 {$\varepsilon_{t}^{2}$} 为平稳过程）。序列 {$\varepsilon_{t}^{2}$} 具有怎样的性质呢？下面我们来考察其条件期望、无条件期望、条件方差、无条件方差及序列相关。

由于 $v _ { t }$ 与 $\epsilon _ { t - 1 }$ 相互独立，$\epsilon_t$ 的条件期望为 $\operatorname{Var}\left(\varepsilon_{t} | \varepsilon_{t-1}\right)=\alpha_{0}+\alpha_{1} \varepsilon_{t-1}^{2}$

扰动项 $\epsilon _ { t }$ 完全满足古典模型关于"同方差"与"无自相关"的假定。事实上，虽然 $\epsilon _ { t }$ 存在条件异方差，却是白噪声！因此，高斯-马尔可夫定理成立，OLS 是最佳线性无偏估计( BLUE)。然而，OLS 显然忽略了条件异方差这一重要信息。如果我们跳出线性估计的范围，则可以找到更优的非线性估计，即最大似然估计。

ARCH 模型的 MLE 估计¶

考虑在 $\varepsilon_{1}$ 给定情况下的条件最大似然估计法。假设 $\varepsilon_{t} \sim N\left(0, \sigma_{t}^{2}\right),$ 而 $\sigma_{t}^{2}=\alpha_{0}+\alpha_{1} \varepsilon_{t-1}^{2},$ 可得似然函数:

arch 检验¶

残差平方的自回归模型

arch 模块实现¶

arch 模块是一个计算波动率模型和其他金融计量模型的 python 第三方库

参考网址：Introduction to ARCH Models

matlab 实现¶

fmincon 函数介绍¶

fmincon 是用于求解非线性多元函数最小值的 matlab 函数，优化工具箱提供 fmincon 函数用于对有约束优化问题进行求解。

可参考：百度百科关于 fmincon 函数的介绍

代码实现¶

function archL = arch_model(beta,Y,X)

%beta(1)=beta0,beta(2)=a0,beta(3)=a1

% 1.均值方程
T = length(Y);
resid = Y - beta(1)*X;

% 2.方差方程
sigam1 = -0.5*(T-1)*log(2*pi)-0.5*log(beta(2)/(1-beta(3)))-0.5*resid(1)^2/(beta(2)/(1-beta(3)));
for i = 2:T
    c1(i-1) = -0.5*log(beta(2)+beta(3)*resid(i-1)^2);
end
for i = 2:T
    c2(i-1) = -0.5*log(resid(i).^2/(beta(2)+beta(3)*resid(i-1)^2));
end
archL = sigam1-0.5*(T-1)*log(2*pi)+sum(c1)+sum(c2);
archL = -archL;

% %导入数据
% data = xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\hourse.xlsx');
% f1 = data(:,2); f2 = data(:,3); e = data(:,6);
% 
% % 2.初始参数设定
% maxsize         = 2000;         % 生成均匀随机数的个数(用于赋初值)
% REP			    = 100;          % 若发散则继续进行迭代的次数
% nInitialVectors    = [maxsize, 2];    % 生成随机数向量
% MaxFunEvals    = 5000;         % 函数评价的最大次数
% MaxIter         = 5000;         % 允许迭代的最大次数
% options = optimset('LargeScale', 'off','HessUpdate', 'dfp','MaxFunEvals', ...
% MaxFunEvals, 'display', 'on', 'MaxIter', MaxIter, 'TolFun', 1e-6, 'TolX', 1e-6,'TolCon',10^-12);
% 
% % 3.寻找最优初值
% initialTargetVectors = [unifrnd(0,10, nInitialVectors),unifrnd(0,1,[maxsize,1])];
% RQfval = zeros(nInitialVectors(1), 1);
% for i = 1:nInitialVectors(1)
%     RQfval(i) = arch_model (initialTargetVectors(i,:), f1,ones(length(f1),1));
% end
% Results          = [RQfval, initialTargetVectors];
% SortedResults    = sortrows(Results,1);
% BestInitialCond  = SortedResults(1,2: size(Results,2));    
% 
% % 4.迭代求出最优估计值Beta
% A = [0,0,1] ; b = 1;
% [Beta, fval exitflag] = fmincon(@arch_model,BestInitialCond,A,b,[],[],0,[],[],options,f1,ones(length(f1),1));
% for it = 1:REP
% if exitflag == 1, break, end
% [Beta, fval exitflag] = fmincon(@arch_model,BestInitialCond,A,b,[],[],0,[],[],options,f1,ones(length(f1),1));
% end
% if exitflag~=1, warning('警告：迭代并没有完成'), end