收益率概念与平稳性¶

资产收益率¶

多数金融研究针对的是资产收益率而不是资产价格。

使用收益率有两个主要理由：

1. 对普通的投资者来说，资产收益率完全体现了该资产的投资机会，且与其投资规模无关；
2. 收益率序列比价格序列更容易处理，因为前者有更好的统计性质

然而，资产收益率有多种定义，设 $P_t$ 是资产在 $t$ 时刻的价格。下面给出常见的几个收益率定义.暂时假定资产不支付分红。

单期简单收益率¶

若从第 $t-1$ 天到第 $t$ 天(一个周期)持有某种资产，则简单毛收益率为：

$$1+R_{t}=\frac{P_{t}}{P_{t-1}} \quad \text { 或 } \quad P_{t}=P_{t-1}\left(1+R_{t}\right)\tag{1}$$

对应的单期简单收益率或称简单收益率为：

$$R_{t}=\frac{P_{t}}{P_{t-1}}-1=\frac{P_{t}-P_{t-1}}{P_{t-1}}\tag{2}$$

连续复合收益率¶

资产的简单毛收益率的自然对数称为连续复合收益率 或 对数收益率：

$$r_{t}=\ln \left(1+R_{t}\right)=\ln \frac{P_{t}}{P_{t-1}}=p_{t}-p_{t-1}\tag{3}$$

其中 $p_{t}=\ln P_{t}$，与简单净收益率 $R_t$ 相比，连续复合收益率 $r_t$ 有一些优点。首先，对多期收益率，我们有：

$$\begin{aligned} r_{t}[k] &=\ln \left(1+R_{t}[k]\right)=\ln \left[\left(1+R_{t}\right)\left(1+R_{t-1}\right) \cdots\left(1+R_{t-k+1}\right)\right] \\ &=\ln \left(1+R_{t}\right)+\ln \left(1+R_{t-1}\right)+\cdots+\ln \left(1+R_{t-k+1}\right) \\ &=r_{t}+r_{t-1}+\cdots+r_{t-k+1} \end{aligned}\tag{4}$$

这样，连续复合多期收益率就是它所包含的连续复合单期收益率之和。其次，对数收益率具有更容易处理的统计性质。

平稳性¶

概念¶

平稳性是时间序列分析的基础。

时间序列 {$r_t$} 称为严平稳的(strictly stationary)，如果对所有的 $t$，任意正整数 $k$ 和任意 $k$ 个正整数($t_1,\cdots,t_k$)，($r_{t_1},\cdots,r_{t_k}$)的联合分布与($r_{t_1+t},\cdots,r_{t_k+t}$)的联合分布是相同的.换言之，严平稳性要求($r_{t_1},\cdots,r_{t_k}$)的联合分布在时间的平移变换下保持不变。这是一个很强的条件，难以用经验方法验证，经常假定的是平稳性的一一个较弱的形式。

时间序列 {$r_t$} 称为弱平稳的（weakly stationary），如果 $r_t$ 的均值与 $r_t$ 和 $r_{t-l}$ 的协方差不随时间而改变，其中 $l$ 是任意整数.更具体地说，{$r_t$} 是弱平稳的，若：

1. $E_{r_t}=\mu$，$\mu$ 是一个常数；
2. $\operatorname{Cov}\left(r_{t}, r_{t-l}\right)=\gamma_{l}$，$\gamma_{l}$ 只依赖于 $l$。

在实际中，假定我们有 $T$ 个数据观测点$\left\{r_{t} | t=1, \cdots, T\right\}$，弱平稳性意味着数据的时间图显示出 $T$ 个值在一个常数水平上下以相同幅度波动。在应用中，弱平稳性使我们可以对未来观测进行推断，即预测。

在弱平稳性的条件中，我们隐含地假定了 $r_t$ 的前两阶矩是有限的.由定义可见，若 $r_t$ 是严平稳的且它的前两阶矩是有限的，则 $r_t$ 也是弱平稳的.反之，一般是不成立的.但如果时间序列 $r_t$ 是正态分布的，则弱平稳性与严平稳性是等价的.本内容主要考虑弱平稳序列。

协方差 $\gamma_{l}=\operatorname{Cov}\left(r_{t}, r_{t-l}\right)$ 称为 $r_t$ 的间隔为 $l$ 的自协方差、它具有两个重要性质：

1. $\gamma_{0}=\operatorname{Var}\left(r_{t}\right)$
2. $\gamma_{-l}=\gamma_{l}$

第二个性质成立是因为$\operatorname{Cov}\left(r_{t}, r_{t-(-l)}\right)=\operatorname{Cov}\left(r_{t-(-l)}, r_{t}\right)=\operatorname{Cov}\left(r_{t+l}, r_{t}\right)=\operatorname{Cov}\left(r_{t_{1}}, r_{t_{1}-l}\right)$，其中$t_{1}=t+l$

在金融文献中，通常假定资产收益率序列是弱平稳的.只要有足够多的历史收益率数据，这个假定可以用实证方法验证，例如，我们可以把数据分成若干子样本，然后检验它们的一致性。

单位根所带来的问题¶

对于 AR(1)，一般从理论上认为，不太可能出现 | $\beta_{1} |> 1$ 的情形，否则任何对经济的扰动都将被无限放大。因此，经济学家通常只担心存在单位根的情形， 即 $\beta_{1}=1_{\circ}$ 如果时间序列存在单位根，则为非平稳序列，可能带来以下问题:

1. 自回归系数的估计值向左偏向于 0
2. 传统的 t 检验失效
3. 两个相互独立的单位根变量可能出现伪回归(spurious regression)或伪相关

Augmented Dickey-Fuller 单位根检验(ADF检验)¶

KPSS 平稳性检验¶

DFGLS 检验¶

PhillipsPerron（PP）检验¶

更多单位根检验请参考：Unit Root Testing