基础概念¶

均值回归局限¶

只有满足古典假定，估计量才具有优良性质：BLUE

为什么需要分位数回归¶

在迄今为止的同归模型中，我们着重考察解释变量 x 对被解释变量 y 的条件期望 E $(y | \boldsymbol{x})$ 的 影响，实际上是均值回归。但我们真正关心的是 x 对整个条件分布 $y | x$ 的影响，而条件期望 $E(y| \boldsymbol{x})$ 只是刻画条件分布 $y | \boldsymbol{x}$ 集中趋势的一个指标而已。如果条件分布 $y | \boldsymbol{x}$ 不是对称分布，则条件期望 E( $y | \boldsymbol{x}$ )很难反映整个条件分布的全貌。如果能够估计出条件分布 $y | x$ 的若干重要的条件分位数，比如中位数、1/4 分位数 ，3/4 分位数，就能对条件分布 $y | \boldsymbol{x}$ 有更全面的认识。另一方面， 使用 OLS 的古典“均值同归”，由于最小化的目标函数为残差平方和 $\left(\sum_{i=1}^{n} e_{i}^{2}\right),$ 故容易受极端值的影响。

为此， Koenker and Bassett( 1978 ) 提出“分位数同归”(Quantile Regression，简记 QR ) ，使用残差绝对值的加权平均（比如 $\sum_{i=1}^{n}\left|e_{i}\right|$ ) 作为最小化的目标函数，故不易受极端值影响，较为稳健。更重要的是，分位数回归还能提供关于条件分布 $y | \boldsymbol{x}$ 的全面信息。

原理¶

模型表示¶

$Q_{t}(y | x)=x^{T} \beta_{\tau}$

其中 $\tau$ 为分位点, $\beta_{\tau}$ 为依赖于分位点的回归系数

损失函数¶

• 二次损失：生成均值 $E(Y)=\underset{y}{\operatorname{argmin}} E(Y-y)^{2}$
• 绝对值损失：生成中位数 $A L(u)=|u|$
• 非对称绝对值损失：生成分位数 $\quad \rho_{\tau}(u)=u(\tau-I(u<0)) \quad Q_{\tau}(Y)=\underset{y}{\operatorname{argmin}} E \rho_{\tau}(Y-y)$

估计方法¶

由于分位数回归的目标函数带有绝对值，不可微分，故通常使用线性规划。

详情可参考：statsmodels 官方文档

使用 statsmodels 库实现¶

第一种方法¶

第二种方法¶

matlab实现¶

可以参考 matlab 代码：分位数回归