分位数Granger因果检验¶

原理讲解¶

各变量含义¶

待估计方程：

$$Q_{Y_{t}}\left[\tau | Z_{t-1}\right]=a(\tau)+Y_{t-1, p}^{\prime} \alpha(\tau)+X_{t-1, q}^{\prime} \beta(\tau)=Z_{t-1}^{\prime} \theta(\tau)\tag{1}$$

其中，$a(\tau)$为截距项，$\alpha(\tau)$和$\beta(\tau)$为回归系数列向量；$\theta(\tau)$为回归系数向量，

$$a(\tau)=\left[alpha(\tau), \alpha(\tau)^{\prime}, \beta(\tau)^{\prime}\right]^{\prime}\tag{2}$$ $$\quad Y_{t-1, p}^{\prime}=\left(Y_{t-1}, \cdots, Y_{t-p}\right)\tag{3}$$ $$\quad X_{t-1, q}^{\prime}=\left(X_{t-1}, \cdots, X_{t-q}\right)\tag{4}$$ $$Z_{t-1}^{\prime}=\left(Y_{t-1, p}^{\prime}, X_{t-1, q}^{\prime}\right)\tag{5}$$

Wald检验量为：

$$\mathrm{W}_{T}(\tau)=T \frac{\hat{\beta}(\tau)^{\prime} \hat{\Sigma}(\tau)^{-1} \hat{\beta}(\tau)}{\tau(1-\tau)}\tag{6}$$

Sup-Wald检验量为：

$$\sup W_{T}=\sup _{i=1, \cdots, n} W_{T\left(\tau_{i}\right)}\tag{7}$$

Python在进行分位数回归时，方差默认为核估计

分位数方差核密度估计原理（基于Eviews帮助文件）¶

独立但不同分布假设下的参数渐近分布

当分位数密度函数独立但不同分布即与解释变量X相关时，$\sqrt{T}(\hat{\beta}(\tau)-\beta(\tau))$的渐近分布服从Huber sandwich形式：

$$\sqrt{T}\left(\hat{\beta}_{(\tau)}-\beta_{(\tau)}\right){\sim} N\left(0, \tau(1-\tau) H(\tau)^{-1} J H(\tau)^{-1}\right)\tag{8}$$

其中 $T$ 为样本容量，$\tau$ 为分位点，$\hat{\beta}_{(\tau)}$为 $\tau$ 分位点下回归系数估计量，$N$ 为正态分布，$X_{i}$ 为解释变量矩阵；

$$J=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sum_{i} \frac{X_{i} X_{i}^{\prime}}{T}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{X X}{T}\right)\tag{9}$$ $$H(\tau)=\lim _{T \rightarrow \infty}\left(\sum_{i} X_{i} X_{i}^{\prime} f_{i}\left(q_{i}(\tau)\right) / T\right)\tag{10}$$

$f_{i}\left(q_{i}(\tau)\right)$ 是个体 $i$ 在 $\tau$ 分位点上的条件密度函数。使用核密度进行估计：

$$\hat{H}(\tau)=(1 / T) \sum_{i=1}^{T} c_{T}^{-1} K\left(\hat{u}_{(\tau) t} / c_{T}\right) X_{i} X_{i}^{\prime}\tag{11}$$

其中 $\hat{\mathcal{u}}_{(\tau) i}$ 表示分位数回归的残差；$c_T$ 为带宽，估计原理见下文；表示 $\kappa$ 核密度函数。EViews 中可以选择的核密度函数有 Epanechnikov 核函数（默认）、均匀 (Uniform) 核函数、三角(Triangular)核函数、二权(Biweight)核函数、三权(Triweight)核函数、正态(Normal)核函数、余弦(Cosinus)核函数，具体函数形式见图。

$c_T$ 的估计原理：

$$c_{T}=\kappa\left(\Phi^{-1}\left(\tau+h_{n}\right)-\Phi^{-1}\left(\tau-h_{n}\right)\right)\tag{12}$$

其中 $\kappa=\min (s, I Q R / 1.34)$，$IQR$ 为四分位距，$\mathrm{I} Q \mathrm{R}=Q_{3}-Q_{1}$；$s$ 为残差的标准差；$h_n$ 是 Siddiqui 带宽，

$$h_{n}=T^{-1 / 3} Z_{\alpha}^{2 / 3}\left(\frac{1.5\left(\varphi\left(\Phi^{-1}(\tau)\right)\right)^{2}}{2\left(\Phi^{-1}(\tau)\right)^{2}+1}\right)^{1 / 3}\tag{13}$$

$\Phi$ 表示正态分布的积累分布函数，$\Phi^{-1}$ 表示正态分布的逆函数，$\varphi$ 表示正态分布的密度函数，$Z_{\alpha}=\Phi^{-1}(1-\alpha / 2)$ 为选择的显著性水平 $\alpha$ 对应的 $Z$ 值。

文中只列出一种方差的估计原理，更多内容详见Eviews 8 帮助文件

使用 statsmodels 库实现¶

在 github 里写了一个 Quantile 项目，使用 pyqt5 进行 GUI 可视化，有兴趣的朋友可以进行参考

matlab实现¶

可以参考 matlab 代码：Granger 因果检验