Xocs elàstics

  1. En un joc de hoquei taula un jugador deixa anar la seva maça de 150 g que dona un cop a 0,6 m/s contra el disc de 39 g que anava a 1,6 m/s en sentit contrari. Calcula las velocitats finals de la maça i del disc.

Solució

Es tracta d'un xoc elàstic, on és compleix la conservació de l'energia cinètica, a més a més de la conservació del moment. Encara que, en general, aquest tipus de problema l'hauríem de plantejar vectorialment, com les velocitats són oposades el podem escriure de forma escalar:

$$ \frac{1}{2}\cdot m_{1} \cdot v_{1i}^{2} + \frac{1}{2}\cdot m_{2} \cdot v_{2i}^{2} = \frac{1}{2}\cdot m_{1} \cdot v_{1f}^{2} + \frac{1}{2}\cdot m_{2} \cdot v_{1f}^{2} \\ m_{1} \cdot v_{1i} + m_{2} \cdot v_{2i} = m_{1} \cdot v_{1f} + m_{2} \cdot v_{2f} $$

posem les dades en unitats S.I., encara que ometrem les unitats per simplificar la feina:

$$ \frac{1}{2}\cdot 0,15 \cdot 0,6^{2} + \frac{1}{2}\cdot 0,039 \cdot 1,6^{2} = \frac{1}{2}\cdot 0,15 \cdot v_{1f}^{2} + \frac{1}{2}\cdot 0,039 \cdot v_{1f}^{2} \\ 0,15 \cdot 0,6 + 0,039 \cdot 1,6 = 0,15 \cdot v_{1f} + 0,039 \cdot v_{2f} $$

Es tracta d'un sistema no linial de 2 equacions amb 2 incògnites.

Podem calcular el primer membre de cada equació, ja que coneixem les condicions inicials:

In [1]:
1/2*0.15*0.6**2+1/2*0.039*1.6**2
Out[1]:
0.07692000000000002
In [2]:
0.15*0.6+0.039*1.6
Out[2]:
0.1524

Per resoldre aquest sistema podem utilitzar el paquet de calcul simbòlic sympy

In [3]:
from sympy import *
x, y = symbols("x y")

solve([Eq(0.15/2*x**2+0.039/2*y**2, 0.07692), Eq(0.15*x+0.039*y, 0.1524)],[x,y])
Out[3]:
[(0.600000000000000, 1.60000000000000), (1.01269841269841, 0.0126984126984127)]

Conclusions

Fixeu-vos que el sistema admet dues solucions:

Aquesta solució correspon a abans del xoc: $ \left\{ \begin{array}{cl} v_{1}=0,6 \\ v_{2}=1,6 \end{array} \right. $

Aquesta solució correspon a després del xoc: $ \left\{ \begin{array}{cl} v_{1}=1,0127 \\ v_{2}=0,0127 \end{array} \right. $

Potència de sympy

L'ajut de la llibreria sympy és en aquest cas espectacular. Sense ella hauríem de resoldre a ma el sistema, operació extremadament pesada ja que es tracta d'un sistema no linial. La millor forma de resoldre aquests sistemes és el mètode de substitució:

Aïllem $v_{2f}$ a l'equació de conservació del moment:

$$ 0,1524 = 0,15 \cdot v_{1f} + 0,039 \cdot v_{2f} \Rightarrow v_{2f} = \frac{0,1524 - 0,15 \cdot v_{1f}}{0,039} \\ 0,07692 = 0,075 \cdot v_{1f}^{2} + 0,0195 \cdot v_{1f}^{2} $$

i substituim la seva expressió a l'equació de conservació de l'energia:

$$ 0,07692 = \frac{1}{2}\cdot 0,15 \cdot v_{1f}^{2} + \frac{1}{2}\cdot 0,039 \cdot v_{1f}^{2} \Rightarrow 0,07692 = 0,075 \cdot v_{1f}^{2} + 0,0195 \cdot \left(\frac{0,1524 - 0,15 \cdot v_{1f}}{0,039}\right)^2 $$

Desenvolupem el quadrat:

$$ 0,07692 = 0,075 \cdot v_{1f}^{2} + 0,0195 \cdot \left( \frac{0,1524^2 - 2 \cdot 0,1524 \cdot 0,15 \cdot v_{1f} + 0,15^2 \cdot v_{1f}^2}{0,039^2} \right) $$

Simplifiquem l'expressió:

$$ 0,07692 = 0,075 \cdot v_{1f}^{2} + 0,2978 - 0,5862 \cdot v_{1f} + 0,2885 \cdot v_{1f}^2 $$$$ (0,075 +0,2885) \cdot v_{1f}^2 - 0,5862 \cdot v_{1f} + 0,2978 - 0,07692 = 0 $$

Arribem a una eqüació de 2n grau:

$$ 0,3635 \cdot v_{1f}^2 - 0,5862 \cdot v_{1f} + 0,2209 = 0 $$

que té com a solucions:

$ v_{1f} = \left\{ \begin{array}{cl} 1,0127 \\ 0,6 \end{array} \right. $

Calculem $v_{2f}$ a partir de $v_{1f}$. Ems dona, respectivament,

$ v_{2f} = \left\{ \begin{array}{cl} 0,0127 \\ 1,6 \end{array} \right. $

In [ ]: