ベクトルや行列の作り方¶

1 1次元配列＝縦ベクトル=ベクトル
2 1×n行列とは異なる双対ベクトルの作り方
3 行列の作り方
4 dot-syntaxで行列を作る方法
5 行列の連結
6 セミコロンのcollectとしての使い方
7 meshgrid
8 初期化されたもしくはされていないベクトルや行列の作り方
- 8.1 初期化された配列の作り方
- 8.2 初期化されていない配列の作り方

using LinearAlgebra: I

1次元配列＝縦ベクトル=ベクトル¶

コンマは「単に並べる」というニュアンス.
セミコロンと改行は「縦に並べる」というニュアンス.

Julia言語では「単に数値を並べただけの1次元配列」は「数値を縦に並べてできる縦ベクトル」とみなされる.

したがって, 以下の3つは全部縦ベクトルになる. 以下では縦ベクトルを単にベクトルと呼ぶ.

v = [1,2,3]

3-element Array{Int64,1}:
 1
 2
 3

v = [1;2;3]

3-element Array{Int64,1}:
 1
 2
 3

3-element Array{Int64,1}:
 1
 2
 3

1×n行列とは異なる双対ベクトルの作り方¶

空白は「横に並べる」というニュアンス.

次は1×3行列(2次元配列)になる. この節の目標はこれの説明ではない.

f = [2 3 -1]

1×3 Array{Int64,2}:
 2  3  -1

1×3行列(1×3の2次元配列)と3次元ベクトル(長さ3の1次元配列)の積は1次元ベクトル(長さ1の1次元配列)になる.

f*v

1-element Array{Int64,1}:
 5

スカラーを得るにはこうする.

(f*v)[1]

5

これは非常に面倒である. 以下のようにすればこのような手間がいらなくなる.

次は3次元双対ベクトルになる. (双対ベクトルは双対空間の要素＝線形汎函数という意味. 教科書ではよく横ベクトル表記される.)

g = transpose([2, 3, -1])

1×3 LinearAlgebra.Transpose{Int64,Array{Int64,1}}:
 2  3  -1

(双対ベクトル)*(ベクトル)はスカラーになる. 双対空間の概念が実装されているのはJulia言語の大きな特徴である.

g*v

5

(ベクトル)*(双対ベクトル)は行列になる.

v*g

3×3 Array{Int64,2}:
 2  3  -1
 4  6  -2
 6  9  -3

以下のようにして双対ベクトルを作ることもできる. こちらの方が書く分量が減る.

h = [2,3,-1]'

1×3 LinearAlgebra.Adjoint{Int64,Array{Int64,1}}:
 2  3  -1

h*v

5

v*h

3×3 Array{Int64,2}:
 2  3  -1
 4  6  -2
 6  9  -3

ただし, ' は単に転置を取るだけではなく共役を取る操作も含まれている.

a = [1+2im, 3+4im]

2-element Array{Complex{Int64},1}:
 1 + 2im
 3 + 4im

a'

1×2 LinearAlgebra.Adjoint{Complex{Int64},Array{Complex{Int64},1}}:
 1-2im  3-4im

次のような場合には積を意味する*を省略できる.

a'a

30 + 0im

単に共役を取るには次のようにする.

conj(a)

2-element Array{Complex{Int64},1}:
 1 - 2im
 3 - 4im

実部と虚部は次の通り.

real(a)

2-element Array{Int64,1}:
 1
 3

imag(a)

2-element Array{Int64,1}:
 2
 4

行列の作り方¶

空白は「横に並べる」という意味.
セミコロンは「縦に並べる」という意味.
LinearAlgebra.I は単位行列のように使える.

A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]

3×3 Array{Int64,2}:
 1  2  3
 4  5  6
 7  8  9

3×3 Array{Int64,2}:
 1  2  3
 4  5  6
 7  8  9

A + 10I

3×3 Array{Int64,2}:
 11   2   3
  4  15   6
  7   8  19

10I*v

3-element Array{Int64,1}:
 10
 20
 30

(行列)*(ベクトル)はベクトルになる.

A*v

3-element Array{Int64,1}:
 14
 32
 50

(双対ベクトル)*(行列)は双対ベクトルになる.

g*A

1×3 LinearAlgebra.Transpose{Int64,Array{Int64,1}}:
 7  11  15

h*A

1×3 LinearAlgebra.Adjoint{Int64,Array{Int64,1}}:
 7  11  15

(双対ベクトル)*(行列)*(ベクトル)はスカラーになる. (1×1行列になったりしない)

g*A*v

74

h*A*v

74

dot-syntaxで行列を作る方法¶

x = 1:4

1:4

y = 1:3

1:3

(縦ベクトル) .+ (横(双対)ベクトル) の形式で行列を作ることもできる.

x .+ im*y'

4×3 Array{Complex{Int64},2}:
 1+1im  1+2im  1+3im
 2+1im  2+2im  2+3im
 3+1im  3+2im  3+3im
 4+1im  4+2im  4+3im

より一般に φ.(x, y') の形式で行列を作ることができる.

φ(x, y) = x^2 + im*y
φ.(x, y')

4×3 Array{Complex{Int64},2}:
  1+1im   1+2im   1+3im
  4+1im   4+2im   4+3im
  9+1im   9+2im   9+3im
 16+1im  16+2im  16+3im

行列の連結¶

空白は「横に並べる」という意味
セミコロンと改行は「縦に並べる」という意味

[
    A v
    g 0
]

4×4 Array{Int64,2}:
 1  2   3  1
 4  5   6  2
 7  8   9  3
 2  3  -1  0

P = [11 12; 13 14]

2×2 Array{Int64,2}:
 11  12
 13  14

Q = [21 22; 23 24]

2×2 Array{Int64,2}:
 21  22
 23  24

R = [31 32; 33 34]

2×2 Array{Int64,2}:
 31  32
 33  34

S = [41 42; 43 44]

2×2 Array{Int64,2}:
 41  42
 43  44

T = [P Q; R S]

4×4 Array{Int64,2}:
 11  12  21  22
 13  14  23  24
 31  32  41  42
 33  34  43  44

セミコロンのcollectとしての使い方¶

1:3 はベクトル=1次元配列にはならない.

1:3

1:3

typeof(1:3)

UnitRange{Int64}

1次元配列に変換するには以下のような方法がある.

Array(1:3)

3-element Array{Int64,1}:
 1
 2
 3

Vector(1:3)

3-element Array{Int64,1}:
 1
 2
 3

collect(1:3)

3-element Array{Int64,1}:
 1
 2
 3

[1:3;]

3-element Array{Int64,1}:
 1
 2
 3

セミコロンは次のような使い方もできる. (時間を逆戻しする動画を作るときに使われる.)

[1:5; 4:-1:1]

9-element Array{Int64,1}:
 1
 2
 3
 4
 5
 4
 3
 2
 1

meshgrid¶

Julia言語の文化圏ではメモリ効率が悪いmeshgridは好かれていない.

どうしてもmeshgridを使いたければ以下のようにする.

x = range(1, 3, length=3)

1.0:1.0:3.0

y = range(1, 4, length=4)

1.0:1.0:4.0

repeatを使う方法¶

x_grid = repeat(x', length(y))

4×3 Array{Float64,2}:
 1.0  2.0  3.0
 1.0  2.0  3.0
 1.0  2.0  3.0
 1.0  2.0  3.0

y_grid = repeat(y, 1, length(x))

4×3 Array{Float64,2}:
 1.0  1.0  1.0
 2.0  2.0  2.0
 3.0  3.0  3.0
 4.0  4.0  4.0

複素数を経由する方法¶

z = @.(x' + im*y)

4×3 Array{Complex{Float64},2}:
 1.0+1.0im  2.0+1.0im  3.0+1.0im
 1.0+2.0im  2.0+2.0im  3.0+2.0im
 1.0+3.0im  2.0+3.0im  3.0+3.0im
 1.0+4.0im  2.0+4.0im  3.0+4.0im

x_grid = real(z)

4×3 Array{Float64,2}:
 1.0  2.0  3.0
 1.0  2.0  3.0
 1.0  2.0  3.0
 1.0  2.0  3.0

y_grid = imag(z)

4×3 Array{Float64,2}:
 1.0  1.0  1.0
 2.0  2.0  2.0
 3.0  3.0  3.0
 4.0  4.0  4.0

meshgridは効率が悪い¶

ψ(x,y) = x^2 - y^2

ψ (generic function with 1 method)

以下の2つの結果は同じになる. x_grid, y_gridを使っている側は無駄にコードを長くしていてかつ無駄にメモリを消費している.

ψ.(x_grid, y_grid)

4×3 Array{Float64,2}:
   0.0    3.0   8.0
  -3.0    0.0   5.0
  -8.0   -5.0   0.0
 -15.0  -12.0  -7.0

ψ.(x', y)

4×3 Array{Float64,2}:
   0.0    3.0   8.0
  -3.0    0.0   5.0
  -8.0   -5.0   0.0
 -15.0  -12.0  -7.0

初期化されたもしくはされていないベクトルや行列の作り方¶

初期化された配列の作り方¶

0を並べる.

O = zeros(2, 3)

2×3 Array{Float64,2}:
 0.0  0.0  0.0
 0.0  0.0  0.0

O_int = zeros(Int, 2, 3)

2×3 Array{Int64,2}:
 0  0  0
 0  0  0

1を並べる.

K = ones(2, 3)

2×3 Array{Float64,2}:
 1.0  1.0  1.0
 1.0  1.0  1.0

K_int = ones(Int, 2, 3)

2×3 Array{Int64,2}:
 1  1  1
 1  1  1

対角成分に1を並べ, 他は0にする.

E = Matrix{Int}(I, 3, 4)

3×4 Array{Int64,2}:
 1  0  0  0
 0  1  0  0
 0  0  1  0

乱数で初期化.

r = rand(3) # 0～1の一様分布

3-element Array{Float64,1}:
 0.13125773388044792
 0.25280252772597267
 0.577204341724449

R = randn(3,3) # 標準正規分布乱数

3×3 Array{Float64,2}:
 -0.571556  -0.0732707   1.83136  
 -0.300118  -1.54188    -0.0802414
 -0.295303  -0.998139    0.0670566

既存の行列と同じ型・同じサイズの零行列と単位行列.

zero(K)

2×3 Array{Float64,2}:
 0.0  0.0  0.0
 0.0  0.0  0.0

one(R)

3×3 Array{Float64,2}:
 1.0  0.0  0.0
 0.0  1.0  0.0
 0.0  0.0  1.0

初期化されていない配列の作り方¶

u = Array{Float64, 1}(undef, 3)

3-element Array{Float64,1}:
 1.0736794302e-313
 3.0988588e-316   
 3.1004738e-316

u = Vector{Float64}(undef, 3)

3-element Array{Float64,1}:
 1.0737161768e-313 
 1.07371617365e-313
 3.0989157e-316

X = Array{Float64, 2}(undef, 3, 4)

3×4 Array{Float64,2}:
 3.58943e-316  3.58946e-316  0.0  0.0
 3.58943e-316  3.58949e-316  0.0  0.0
 3.58946e-316  3.58234e-316  0.0  0.0

X = Matrix{Float64}(undef, 3, 4)

3×4 Array{Float64,2}:
 3.46142e-316  3.57871e-316  0.0  0.0
 1.07063e-313  3.46147e-316  0.0  0.0
 3.46142e-316  3.46135e-316  0.0  0.0

既存の配列と同じ型・同じサイズの初期化されていない入れる.

S = similar(K)

2×3 Array{Float64,2}:
 5.55738e-316  3.09868e-316  5.54975e-316
 5.55743e-316  3.09886e-316  0.0