Contraste Bilateral: Cálculo del Error de tipo II

Parámetro $p$ en variables de $Bernoulli$

Autor:

Sergio García Prado - garciparedes.me

Fecha:

Abril de 2018

Agradecimientos:

Me gustaría agradecer a la profesora Pilar Rodríguez del Tío la revisión y correcciones sobre este trabajo.

Descripción:

Las variables aleatorias de $Bernoulli$ surgen cuando se pretende estudiar fenómenos de carácter binario como por ejemplo, la ocurrencia o no de un determinado suceso. Estas variables se caracterizan por el ratio de ocurrencia del suceso de estudio, el cual se denota por $p \in [0, 1]$.

Sin embargo, este parámetro es desconocido en la mayoría de casos, por lo que es habitual que surja la pregunta sobre qué valor es el que toma. Para hacer inferencia sobre $p$ existen distintas técnicas, entre las que se encuentran los contrastes de hipótesis. En los contrastes se utilizan por dos parámetros de error conocidos como $\alpha$ y $\beta$ que representan la probabilidad de rechazar la hipótesis cuando era cierta y de aceptarla cuando era falsa.

Estos errores están relacionados entre si, y cuando uno disminuye el otro aumenta, por lo que es necesario estudiar su comportamiento en detalle para llegar a extraer conclusiones razonables de nuestros datos.

En este trabajo nos hemos centrado en estudiar la variación del error de tipo II (probabilidad de aceptar la hipótesis $p = c$ cuando en realidad era falsa) en el contraste bilateral para el parámetro p sobre una muestra aleatoria simple de variables de Bernoulli.

Procedimiento:

Sea:

$$X_1,..., X_i,..., X_n \ m.a.s \mid X_i \sim B(p) $$

Sabemos que:

$$\widehat{p} = \bar{X} = \frac{\sum_{i = 1}^nX_i}{n}$$

Para realizar el contraste:

$$H_0: p = c\\H_1:p \neq c$$

Sabemos que:

\begin{align} \widehat{p} \simeq N(p, \frac{p(1-p)}{n}) &\quad \text{(bajo cualquier hipótesis)}\\ \widehat{p} \simeq N(c, \frac{c(1-c)}{n}) &\quad \text{(bajo $H_0$)} \end{align}

Si tipificamos para en ambos casos:

\begin{align} \frac{\widehat{p} - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \simeq N(0, 1) &\quad \text{(bajo cualquier hipótesis)}\\ \frac{\widehat{p} - c}{\sqrt{\frac{c(1-c)}{n}}} \simeq N(0, 1) &\quad \text{(bajo $H_0$)} \end{align}

Ahora, queremos construir la región crítica o de rechazo tal que:

$$P_{H_0}(C) = \alpha$$

Por lo tanto:

\begin{align} C &= \left\{ \left| \ N(0,1) \ \right| \geq Z_{1 - \frac{\alpha}{2}}\right\} \\ &= \left\{ \left| \ \frac{\widehat{p} - c}{\sqrt{\frac{c(1-c)}{n}}} \ \right| \geq Z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \right\} \\ &= \left\{ \left| \ \widehat{p} - c \ \right| \geq Z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \sqrt{\frac{c(1-c)}{n}}\right\} \\ &= \left\{ \widehat{p} \leq c - Z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \sqrt{\frac{c(1-c)}{n}}\right\} \cup \left\{c + Z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \sqrt{\frac{c(1-c)}{n}} \leq \widehat{p}\right\} \\ \end{align}

(Donde $Z_{1 - \frac{\alpha}{2}}$ se refiere al cuantil $1-\alpha/2$ de la distribución Normal estándar)

Sin embargo, buscamos calcular el error de tipo II:

$$\beta\left(p\right) = P_p(\bar{C})$$

Luego, obtenemos el complementario de la región crítica:

\begin{align} \bar{C} &= \left\{ \left| \ N(0,1) \ \right| < Z_{1 - \frac{\alpha}{2}}\right\} \\ &= \left\{ \left| \ \frac{\widehat{p} - c}{\sqrt{\frac{c(1-c)}{n}}} \ \right| < Z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \right\} \\ &= \left\{ \left| \ \widehat{p} - c\ \right| < Z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \sqrt{\frac{c(1-c)}{n}}\right\} \\ &= \left\{ c - Z_{1-\frac{\alpha}{2}} \sqrt{\frac{c(1-c)}{n}} < \widehat{p} < c + Z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \sqrt{\frac{c(1-c)}{n}}\right\} \\ \end{align}

Para después desarrollar el cálculo de dicha probabilidad:

\begin{align} \beta(p) &= P_p(\bar{C}) \\ &= P_p\left(\left| \frac{\widehat{p} - c}{\sqrt{\frac{c(1-c)}{n}}} \right| < Z_{1 - \frac{\alpha}{2}}\right) \\ &= P_p\left(c - Z_{\frac{\alpha}{2}} \sqrt{\frac{c(1-c)}{n}} < \widehat{p} < c + Z_{ 1- \frac{\alpha}{2}} \sqrt{\frac{c(1-c)}{n}}\right) \\ &= \Phi\left(\frac{\left(c + Z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \sqrt{\frac{c(1-c)}{n}}\right)-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\right) - \Phi\left(\frac{\left(c - Z_{1 - \frac{\alpha}{2}} \sqrt{\frac{c(1-c)}{n}}\right)-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\right) \end{align}

(Donde $\Phi(x)$ se refiere a la función de distribución de la Normal estándar)

A continuación se muestra la implementación de los cálculos superiores en R:

Implementación:

Cálculo del varlor crítico de nivel $\alpha$ para variables de Bernoulli:

In [1]:
CriticalValue <- function(n, p, alpha) {
  qnorm(alpha) * sqrt((p * (1 - p)) / n)
}

Cálculo de la probabilidad $P(\bar{C})$:

In [2]:
PNegateC <- function(p, n, c, alpha) {
  pnorm(
    (
      c + CriticalValue(n, c, 1 - alpha / 2)  - p
    ) / sqrt((p * (1 - p)) / n)
  ) - 
  pnorm(
    (
      c - CriticalValue(n, c,  1 - alpha / 2)  - p
    ) / sqrt((p * (1 - p)) / n)
  )
}

 Representación gráfica de $\beta(p)$ tomando distintos valores $c$ y $n$ (manteniendo $\alpha$ fijo) para comprobar su variación

In [3]:
n.vec <- 10 ^ (1:3)
c.vec <- c(0.25, 0.5, 0.75)
p <- seq(0, 1, length = 200)

Resultados:

In [4]:
par(mfrow = c(length(n.vec), length(c.vec)))
for (n in n.vec) {
  for (c in c.vec) {
    plot(p, 1 - PNegateC(p, n, c, 0.05), type = "l", 
         main = paste("c =", c, "\nn =", n),
         ylab = "A(p) = 1 - B(p)")
  }
}

Tal y como se puede apreciar, la función del error tan solo es simétrica en el caso $c = \frac{1}{2}$, lo cual es más marcado para valores de $n$ pequeños. Además, conforme aumenta $n$ la función $\beta(p)$ se vuelve mucho más apuntada entorno a $c$, por lo que el error de tipo II se mantiene muy bajo excepto para valores $p \simeq c$. Esto tiene sentido ya que el error cometido por rechazar que el verdadero valor de $p$ es $c$ será bajo cuando realmente no sea $c$, mientras que será elevado cuando si que lo sea. En dicho caso, este error está condicionado por el error de no rechazo, es decir, de tipo I (en este ejemplo $\alpha = 0.05$).