2.feladat. Mit approximál az
(a) $\displaystyle \frac{f(x_i+h)-2f(x_i)+f(x_i-h)}{h^2}$
(b) $\displaystyle \frac{f(x_i-2h)-4f(x_i-h)+6f(x_i)-4f(x_i+h)+f(x_i+2h)}{h^4}$
kifejezés? Határozzuk meg a közelítés hibáját!
A=[1 1 1; 1 0 -1; 1/2 0 1/2];rats(full(A))
b=[0 0 1]'
x=A\b
ans = 1 1 1 1 0 -1 1/2 0 1/2 b = 0 0 1 x = 1 -2 1
3.feladat. Adjuk meg a középponti és centrális differenciahányados $\epsilon$-hibával megadott függvényértékek melletti optimális $h$ lépéshossz megválasztását.
4.feladat. Egy $f$ függvény függvényértékeit tartalmazza az alábbi táblázat.
x | 1 | 1.05 | 1.1 | 1.15 | 1.2 | 1.25 |
---|---|---|---|---|---|---|
f(x) | 1 | 1.02470 | 1.04881 | 1.07238 | 1.09544 | 1.11803 |
Az alábbi közelítõ kifejezések közül válasszuk ki azokat, amelyekkel lehet közelíteni $f'(1),\ f''(1)$ és $f'''(1)$ és határozzuk meg, hogy a módszerek milyen közelítõ értéket adnak.
(a) $\displaystyle \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
(b) $\displaystyle \frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}$
(c) $\displaystyle \frac{f(x_0+h)-2f(x_0)+f(x_0-h)}{h^2}$
(d) $\displaystyle \frac{f(x_0+2h)-2f(x_0+h)+f(x_0)}{h^2}$,
(e) $\displaystyle \frac{-f(x_0+h)+3f(x_0+2h)-3f(x_0+3h)+f(x_0+4h)}{h^3}$
(f) $\displaystyle \frac{-2f(x_0+h)-3f(x_0+2h)+2f(x_0+3h)+2f(x_0+4h)}{h^3}$
5.feladat. Határozzuk meg az $f(x)=x^2-2x+2$ függvény közelítõ integrálját az $x=1,\ 2,\ 3$ alappontokon az alábbi Newton-Cotes formulákkal:
(a) érintőformula
(b) trapézformula
(c) Simpson-formula
format long
a=1;
b=3;
n=1;
h=(b-a)/n;
% Érintő formula 5. feladatra
x=[a:h/2:b];
fv=x.^2-2*x+2
y=eval('fv')
((b-a)/n)*sum(y(2:2:2*n))
fv = 1 2 5 y = 1 2 5 ans = 4
Beadható feladat MATLAB-ban programozni a trapéz szabályt.
format long
a=1;
b=3;
n=2;
h=(b-a)/n;
% Simpson formula 5. feladatra
%Fontos, hogy n páros és n/2 részintervallumra alkalmazzuk
x=[a:h:b];
fv=x.^2-2*x+2
y=eval('fv');
((b-a)/(3*n))*(y(1)+4*sum(y(2:2:n))+2*sum(y(3:2:n-1))+y(n+1))
fv = 1 2 5 ans = 4.666666666666666
6.feladat. Számítsuk ki az
$$\displaystyle\int_0^1 x^2\mathrm{dx}$$
értékét érintõ- és trapézformulával. Mekkora a hiba? Számoljuk ki ugyanezt összetett érintõ- és trapézszabállyal is. Hány részintervallum kell ahhoz, hogy a hiba kisebb legyen, mint $0.0001$?
7.feladat. Az
$$\displaystyle\int_{-1}^1 \frac{1}{2+x}\mathrm{dx}$$
integrált érintõszabállyal közelítjük. Hány intervallumot kell megadnunk ahhoz, hogy az integrált $0.01$-nél kisebb hibával közelítsük?
8.feladat. Számoljuk ki az
$$\displaystyle\int_{0}^1 \frac{1}{1+x^2}\mathrm{dx}$$
integrál értékét a $[0,1]$ intervallum három részre való felosztásával trapézszabállyal. Mekkora a hiba? Hány intervallum kell ahhoz, hogy $0.00001$ pontossággal megkaphassuk a pontos értékét?
9.feladat. Adjuk meg az
$$\displaystyle\int_{0}^2 \frac{1}{(1+x)^2}\mathrm{dx}$$
integrál közelítését Simpson-formulával. Hány részre kell felosztani a $[0,2]$ intervallumot, hogy az összetett Simpson-formula legfeljebb $0.001$ hibával közelítse az integrál értékét?
10.feladat. Hányadfokú polinomokra pontos az alábbi kvadratúraformula? $$\displaystyle\int_{-1}^1 f(x)\mathrm{dx}\approx f\Big(\frac{-\sqrt{3}}{3}\Big)+f\Big(\frac{\sqrt{3}}{3}\Big)$$