1.feladat. Írjuk fel azt az $S(x)$ másodfokú spline-t, amely illeszkedik az $(-1,2),\ (0,1),\ (2,-1)$ pontokra és $S'(2)=-2$.
2.feladat. Az $f(x)=1/x$ függvényt interpoláljuk másodfokú spline interpolációval az $x=1,\ 2,\ 3$ osztópontokon és $S'(1)=-1$.
3.feladat. Írjuk fel azt az $S(x)$ másodfokú spline interpolációt, amely illeszkedik a $(-1,2),\ (0,1),\ (2,-1), (3,-3)$ pontokra és $S(x)$ a $[2,3]$ intervallumon lineáris!
4.feladat.(Beadható) Megadható-e a $(-\pi,-1),\ (0,1),\ (\pi,-1)$ pontokon interpoláló másodfokú periodikus spline?
5.feladat. Tekintsük az $f(x)=\sin\Big(\displaystyle\frac{\pi}{2}x\Big)$ függvényt az $x=-1,\ 0,\ 1$ osztópontokon. Határozzuk meg az $f$-et interpoláló
(a) köbös természetes spline-t,
(b) köbös spline-t Hermite-féle peremfeltétellel.
6.feladat.(Beadható) Felírható-e olyan harmadfokú periodikus spline interpolációs polinom, amely illeszkedik a $(0,0),\ (1,3),\ (2,0)$ pontokra, ha azt az alábbi alakban keressük:
7.feladat. Írjuk fel az $f$-et interpoláló Hermite-féle peremfeltételû harmadfokú spline-t, melyre $$f(-1)=1,\ f'(-1)=-1,\ f(0)=-1,\ f(1)=1,\ f'(1)=3.$$
% Beepitett kobos spline
x = [0 1 2.5 3.6 5 7 8.1 10];
y = sin(x);
xx = 0:.25:10;
yy = spline(x,y,xx);
plot(x,y,'o',xx,yy)
% Beepitett kobos spline vegpontbeli nulla derivaltakkal
x = -4:4;
y = [0 .15 1.12 2.36 2.36 1.46 .49 .06 0];
cs = spline(x,[0 y 0]);
xx = linspace(-4,4,101);
plot(x,y,'o',xx,ppval(cs,xx),'-');
8.feladat. Adjuk meg a legkisebb négyzetek elvén alapuló minimumfeladat megoldását.
9.feladat. Határozzuk meg a $(0,1),\ (1,3),\ (2,4),\ (3,6)$ pontokat négyzetesen legjobban közelítõ egyenest!
10.feladat.(Beadható) Vizsgáljuk meg a Gauss-féle normál-egyenlet megoldhatóságát!
11.feladat. Tekintsünk egy periodikus folyamat egy alkalmas modelljét:
$$F(t)=x_1+x_2\cos(\pi t)+x_3\sin(\pi t).$$
A $0,\ 1/2,\ 2,\ 5/2,\ 4,\ 9/2$ idpõpontok mérési eredményeibõl vizsgáljuk meg a feladat megoldhatóságát és ezzel egyetemben határozzuk meg a modell ismeretlen paramétereit.
12.feladat. Kétféleképpen határozzuk meg a $(2,1),\ (4,3),\ (6,2)$ pontokat négyzetesen legjobban közelítõ egyenest!
13.feldat. Írjuk fel a megadott $(t_i, f_i)$ pontokat négyzetesen legjobban közelítõ egyenest a Gauss-féle normál-egyenlet segítségével.
t_i | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
---|---|
f_i | -4 | -2 | 1 | 2 | 4 |
Számítsuk ki a maradékvektor euklideszi hosszának négyzetét.
14.feladat. Írjuk fel a megadott $(t_i, f_i)$ pontokat négyzetesen legjobban közelítõ parabolát a Gauss-féle normál-egyenlet segítségével.
t_i | -2 | -1 | 1 | 2 |
---|---|
f_i | 3 | 1 | 0 | 2 |
Számítsuk ki a maradékvektor euklideszi hosszának négyzetét.
15.feladat. Írjuk fel a megadott $(t_i, f_i)$ pontokat négyzetesen legjobban közelítõ parabolát és harmadfokú polinomot a Gauss-féle normál-egyenlet segítségével.
t_i | -2 | 0 | 3 |
---|---|
f_i | 1 | 3 | 4 |
[A,ATranA,ATranf,x,Jnorma,MatlabPolyfit]=legkisebbnegyzetek([-2 -1 0 2],[1 1 3 2],2)
A = 1 -2 4 1 -1 1 1 0 0 1 2 4 ATranA = 4 -1 9 -1 9 -1 9 -1 33 ATranf = 7 1 13 x = 2.4000 0.3500 -0.2500 Jnorma = 1.1000 MatlabPolyfit = 2.4000 0.3500 -0.2500
rats(x)
ans = -1/6 -3/10 2/3
function [A,ATranA,ATranf,x,Jnorma,MatlabPolyfit]=legkisebbnegyzetek(t,f,n)
%% A Gauss-féle normál-egyenlet megvalósítása n-edfokú polinomok esetén
% A feladat: adott (t_i,f_i) alakú pontokra legkisebb négyzetek módszerének
% megvalósítása Gauss-féle normál-egyenlettel
%
%
%% Bemenõ paraméterek listája:
% t alappontok
% f t-hez tartozó értékek
% n a közelítõ módszer rendje
%% Elõkészületek
e=ones(max(size(t)),1);
if n==0
A(:,1)=e;
ATranA=(A'*A);
ATranf=(A'*f');
x=(A'*A)\(A'*f');
J=A*x-f';
Jnorma=norm(J,2)^2;
elseif n==1
A(:,1)=e;
A(:,2)=t';
ATranA=(A'*A);
ATranf=(A'*f');
x=(A'*A)\(A'*f');
J=A*x-f';
Jnorma=norm(J,2)^2;
else n>=2
A(:,1)=e;
A(:,2)=t';
for i=3:n+1
A(:,i)=A(:,i-1).*t';
end
ATranA=(A'*A);
ATranf=(A'*f');
x=(A'*A)\(A'*f');
J=A*x-f';
Jnorma=norm(J,2)^2;
end
%% Biztonsági összevetés a Matlab beépített függvényével
MatlabPolyfit=rot90(polyfit(t,f,n)',2);