2.feladat. Mutassuk meg, hogy az $(X,\left\| \cdot \right\|)$ normált tér:
(a) $X=\mathbb{K}^n,\ \left\| x \right\|_{1}=\sum\limits_{k=1}^{n}{|x_{k}|}$
(b) $X=\mathbb{K}^n,\ \left\| x \right\|_{2}=\left(\sum\limits_{k=1}^{n}{|x_{k}|^2}\right)^{1/2}$
(c) $X=\mathbb{K}^n,\ \left\| x \right\|_{\infty}=\max\limits_{1\leq k \leq n}{|x_{k}|}$
(d) $X=C[a,b],\ \left\| f \right\|_{\infty}=\max\limits_{x\in[a,b]} {|f(x)|}$
(e) $X=C[a,b],\ \left\| f \right\|_{1}=\int\limits_{a}^{b}{|f(x)|dx}$
% Az egyes vektornormák MATLAB-ban
a=[-1 2 3 -4 11 0 -542]
norm(a)
norm(a,1)
norm(a,2)
norm(a,inf)
a = -1 2 3 -4 11 0 -542 ans = 542.1393 ans = 563 ans = 542.1393 ans = 542
4.feladat. Mutassuk meg, hogy az alábbi normák ekvivalensek $\mathbb{R}^n$-ben:
(a) $\left\| \cdot \right\|_{1}\cong\left\| \cdot \right\|_{\infty}$
(b) $\left\| \cdot \right\|_{2}\cong\left\| \cdot \right\|_{\infty}$
(c) $\left\| \cdot \right\|_{1}\cong\left\| \cdot \right\|_{2}$
(d) $\left\| \cdot \right\|_{5}\cong\left\| \cdot \right\|_{\infty}$
5.feladat. Legyen $X$ vektortér. Igazoljuk, ha $\left\| \cdot \right\|_{a}\cong\left\| \cdot \right\|_{b}$ és $\left\| \cdot \right\|_{b}\cong\left\| \cdot \right\|_{c}$ ekvivalens normák $X$-en, akkor $\left\| \cdot \right\|_{a}\cong\left\| \cdot \right\|_{c}$.
6.feladat. (Beadható házi feladat) Legyen $x\in\mathbb{R}^n$ tetszõleges vektor. Mutassuk meg, hogy $\displaystyle\lim_{p\to\infty}\left\| x \right\|_{p}=\left\| x \right\|_{\infty}$.
8.feladat. Igazoljuk, hogy a norma folytonos függvény, azaz ha $x_n\to x$, akkor $\left\| x_n \right\|\to\left\| x \right\|$.
9.feladat. Legyen $X$ Banach tér. Bizonyítsuk be, ha $\sum{\left\| x_n \right\|}$ konervgens, akkor $\sum{x_n}$ is konvergens.
10.feladat. Ellenõrizzük, hogy $f$ kontrakció-e a megadott intervallumon.
(a) $f(x)=\displaystyle\frac{1}{2}\Big(x+\frac{2}{x}\Big),\ x\in[1,2]$
(b) $f(x)=x^2,\ x\in[0,1]$
(c) $f(x)=\displaystyle\sqrt{x+2},\ x\in[0,2]$
(d) $f(x)=\displaystyle\frac{x+2}{x+1},\ x\in[1,2]$
(e) $f(x)=0.9\cos(x),\ x\in[0,1]$
11.feladat. Alkalmazható-e az elõzõ feladat adott $f$ leképezéseire a Banach fixponttétel? Amennyiben igen, akkor adott $x_0$ pontból hány iterációs lépést kell megtennünk ahhoz, hogy $10^{-5}$ nagyságú hibával határozzuk meg az egyenlet megoldását?
(a) $x_0=1$
(b) $x_0=0$
(c) $x_0=0$
(d) $x_0=1$
(e) $x_0=1$
% Az elozo feladat (a) példája
tol=1e-5;
x_0=1;
q=0.5; % Kontraktivitási állandó
x_1=1/2*(x_0+2/x_0); % Egyszerű iteráció alakja
n=log(((1-q)*tol)/(abs(x_1-x_0)))/log(q) % Lépések száma
disp(ceil(n)) % Egész lépések száma
n = 16.6096 17
13.feladat. Igazoljuk a szubmultiplikatív tulajdonságot, azaz a $\left\| AB \right\| \leq \left\| A \right\|\cdot\left\| B \right\|$ tulajdonságot.
14.feladat.(Beadható) Bizonyítsuk be, hogy az $\left\| \cdot \right\|_{1}$ és $\left\| \cdot \right\|_{\infty}$ vektornormák által indukált mátrixnorma kiszámítható a mátrix elemeinek a segítségével az alábbi módon:
(a) $\left\| A \right\|_{1}=\displaystyle\max_{1\leq j\leq n}\sum_{i=1}^n{|a_{ij}|}$
(b) $\left\| A \right\|_{\infty}=\displaystyle\max_{1\leq i\leq n}\sum_{i=j}^n{|a_{ij}|}$
% Indukált mátrixnormák
A=[-2 4; 11 -33]
norm(A,1)
norm(A,inf)
norm(A,'fro')
norm(A,2)
A = -2 4 11 -33 ans = 37 ans = 44 ans = 35.0714 ans = 35.0657
(a) $\displaystyle\sum_{i,j=1}^n{|a_{ij}|}$
(b) $\displaystyle\max_{1\leq i,j\leq n}{|a_{ij}|}$
16.feladat. Kielégítik-e a szubmultiplikatív tulajdonságot az alábbi mátrixnormák?
(a) $\displaystyle\sum_{i,j=1}^n{|a_{ij}|}$
(b) $\displaystyle\left(\sum_{i,j=1}^n|a_{ij}|^2\right)^{1/2}$
A=[-1 2 3 0; -11 22 0 2.67; 1 -8 5.5 0; 9 8 0 11];
norm(A,2);
norm(A,'fro');
18.feladat. Legyen $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ szimmetrikus mátrix. Igazoljuk, hogy $\rho(A)=\left\| A \right\|_2$.
19.feladat. Igazoljuk, hogy tetszõleges indukált mátrixnormára érvényes a $\rho(A)\leq\left\| A \right\|$ összefüggés.
20.feladat. Számítsuk ki az alábbi mátrixok $\left\| A \right\|_1,\ \left\| A \right\|_2,\ \left\| A \right\|_F$ és $\left\| A \right\|_{\infty}$ normáit. Adjunk meg olyan vektorokat, amelyekre az $\left\| Ax \right\|_1=\left\| A \right\|_1\cdot\left\| x \right\|_1$ és $\left\| Ax \right\|_{\infty}=\left\| A \right\|_{\infty}\cdot\left\| x \right\|_{\infty}$ összefüggések igazak.
(a) $\left(
\begin{array}{cc}
0 & 2 \\
-1 & 1\end{array} \right)$
(b) $\left(
\begin{array}{cc}
3 & 4 \\
0 & 0\end{array} \right)$
A=[0 2; -1 1]
B=A'*A
norm(B,2)
rats(eig(A'*A)); % rats parancs veszelyere irracionalis esetben felhivni a figyelmet
A = 0 2 -1 1 B = 1 -1 -1 5 ans = 5.2361
Rosszul kondícionáltság: $$\mathrm{cond}(A)\frac{||\delta b||}{||b||}\geq 1\ \mathrm{avagy}\ \mathrm{cond}(A)>>1$$
21.feladat. Számítsuk ki az $$A=\left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 1 & 2\end{array} \right) $$
mátrix különböző normákhoz tartozó kondíciószámait: $\mathrm{cond}_1(A),\ \mathrm{cond}_2(A),\ \mathrm{cond}_F(A)$ és $\mathrm{cond}_{\infty}(A)$.
22.feladat. Az $A$ mátrix sajátértékeinek segítségével adjunk alsóbecslést annak kondíciószámára.
23.feladat. Megoldottuk az 1.feladatsor 1.feladatát (az eredeti és a hibával terhelt rendszert). Adjunk magyarázatot a kapott eredményekre.
% Kondíciószámok MATLAB-ban
A=[2 3; 1 2];
cond(A,1)
cond(A,2)
cond(A,inf)
cond(A,'fro')
%norm(A,2)*norm(inv(A),2)
ans = 25 ans = 17.9443 ans = 25 ans = 18.0000