1.feladat. Oldjuk meg az eredeti és a hibával terhelt rendszert.
(a) $\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1.01 \end{array} \right)$ $\left( \begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2} \end{array} \right)$=$\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2.01 \end{array} \right)$
(b) $\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1.01 \end{array} \right)$ $\left( \begin{array}{c} y_{1}\\ y_{2} \end{array} \right)$=$\left( \begin{array}{c} 2 \\ 2.02 \end{array} \right)$
A_1=[1 1; 1 1.01]
b_1=[2 2.01] % A % a kommentelés MATLAB-ban. Nem kapunk jó eredmény, mert b_1 nem oszlopvektor.
%Transzponáljunk!
x_1=A_1\b_1
A_1=[1 1; 1 1.01], b_1=[2 2.01]'
x_1=A_1\b_1 % A megoldás: x_1=A_1^{-1}*b_1
% Ez lenne a megfelelő MATLAB parancs: x_1=inv(A_1)*b_1 Ha lehet kerüljük, mert lassú!
b_2=[2 2.02]'; x_2=A_1\b_2 % A hibával terhelt megoldás
cond(A_1) % A A_1 mátrix euklidészi, azaz 2-es kondíciószáma
2.feladat. Tekintsük az alábbi integrált:
$$\displaystyle I_n=\int_0^1\frac{x^n}{10+x}dx,$$ ahol $n\in\mathbb{N}$.
(a) Mutassuk meg, hogy $I_n\geq 0$, $I_{n+1}\leq I_n$ és $I_n\to 0$, ha $n\to\infty$.
(b) Adjunk rekurziót $I_n$-re. Számoljuk ki a rekurzió elsõ pár tagját. Magyarázzuk meg, miért viselkedik a rekurzió nagy $n$-ekre rosszul és javítsuk az algoritmust.
format long
n=15;
I_1=zeros(n+1,1);
I_1(1)=log(1.1); % I_1(1) a feladatbeli I_0
for i=1:n
I_1(i+1)=1/i-10*I_1(i);
end
I_1
% Numerikusan stabil algoritmus
n=20;
I_2=zeros(n,1);
I_2(n)=0;
for i=1:n-1
I_2(n-i)=1/10*(1/(n+1-i)-I_2(n+1-i));
end
I_2(15:end-1) % Ha csak az utolsó elemek az érdekesek
3.feladat. (Beadható házi feladat)
Tekintsük az alábbi integrált:
$$\displaystyle I_n=\int_0^1 x^ne^{-x}dx,$$ ahol $n\in\mathbb{N}$.
(a) Mutassuk meg, hogy $I_n\geq 0$ és $I_n\to 0$, ha $n\to\infty$.
(b) Adjunk rekurziót $I_n$-re. Számoljuk ki $I_{10},\ I_{20},\ I_{30}$ értékeit.
$$M\equiv M(a,t,k^-,k^+):=\{\pm a^k\sum_{i=1}^t x_ia^{-i} : k^-\leq k\leq k^+, 0\leq x_i\leq a-1, i=1,\ldots,t\}\subset\mathbb{R}$$ ahol
Nevezetes gépi értékek:
Legyen $x\in\mathbb{R}$ olyan, hogy $|x|\leq M_{\infty}.$ Definiáljuk az fl$:\mathbb{R}\to M$ függvényt az alábbi módon:
Ha $|x|>M_{\infty}$, akkor fl$(x)$
eps
4.feladat. Írjuk fel $M(2,2,-2,1)$ összes elemét! Számítsuk ki $M_{\infty},\ \epsilon_0,\ \epsilon_{0}^{'},\ \epsilon_{1}$ értékét.
5.feladat. Ábrázoljuk az $M(2,2,-2,1)$ paraméterekkel rendelkezõ gépen a következõ számokat: $$\frac{1}{2},\ \frac{3}{16},\ \frac{1}{10},\ \frac{6}{10},\ \frac{1}{\pi}.$$
6.feladat. Tekintsük az $M(2,4,-3,3)$ paraméterekkel rendelkezõ számítógépet. Keressünk olyan $x,\ y,\ z$ nemnulla számokat $M$-ben, hogy
% Algoritmus 1
format long
n=999999;
s=0;
for i=1:n
s=s+1/(i*(i+1));
end
s
7.feladat. Tekintsük az $a_1+a_2+\ldots+a_n$ alakú összegek kiszámításásra az alább két algoritmust.
Algoritmus 1 | Algoritmus 2 |
---|---|
s=0; for i=1:n s=s+a(i); end |
s=0; for i=n:-1:1 s=s+a(i); end |
% Algoritmus 2
n=999999;
s=0;
for i=n:-1:1
s=s+1/(i*(i+1));
end
s
Legyen $a\in\mathbb{R}$ a pontos érték. Gépi közelítése $a'$. Ekkor
8.feladat. Közelítsük $\pi$-t a $\pi'=3.14$ értékkel. Mekkora a közelítés abszolút és relatív hibakorlátja?
9.feladat. Legyen egy henger sugara $r=1\pm 0.01$ és magassága $h=2\pm 0.02$. A $\pi$ értékét $3.14$-nek véve számítsuk ki közelítõleg a térfogatát! Mekkora lesz az eredmény abszolút hibája?
10.feladat. Mekkora relatív hibával közelíti az $1-x$ kifejezés az $1/(1+x)$ kifejezést a $[-0.1,\ 0.1]$ intervallumon?
11.feladat. Számoljuk ki számológéppel az $a=\sqrt{9876}$, illetve a $b=\sqrt{9875}$ számok hat tizedesjegyre kerekített $a',\ b'$ értékét. Az $x=a-b$ különbséget mekkora abszolút és relatív hibával közelíti az
(a) $x'=a'-b'$,
(b) $x''=1/(a'+b')$.