Distribution binomiale

Il y a beaucoup de vidéos sur le site de l'Académie Khan qui concernent la distribution binomiale. Je n'ai pas envie de réviser autant de combinatoire de base, mais il y en a qui m'intéressent.

L'espèrance d'une distribution binomiale

J'avais du mal avec ce sujet quand j'étudias la distribution Poisson.

In [1]:
from IPython.display import YouTubeVideo
YouTubeVideo("sSLhCvlZN1w")
Out[1]:

La loi binomiale. Oui, elle est évidente avec un peu de combinatoire.

$$P(X=k) = {n \choose k}p^k(1 - p)^{n-k}$$

Et l'espèrance, ou la valeur prévue :

$$\begin{aligned} E(X) &= \sum_{k=0}^{n} k{n \choose k} p^k (1-p)^{n-k} \\ &= \sum_{k=1}^{n} k{n \choose k} p^k (1-p)^{n-k} \quad &\text{pas de terme quand }k=0 \\ &= \sum_{k=1}^{n} k\frac{n!}{(n-k)!k!} p^k (1-p)^{n-k} \\ &= np \sum_{k=1}^{n} \frac{(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!} p^{k-1} (1-p)^{n-k} \\ &= np \sum_{a=0}^{b} \frac{b!}{(b-a)!a!} p^a (1-p)^{b-a} \quad &\text{soit }a=k-1\text{ et }b=n-1 \\ &= np \sum_{a=0}^{b} {b \choose a} p^a (1-p)^{b-a} \\ &= np \end{aligned}$$