PILE FACE

Partie A: simulations de 200 lancers de pile ou face

  1. Compléter le programme ci-dessous.
In [0]:
from random import*

def pileface():
  
  serie=""

  for i in range(200):
    
    piece=............
    
    if piece == 0:
      serie=serie+"F"
      
    else:
      ................
    
  return serie
  1. Exécuter plusieurs fois ce programme. Que fait ce programme?

Répondre ici:

Partie B: réalisation de 100 simulations de 200 lancers de pile ou face

  1. On considère la fonction $sequence()$ ci-dessous:
In [0]:
def sequence():
  if pileface().count("PPPPPP")>0 or pileface().count("FFFFFF")>0:
    return True
  else:
    return False
  1. Expliquer ce que fait cette fonction.

Répondre ici:

  1. Écrire un programme permettant d'appeler 100 fois la fonction $sequence()$.
In [0]:
# Programme
  1. Compléter le programme pour qu'il affiche la fréquence observée des séries de 200 lancers contenant au moins une idem-séquence de longueur 6.

Partie C: modélisation

On lance 200 fois de suite une pièce de monnaie équilibrée et on s'intéresse à la probabilité d'obtenir au moins une idem-séquence de longueur 6 (suite de 6 P ou de 6 F consécutifs).

Modélisation par un graphe probabiliste: définissons les états dans lesquels peut se trouver une série de lancers de pièces.

Soit pour $1\leqslant i \leqslant 5$, $E_i$ l'état \og la suite de lancers se termine par une idem-séquence de longueur $i$ et ne contient aucune idem-séquence de longueur 6 et soit F l'état la suite de lancers contient au moins une idem-séquence de longueur 6.

Représentons l'évolution des lancers par un graphe probabiliste : à chaque lancer, on se trouve dans un des états $E_i$ ou $F$ avec des probabilités de transition indiquées sur le graphe suivant :

Graphe

Examinons la situation après $n$ lancer(s) $(1 \leqslant n \leqslant 200)$. Notons $p_n^i$ la probabilité que la série des $n$ lancers se trouve dans l'état $E_i$ et $p_n$ la probabilité qu'elle soit dans l'état $F$.

L'état initial est donné par $(p_1^1,p_1^2,p_1^3,p_1^4,p_1^5, p_1 ) = (1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0)$.

  1. Si on note $T$ la matrice de transition, donner la relation de récurrence liant $X_{n+1}$ et $X_{n}$.

Répondre ici:

  1. Compléter et saisir le programme Python permettant de calculer $X_{200}$ puis, $p_{200}$:
In [0]:
import numpy as np
import numpy.linalg as al

X1=[1,0,0,0,0,0]    

# Matrice de transition

T=np.array([[0.5,0.5,0.0,0.0,0.0,0.0],
           [0.5,0.0,0.5,0.0,0.0,0.0],
           [0.5,0.0,0.0,0.5,0.0,0.0],  
           [0.5,0.0,0.0,0.0,0.5,0.0],
           [0.5,0.0,0.0,0.0,0.0,0.5],
           [0.0,0.0,0.0,0.0,0.0,1.0]])

R=al.matrix_power(T,199)

X200=np.dot(...,...)   # Ligne à compléter

print(X200)

Conclusion: