Mithilfe der Gesetze und neutraler und inverser Elemente (hier besprochen) lassen sich Algebren genauer einordnen.
Es gilt also, dass jede Gruppe ein Monoid ist, und jeder Monoid auch eine Semigruppe ist.
$+$ ist assoziativ: $3+(4+5)=(3+4)+5=12$. Alle sind also Semigruppen. Da das neutrale Element der Addition, $0$, aber nur in $\mathbb{N}_0$ und $\mathbb{Z}$ enthalten ist, sind nur diese beiden Monoide. $(\mathbb{N}_0,+)$ ist aber keine Gruppe, da es keine inversen Elemente für die Addition (die negativen Zahlen) in $\mathbb{N}_0$ gibt.
Siehe hierzu das Video zu neutralen und inversen Elementen bei Potenzmengen$-und-$(Pot(M),\cup)$).
Nimm irgendein $\Sigma$, z.B. $\Sigma=\{a,b,c\}$. $\circ$ ist asssoziativ: $aa\circ (abc\circ b)=(aa\circ abc)\circ b=aaabcb$ Das neutrale Element in $\Sigma^\ast$ ist $\epsilon$. Man kann Wörter aber nicht "kürzer machen", also ein Wort (z.B. $abc$) mit einem anderen Wort konkatenieren, sodass $\epsilon$ das Ergebnis ist. Deshalb ist $(\Sigma^\ast, \circ)$ keine Gruppe.
Siehe hierzu den Text im Algebren-Notebook.
Siehe hierzu das Video zum Drehen gleichseitiger Dreiecke