Wir hatten bereits gezeigt, auf welche Weise Mengen geordnet sein können. Nun beschäftigen wir uns mit dem Begriff der oberen bzw. unteren Schranke hinsichtlich Ordnungen.
Wichtig ist, dass das Element $x$ nicht aus $K$ selbst kommen muss, sondern lediglich aus der Menge $M$, und das gilt $M \supseteq K$. Außerdem kann es für eine gegebene Menge $M$ und eine gegebene Teilmenge $M\subseteq K$ mehrere untere und mehrere obere Schranken geben.
Gegeben eine stark oder schwach geordnete Menge $(M,\leq)$. Zu jeder Teilmenge $K \subseteq M$ kann es $0,1,2,\dots$ obere bzw. untere Schranken in $M$ geben. Bezeichnen wir die Menge der oberen Schranken mit $S_o$ und die Menge der unteren Schranken mit $S_u$. Es gilt natürlich: $S_o \subseteq M$ und $S_u \subseteq M$. Da eine obere/untere Schranke $x$ nicht aus $K$ selbst kommen muss, wie wir oben gesehen haben, sondern lediglich aus der Menge $M$, gilt analog nicht immer, dass $S_o \subseteq K$ bzw. $S_u \subseteq K$.
Jetzt ist ein Element der Ordnung $x\in S_o$ die kleinste obere Schranke von $K$, wenn es eine obere Schranke von $K$ ist. Dafür muss gelten, dass für alle $y \in K: y\leq x$. Bei schwachen Ordnungen muss dann nicht $x\neq y$ sein!
Außerdem muss gelten, dass für alle $z \in S_o: x \leq z$. Die kleinste obere Schranke $x$ muss also $\leq$ alle anderen oberen Schranken sein. Dafür muss $x$ mit allen anderen oberen Schranken vergleichbar sein. Ist $x$ nicht mit allen anderen oberen Schranken vergleichbar, ist $x$ also keine kleinste obere Schranke.
Bei den größten unteren Schranken ist es umgekehrt: ein Element der Ordnung $x\in S_u$ ist die größte untere Schranke von $K$, wenn es eine untere Schranke von $K$ ist. Dafür muss gelten, dass für alle $y \in K: x \leq y$. Bei schwachen Ordnungen muss dann nicht $x \neq y$ sein!
Außerdem muss gelten, dass für alle $z \in S_u: z \leq x$. alle anderen unteren Schranken müssen also $\leq x$ sein. Dafür muss $x$ mit allen anderen unteren Schranken vergleichbar sein. Ist $x$ nicht mit allen anderen unteren Schranken vergleichbar, ist $x$ also keine kleinste untere Schranke.
Merke: Nicht jede Teilmenge $K \subseteq M$, die obere (untere) Schranken hat, hat auch ein Supremum (Infimum)!
Im gesprochenen Text bei ca. $1:42$ ist natürlich $\{1\}\cup\{2\}$ und nicht $\{1\}\cup\{1,2\}$ gemeint. Es wird im Video aber richtig gezeigt.
Und wie merkt man sich den Unterschied? Zwei Eselsbrücken
Infimum kommt von engl. inferior, also unterlegen, minder, geringwertig. Aus diesem Grund ist das Infimum eine untere Schranke.
Wer eine bessere Eselsbrücke kennt, schreibe mir bitte eine Mail!
Jeder endliche Verband ist vollständig.
Da $inf\emptyset =1_V$ und $sup\emptyset = 0_V$ gilt und für $1_V$ sowie $0_V$ gilt, dass $1_V \notin \emptyset$ und $0_V \notin \emptyset$, gibt es keinen vollständigen Verband mit leerer Menge V.