Vorab der [Wikipedia-Artikel zu Funktionen](https://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_(Mathematik%29), der durchaus lesenswert ist, wenn man einen Überblick gewinnen und sich daran gewöhnen möchte, verschiedene Schreibweisen zu lesen. Besonders den Abschnitt [Notation](https://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_(Mathematik%29%23Notation) sollte man einmal gelesen haben, da einem der Inhalt häufig begegnen wird.
Zur Erinnerung: $\mathbb{N}$ bezeichnet die Menge der natürlichen Zahlen (alle ganzen Zahlen > 0, also $1,2,3,4,5$ usw. $\mathbb{Q}$ bezeichnet die Menge der rationalen Zahlen (alle Zahlen, die sich als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lassen). Es gilt also: $\mathbb{N}\subset \mathbb{Q}$.
Wir betrachten eine Funktion $f:A\to B$, z.B. die Funktion $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ mit $f(x)=2x$
In diesem Fall gilt für die Mengen $A,B$, dass $A=B=\mathbb{Q}$. Außerdem gibt es eine dritte Menge $C$, sodass gilt $C\subset A$. Nehmen wir also an, dass $C=\mathbb{N}$. (Es gilt ja $\mathbb{N}\subset\mathbb{Q}$, siehe oben).
Die Funktion $f_{|C}:C\to B$ ist jetzt die Einschränkung von $f$ auf $C$. $f_{|C}$ nimmt nur natürliche Zahlen als Argumente, aber keine nicht-natürlichen Zahlen. $f_{|C}$ ist also auf die natürlichen Zahlen eingeschränkt.
Beispiele:
Das Video deckt die Themen partielle und totale Funktion, Injektivität, Surjektivität und Bijektivität am Beispiel $f(x)=x+2$ ab. Folgende Abschnitte sind für die jeweiligen Themen interessant:
$f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$
$f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$
Komposition bedeutet also, dass mehrere Funktionen 'nacheinander ausgeführt' werden.
Nehmen wir als Beispiel die Funktionen $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ mit $f(x)=5x$ und $g:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ mit $g(x)=x-1$. Für die Komposition $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ wendet man erst die Funktion $f$ und dann die Funktion $g$ an ($f$ steht in $g(f(x))$ ja weiter innen.
Zum Beispiel gilt $(g\circ f)(3)=g(f(3))=g(15)=14$.
Merke: $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ ist nicht das selbe wie $(f\circ g)(x)=f(g(x))$. Zum Beispiel gilt $(f\circ g)(3)=f(g(3))=f(2)=10$.
Diese "wenn...,sonst"-Beschreibung einer Funktion mit geschweifter Klammer wird einem häufiger begegnen.