%matplotlib inline
from sympy import *
from sympy.plotting import plot
x=symbols('x')
ZZ = exp(1/x)/(1-exp(-1/x))
EE = x**2*diff(log(ZZ),x)
plot(EE,(x,0,2))
<sympy.plotting.plot.Plot at 0x7fbc4917f0a0>
資料を参考にして,次の2重積分を求めよ.(15点) \begin{equation*} \int \int_D \sqrt{2x^2-y^2}dxdy,\hspace{5mm} D:0\leqq y \leqq x \leqq 1 \end{equation*}
from sympy import *
x, y = symbols('x y', positive = True)
f = sqrt(2*x**2-y**2)
integrate(integrate(f,(y,0,x)),(x,0,1))
行列$\displaystyle A= \left( \begin {array}{ccc} 1&1&3\\ -1&0&1\\ 1&2&1 \end {array} \right) $ の対角化行列を求めて,対角化せよ.(15点)
from sympy import *
A=Matrix([[2,0,1],[0,3,0],[1,0,2]])
A=Matrix([[1,1,3],[-1,0,1],[1,2,1]])
A
P,D=A.diagonalize()
P
DD=(P.inv()*A*P)
DD
print(DD[1,0].simplify())
print(DD[1,1].simplify())
print(DD[2,2].simplify())
0 -sqrt(3) sqrt(3)
資料を参考にして,行列$\displaystyle \left[ \begin {array}{cc} 1/\sqrt{2}&a\\ b&-1/\sqrt{2} \end {array} \right] $が直交行列であるとき,$a,b$を求めよ.(15点)
from sympy import *
a,b=symbols('a b')
A=Matrix([[1/sqrt(2),a],[b,-1/sqrt(2)]])
A
col_0 = A[:,0]
col_0
col_1 = A[:,1]
col_1
ss=solve({col_0.T.dot(col_0)-1,col_1.T.dot(col_1)-1},{a,b})
ss
[{a: -sqrt(2)/2, b: -sqrt(2)/2}, {a: -sqrt(2)/2, b: sqrt(2)/2}, {a: sqrt(2)/2, b: -sqrt(2)/2}, {a: sqrt(2)/2, b: sqrt(2)/2}]
for i in range(4):
ss10=col_0.T.dot(col_1).subs(ss[i])
ss01=col_1.T.dot(col_0).subs(ss[i])
print(i,ss10,ss01)
0 0 0 1 -1 -1 2 1 1 3 0 0
print(ss[0])
print(ss[1])
{a: -sqrt(2)/2, b: -sqrt(2)/2} {a: -sqrt(2)/2, b: sqrt(2)/2}
$p$を実数とし,$f(x)=x^3-p\,\, x$とする.
関数$f(x)$が極値をもつための$p$の条件を求めよう.$f(x)$の導関数は, \begin{equation*} f'(x) = \fbox{ ア }\,\, x^{\,\,\fbox{ イ }}-p \end{equation*} である.したがって,$f(x)$が$x=a$で極値をとるならば, \begin{equation*} \fbox{ ア }\,\, a^{\,\,\fbox{ イ }}-p=\fbox{ ウ } \end{equation*} が成り立つ.さらに$x=a$の前後での$f'(x)$の符号の変化を考えることにより, $p$が条件$\fbox{ エ $(p>0)$}$を満たす場合は$f(x)$は必ず極値を持つことがわかる.
from sympy import *
x, p, k=symbols('x p k')
f = x**3-p*x
f
df = diff(f,x)
df
df.subs({x:a})
関数$f(x)$が$\displaystyle x=\frac{p}{3}$で極値をとるとする.また,曲線$y=f(x)$を$C$とし,$C$上の点$\displaystyle \left(\frac{p}{3}, f\left(\frac{p}{3}\right) \right)$をAとする.
$f(x)$が$\displaystyle x=\frac{p}{3}$で極値をとることから,$p=\fbox{ オ }$であり,$f(x)$は$x=\fbox{ カキ }$で極大値をとり,$x=\fbox{ ク }$で極小値をとる.
x0 = p/3
df.subs({x:x0})
pp = solve(df.subs({x:x0}),p)
pp
[0, 3]
p0 = pp[1]
%matplotlib inline
from sympy import *
from sympy.plotting import plot
yC = f.subs({p:p0})
plot(yC,(x,-2,2))
<sympy.plotting.plot.Plot at 0x7fbc49eaa4f0>
xx = solve(df.subs({p:p0}),x)
xx
[-1, 1]
yC.subs({x:xx[0]})
yC.subs({x:xx[1]})
曲線$C$の接線で,点Aを通り傾きが0でないものを$l$とする.$l$の方程式を求めよう.$l$と$C$の接点の$x$座標を$b$とすると,$l$は点$(b, f(b))$における$C$の接線であるから,$l$の方程式は$b$を用いて \begin{equation*} y= \left(\fbox{ ケ }\,\, b^2 - \fbox{ コ }\right)(x-b)+f(b) \end{equation*} と表すことができる.また,$l$は点Aを通るから,方程式 \begin{equation*} \fbox{ サ }\,\, b^3-\fbox{ シ }\,\, b^2+1=0 \end{equation*} を得る.この方程式を解くと, \begin{equation*} b = \fbox{ ス }\,\,, \frac{\fbox{ セソ }}{\fbox{ タ }} \end{equation*} であるが,$l$の傾きが0でないことから,$l$の方程式は \begin{equation*} y = \frac{\fbox{ チツ }}{\fbox{ テ }}\,\, x+\frac{\fbox{ ト }}{\fbox{ ナ }} \end{equation*} である.
yl=df.subs({p:p0}).subs({x:b})*(x-b)+yC.subs({x:b})
yl
eq = -expand(yl.subs({x:xx[1]})-yC.subs({x:xx[1]}))
eq
bb = solve(eq,b)
bb
[-1/2, 1]
b0=bb[0]
yl.subs({b:b0})
点Aを頂点とし,原点を通る放物線を$D$とする.$l$と$D$で囲まれた図形のうち,不等式$x \geqq 0$の表す領域に含まれる部分の面積$S$を求めよう.$D$の方程式は, \begin{equation*} y = \fbox{ ニ }\,\, x^2 -\fbox{ ヌ }\,\, x \end{equation*} であるから,定積分を計算することにより,$\displaystyle S=\frac{\fbox{ ネノ }}{24}$となる.(10点)
(2014年度大学入試センター試験 本試験 数学II・B第2問)
yD = k*(x-xx[1])**2+yC.subs({x:xx[1]})
print(yD)
kk = solve(yD.subs({x:0}),k)
k0 = kk[0]
k0
k*(x - 1)**2 - 2
expand(yl.subs({b:b0}) - yD.subs({k:k0}))
integrate(yl.subs({b:b0}) - yD.subs({k:k0}),(x,0,xx[1]))
前問3(b)の$C$上の頂点Aの座標を$\displaystyle \left(\frac{p}{4}, f\left(\frac{p}{4}\right) \right)$と変えて問題を解け.ただし数値を変えたので,それほど複雑な数字にはならないが,\fbox{ オ },\fbox{ カキ }等には箱にこだわらず数字がはいる.最後は$\displaystyle S=\frac{11}{27}$ではなく,$\displaystyle S=\frac{352}{243}$になる.(30点)
from sympy import *
x, p, k=symbols('x p k')
f = x**3-p*x
f
df = diff(f,x)
df
df.subs({x:a})
関数$f(x)$が$\displaystyle x=\frac{p}{4}$で極値をとるとする.また,曲線$y=f(x)$を$C$とし,$C$上の点$\displaystyle \left(\frac{p}{4}, f\left(\frac{p}{4}\right) \right)$をAとする.
$f(x)$が$\displaystyle x=\frac{p}{4}$で極値をとることから,$p=\fbox{ オ }$であり,$f(x)$は$x=\fbox{ カキ }$で極大値をとり,$x=\fbox{ ク }$で極小値をとる.
x0 = p/4
df.subs({x:x0})
pp = solve(df.subs({x:x0}),p)
pp
[0, 16/3]
p0 = pp[1]
%matplotlib inline
from sympy import *
from sympy.plotting import plot
yC = f.subs({p:p0})
plot(yC,(x,-2,2))
<sympy.plotting.plot.Plot at 0x7fbc4b389bb0>
xx = solve(df.subs({p:p0}),x)
xx
[-4/3, 4/3]
yC.subs({x:xx[0]})
yC.subs({x:xx[1]})
曲線$C$の接線で,点Aを通り傾きが0でないものを$l$とする.$l$の方程式を求めよう.$l$と$C$の接点の$x$座標を$b$とすると,$l$は点$(b, f(b))$における$C$の接線であるから,$l$の方程式は$b$を用いて \begin{equation*} y= \left(\fbox{ ケ }\,\, b^2 - \fbox{ コ }\right)(x-b)+f(b) \end{equation*} と表すことができる.また,$l$は点Aを通るから,方程式 \begin{equation*} \fbox{ サ }\,\, b^3-\fbox{ シ }\,\, b^2+1=0 \end{equation*} を得る.この方程式を解くと, \begin{equation*} b = \fbox{ ス }\,\,, \frac{\fbox{ セソ }}{\fbox{ タ }} \end{equation*} であるが,$l$の傾きが0でないことから,$l$の方程式は \begin{equation*} y = \frac{\fbox{ チツ }}{\fbox{ テ }}\,\, x+\frac{\fbox{ ト }}{\fbox{ ナ }} \end{equation*} である.
yl=df.subs({p:p0}).subs({x:b})*(x-b)+yC.subs({x:b})
yl
eq = -expand(yl.subs({x:xx[1]})-yC.subs({x:xx[1]}))
eq
bb = solve(eq,b)
bb
[-2/3, 4/3]
b0=bb[0]
yl.subs({b:b0})
点Aを頂点とし,原点を通る放物線を$D$とする.$l$と$D$で囲まれた図形のうち,不等式$x \geqq 0$の表す領域に含まれる部分の面積$S$を求めよう.$D$の方程式は, \begin{equation*} y = \fbox{ ニ }\,\, x^2 -\fbox{ ヌ }\,\, x \end{equation*} であるから,定積分を計算することにより,$\displaystyle S=\frac{\fbox{ ネノ }}{24}$となる.(10点)
(2014年度大学入試センター試験 本試験 数学II・B第2問)
yD = k*(x-xx[1])**2+yC.subs({x:xx[1]})
print(yD)
kk = solve(yD.subs({x:0}),k)
k0 = kk[0]
k0
k*(x - 4/3)**2 - 128/27
expand(yl.subs({b:b0}) - yD.subs({k:k0}))
integrate(yl.subs({b:b0}) - yD.subs({k:k0}),(x,0,xx[1]))