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Pour exécuter une saisie Python, sélectionner la cellule et valider avec SHIFT+Entrée.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose : $$\displaystyle S_n=1+2+...+n=\sum\limits_{k=1}^{n}{k} $$
1.1. Écrire une fonction Python somme_entiers qui reçoit n en argument et renvoie la valeur de $S_n$.
$\quad\;$On pourra utiliser une boucle for et un accumulateur.
#Écrire ici la fonction somme_entiers
#Tester ici la fonction somme_entiers
1.2.a. Activer la cellule ci-dessous.
$\quad\quad$Observer la figure fournie, qui illustre que le calcul de $2\times S_n$ peut se ramener à un simple produit.
#Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE
from IPython.display import display, HTML ; display(HTML('fig_dyn_GeoGebra/Somme_entiers.html'))
$\quad\;$b. En utilisant cette méthode, calculer à la main $S_{10}$.
$\quad\quad$Vérifier ensuite le résultat à l'aide de la fonction somme_entiers.
#Utiliser cette zone de saisie pour la vérification
$\quad\;$c. Conjecturer une expression de $S_n$ en fonction de $n$.
1.3. On souhaite maintenant démontrer la formule conjecturée à la question 1.2.c :
Version 1ère Spé Math
Additionner terme à terme l'expression de $2 \times S_n$ donnée ci-dessous, et en déduire l'expression de $S_n$ en fonction de $n$
$$\begin{matrix} 2 \times S_n & =& & 1 &+ & 2 &+ & 3 &+ & ... &+ & (n-1) &+ & n \\ & & + & n &+ & (n-1) &+ & (n-2) &+ & ... &+ & 2 &+ & 1 \end{matrix}$$
Version Tale Spé Math
Démontrer par récurrence la formule conjecturée en 1.2.c.
1.4. À l'aide de la formule obtenue, calculer $S_{100}=1+2+...+100$ puis vérifier le résultat à l'aide de la fonction Python somme_entiers.
#Utiliser cette zone de saisie pour la vérification
1.5. Dans cette question, on pose pour $n \in \mathbb{N}^*$:
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose : $$\displaystyle T_n=1^2+2^2+...+n^2=\sum\limits_{k=1}^{n}{k^2} $$
2.1. Écrire une fonction Python somme_carres qui reçoit n en argument et renvoie la valeur de $T_n$.
$\quad\;$On pourra s'inspirer de la fonction somme_entiers écrite dans la partie 1.
#Écrire ici la fonction somme_carres
#Tester ici la fonction somme_carres
2.2.a. Activer la cellule ci-dessous.
$\quad\quad$Observer la figure fournie, qui illustre que le calcul de $6\times T_n$ peut se ramener au calcul de volume d'un parallélépipède.
#Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE
from IPython.display import display, HTML ; display(HTML('fig_dyn_GeoGebra/Somme_carres.html'))
$\quad\;$b. En utilisant cette méthode, calculer à la main $T_{6}$.
$\quad\quad$Vérifier ensuite le résultat à l'aide de la fonction somme_carres.
#Utiliser cette zone de saisie pour la vérification
$\quad\;$c. Conjecturer une expression de $T_n$ en fonction de $n$.
2.3. On souhaite maintenant démontrer la formule conjecturée à la question 2.2.c :
Version 1ère Spé Math
Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $\displaystyle v_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
- Déterminer la valeur de $v_1$ et démontrer que $v_{n+1}=v_n+(n+1)^2$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.
- On admet que si deux suites ont le même premier terme et vérifient la même relation de récurrence, alors elles sont égales.
Conclure.
Version Terminale Spé Math
Démontrer par récurrence la formule conjecturée en 2.2.c.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose:
$$\displaystyle C_n=1^3+2^3+...+n^3=\sum\limits_{k=1}^{n}{k^3} $$
3.1. Écrire une fonction Python somme_cubes qui reçoit n en argument et renvoie la valeur de $C_n$.
$\quad\;$On pourra s'inspirer des fonctions somme_entiers et somme_carres écrites dans les parties 1 et 2.
#Écrire ici la fonction somme_cubes
#Tester ici la fonction somme_carres
3.2.a. Activer la cellule ci-dessous.
$\quad\quad$Observer la figure fournie, qui illustre que le calcul de $C_n$ peut se ramener au calcul de l'aire d'un carré.
#Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE
from IPython.display import display, HTML ; display(HTML('fig_dyn_GeoGebra/Somme_cubes.html'))
$\quad\;$b. À l'aide de cette méthode, exprimer $C_{5}$ en fonction de $S_5=1+2+...+5$.
$\quad\quad$Calculer $S_5$ et en déduire la valeur de $C_{5}$.
$\quad\quad$Vérifier ensuite le résultat à l'aide de la fonction somme_cubes.
#Utiliser cette zone de saisie pour la vérification
3.3. On souhaite maintenant démontrer que $\displaystyle C_n={S_n}^2=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.
Version 1ère Spé Math
Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose $\displaystyle w_n=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$.
- Déterminer la valeur de $w_1$ et démontrer que $w_{n+1}=w_n+(n+1)^3$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.
- On admet que si deux suites ont le même premier terme et vérifient la même relation de récurrence, alors elles sont égales.
Conclure.
Version Terminale Spé Math
Démontrer la formule par récurrence.
(C) Copyright Franck CHEVRIER 2019-2021 http://www.python-lycee.com/