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Interprétations géométriques de nombres complexes

Activité en Terminale Math Expertes

I. Interprétations géométriques de $z_B-z_A$ et $\displaystyle \frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$

Dans le plan complexe muni du repère orthonormé $\left( O \;; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} \right)$, on considère trois points distincts $A$ ; $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A$ ; $z_B$ et $z_C$.

1. En utilisant le point $M$ défini par $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AB}$, démontrer le résultat suivant :

À RETENIR
Interprétation géométrique de $z_B-z_A$ :
  • $\left| z_B-z_A \right| = AB$
  • $ arg \left( z_B-z_A \right) = \left( \overrightarrow{u} \;;\overrightarrow{AB} \right) \;[2\pi]$
In [ ]:
# Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE pour obtenir la figure dynamique
from IPython.display import display, HTML ; display(HTML('fig_dyn_GeoGebra/intgeomcomplexe1.html'))

2. À l'aide de la propriété précédente, démontrer que :

À RETENIR
Interprétation géométrique de $\displaystyle \frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ :
  • $ \displaystyle \left| \frac{z_C-z_A}{z_B-z_A} \right| = \frac{AC}{AB}$
  • $ \displaystyle arg \left( \frac{z_C-z_A}{z_B-z_A} \right) = \left( \overrightarrow{AB} \;;\overrightarrow{AC} \right) \;[2\pi]$
In [ ]:
# Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE pour obtenir la figure dynamique
from IPython.display import display, HTML ; display(HTML('fig_dyn_GeoGebra/intgeomcomplexe2.html'))

II. Applications directes

On pourra réaliser les figures avec Geogebra.

Exercice 1 :
On considère les points $A$ ; $B$ et $C$ d’affixes respectives $z_A=1+i$ ; $z_B=2+3i$ et $z_C=-1+2i$.

  1. Réaliser une figure. Quelle semble être la nature du triangle ABC ?
  2. Calculer $m=\displaystyle \frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$.
  3. En interprétant géométriquement le module et un argument de $m$, en déduire la nature du triangle ABC.

Exercice 2 :
De la même manière que dans l’exercice 1, déterminer par le calcul la nature des triangles suivants :

  • $DEF$ tel que $z_D=-2+i$ ; $z_E=-1+4i$ et $z_F=4-i$.
  • $IJK$ tel que $\displaystyle z_I=2e^{i\frac{\pi}{6}}$ ; $ z_J=4i$ et $\displaystyle z_K=2e^{i\frac{5\pi}{6}}$.

Exercice 3 :
On considère le nombre complexe $\displaystyle j=e^{i\frac{2\pi}{3}}$.
Démontrer que le triangle ABC dont les sommets ont pour affixes respectives $1$ ; $j$ et $j^2$ est équilatéral.

Exercice 4 :
On considère les points $D(3)$ et $E(2i)$.

  1. Déterminer le point $F(z_F)$ tel que $\displaystyle \frac{z_F-z_D}{z_F-z_E}=e^{i\frac{\pi}{3}}$. Quelle est la nature du triangle $DEF$ dans ce cas ?
  2. Existe-t-il une autre position du point $F$ pour laquelle le triangle $DEF$ ait la même nature ? Si oui, calculer son affixe $z_F$.

Exercice 5 :
On considère les points $S(1+i)$ et $T(-2+2i)$.

  1. Déterminer le point $R(z_R)$ tel que $\displaystyle \frac{z_T-z_R}{z_S-z_R}=e^{i\frac{\pi}{2}}$. Quelle est la nature du triangle $RST$ dans ce cas ?
  2. Existe-t-il une autre position du point $R$ pour laquelle le triangle $RST$ ait la même nature ? Si oui, calculer son affixe $z_R$.

III. Études de configurations du plan

Dans cette partie, on dira qu'un triangle $ABC$ est :

  • direct si l'angle $\left( A \;; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC} \right)$ a un argument dans l'intervalle $]0;\pi[$, modulo $2\pi$.
  • indirect si l'angle $\left( A \;; \overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC} \right)$ a un argument dans l'intervalle $]-\pi;0[$, modulo $2\pi$.
(on différenciera donc les triangles $ABC$ et $ACB$, qui sont l'un direct et l'autre indirect)

In [ ]:
# Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE pour obtenir la figure dynamique
from IPython.display import display, HTML ; display(HTML('fig_dyn_GeoGebra/directindirect.html'))

On admettra également la généralisation des résultats vus précédemment, pour 4 points $A$ ; $B$ ; $C$ et $D$ d'affixes respectives $z_A$ ; $z_B$ ; $z_C$ et $z_D$.

Interprétation géométrique de $\displaystyle \frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}$ :

  • $ \displaystyle \left| \frac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \right| = \frac{CD}{AB}$
  • $ \displaystyle arg \left( \frac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \right) = \left( \overrightarrow{AB} \;;\overrightarrow{CD} \right) \;[2\pi]$
</BLOCKQUOTE>

Étude 1 :
Dans le plan complexe $\left( O \;; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} \right)$, on considère deux triangles rectangles directs $OAB$ et $OCD$.
On note $M$ le milieu de $[BC]$.

In [ ]:
# Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE pour obtenir la figure dynamique
from IPython.display import display, HTML ; display(HTML('fig_dyn_GeoGebra/config1.html'))

  1. Quelle conjecture peut-on émettre concernant les droites $(BC)$ et $(AD)$ ?
  2. En considérant le triangle $OAB$, justifier que $z_B=iz_A$.
    Exprimer de même $z_c$ en fonction de $z_D$.
  3. Démontrer que $\displaystyle \frac{z_M}{z_D-z_A}=\frac{1}{2}i$.
  4. Que peut-on conclure concernant les droites $(BC)$ et $(AD)$ ? et concernant les longueurs des segments $[BC]$ et $[AD]$ ?


Étude 2 :
Dans le plan complexe $\left( O \;; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} \right)$:

  • $OAK$ est un triangle équilatéral direct;
  • $OABC$ est un carré direct ($OAB$ est un triangle direct);
  • $ALB$ est un triangle équilatéral direct.
In [ ]:
# Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE pour obtenir la figure dynamique
from IPython.display import display, HTML ; display(HTML('fig_dyn_GeoGebra/config2.html'))

Que peut-on conjecturer concernant les points $C$ ; $K$ et $L$ ?
Démontrer ce résultat en déterminant la valeur de $\displaystyle \frac{z_L-z_C}{z_K-z_C}$.

Étude 3 :
On se place dans le plan complexe $\left( O \;; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} \right)$ et on pose $j=e^{i\frac{2\pi}{3}}$.
Dans cette étude, l'affixe d'un point $M$ sera systématiquement désignée par la lettre minuscule $m$ correspondante.

  1. Condition nécessaire et suffisante pour qu'un triangle soit équilatéral
    • Démontrer que :
      • $j^3=1$
      • $j^2=\overline{j}$
      • $j^2=-1-j$
      • $j+1=e^{i\frac{\pi}{3}}$
    • On considère trois points $M$ ; $N$ et $P$.
      Démontrer que $MNP$ est équilatéral direct si et seulement si $m+nj+pj^2=0$.

  2. Application
    On considère un cercle de centre $O$ et 6 points $A$; $B$; $C$; $D$; $E$ et $F$ de ce cercle tels que $OAB$; $OCD$ et $OEF$ sont des triangles équilatéraux directs.
    $M$; $N$ et $P$ sont les milieux respectifs de $[BC]$ ; $[DE]$ et $[FA]$.
    • Quelle conjecture peut-on faire concernant le triangle $MNP$ ?
    • Exprimer $a$ ; $c$ et $e$ respectivement en fonction de $b$ ; $d$ et $f$.
    • Exprimer $m$ ; $n$ et $p$ en fonction de $a$ ; $b$ ; $c$ ; $d$ ; $e$ et $f$.
    • Calculer $m+nj+pj^2$ puis conclure : Quelle est la nature du triangle $MNP$ ?
In [ ]:
# Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE pour obtenir la figure dynamique
from IPython.display import display, HTML ; display(HTML('fig_dyn_GeoGebra/config3.html'))

(C) Copyright Franck CHEVRIER 2019-2021 http://www.python-lycee.com/