(C) Copyright Franck CHEVRIER 2019-2021 http://www.python-lycee.com/
Pour exécuter une saisie Python, sélectionner la cellule et valider avec SHIFT+Entrée.
Activité en Terminale Math Expertes
Dans le plan complexe muni du repère orthonormé $\left( O \;; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} \right)$, on considère trois points distincts $A$ ; $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A$ ; $z_B$ et $z_C$.
1. En utilisant le point $M$ défini par $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AB}$, démontrer le résultat suivant :
À RETENIR
Interprétation géométrique de $z_B-z_A$ :
- $\left| z_B-z_A \right| = AB$
- $ arg \left( z_B-z_A \right) = \left( \overrightarrow{u} \;;\overrightarrow{AB} \right) \;[2\pi]$
# Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE pour obtenir la figure dynamique
from IPython.display import display, HTML ; display(HTML('fig_dyn_GeoGebra/intgeomcomplexe1.html'))
2. À l'aide de la propriété précédente, démontrer que :
À RETENIR
Interprétation géométrique de $\displaystyle \frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ :
- $ \displaystyle \left| \frac{z_C-z_A}{z_B-z_A} \right| = \frac{AC}{AB}$
- $ \displaystyle arg \left( \frac{z_C-z_A}{z_B-z_A} \right) = \left( \overrightarrow{AB} \;;\overrightarrow{AC} \right) \;[2\pi]$
# Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE pour obtenir la figure dynamique
from IPython.display import display, HTML ; display(HTML('fig_dyn_GeoGebra/intgeomcomplexe2.html'))
Exercice 1 :
On considère les points $A$ ; $B$ et $C$ d’affixes respectives $z_A=1+i$ ; $z_B=2+3i$ et $z_C=-1+2i$.
Exercice 2 :
De la même manière que dans l’exercice 1, déterminer par le calcul la nature des triangles suivants :
Exercice 3 :
On considère le nombre complexe $\displaystyle j=e^{i\frac{2\pi}{3}}$.
Démontrer que le triangle ABC dont les sommets ont pour affixes respectives $1$ ; $j$ et $j^2$ est équilatéral.
Exercice 4 :
On considère les points $D(3)$ et $E(2i)$.
Exercice 5 :
On considère les points $S(1+i)$ et $T(-2+2i)$.
Dans cette partie, on dira qu'un triangle $ABC$ est :
# Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE pour obtenir la figure dynamique
from IPython.display import display, HTML ; display(HTML('fig_dyn_GeoGebra/directindirect.html'))
On admettra également la généralisation des résultats vus précédemment, pour 4 points $A$ ; $B$ ; $C$ et $D$ d'affixes respectives $z_A$ ; $z_B$ ; $z_C$ et $z_D$.
Interprétation géométrique de $\displaystyle \frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}$ :
- $ \displaystyle \left| \frac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \right| = \frac{CD}{AB}$
- $ \displaystyle arg \left( \frac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \right) = \left( \overrightarrow{AB} \;;\overrightarrow{CD} \right) \;[2\pi]$
Étude 1 :
Dans le plan complexe $\left( O \;; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} \right)$, on considère deux triangles rectangles directs $OAB$ et $OCD$.
On note $M$ le milieu de $[BC]$.
# Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE pour obtenir la figure dynamique
from IPython.display import display, HTML ; display(HTML('fig_dyn_GeoGebra/config1.html'))
Étude 2 :
Dans le plan complexe $\left( O \;; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} \right)$:
# Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE pour obtenir la figure dynamique
from IPython.display import display, HTML ; display(HTML('fig_dyn_GeoGebra/config2.html'))
Que peut-on conjecturer concernant les points $C$ ; $K$ et $L$ ?
Démontrer ce résultat en déterminant la valeur de $\displaystyle \frac{z_L-z_C}{z_K-z_C}$.
Étude 3 :
On se place dans le plan complexe $\left( O \;; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v} \right)$ et on pose $j=e^{i\frac{2\pi}{3}}$.
Dans cette étude, l'affixe d'un point $M$ sera systématiquement désignée par la lettre minuscule $m$ correspondante.
# Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE pour obtenir la figure dynamique
from IPython.display import display, HTML ; display(HTML('fig_dyn_GeoGebra/config3.html'))
(C) Copyright Franck CHEVRIER 2019-2021 http://www.python-lycee.com/