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But de l’activité : Ecrire des fonctions Python permettant le calcul de taux de variation, de nombres dérivés, du coefficient directeur et de l’ordonnée à l’origine d’une tangente à une courbe.
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{1}{4} x^3+x-3$.
1. Ecrire une fonction Python f qui :
# Ecrire la fonction
# Tester la fonction
2. Ecrire une fonction Python coeff_dir qui :
# Ecrire la fonction
# Tester la fonction
3. A l’aide de la fonction précédente, écrire une fonction Python taux_variation qui :
# Ecrire la fonction
4. A l’aide de cette fonction, calculer le taux de variation de $f$ entre $3$ et $3,000001$. Conjecturer la valeur du nombre dérivé $f'(3)$, puis effectuer un calcul pour vérifier.
# Utiliser la fonction précédente
5. L’import « from scipy import misc » permet d’utiliser la fonction misc.derivative qui :
Tester cette fonction pour calculer $f'(3)$.
from scipy import misc
ec=10**-9
misc.derivative(f,3,ec)
6. Ecrire une fonction Python coeff_tang qui :
Tester cette fonction pour déterminer l’équation de la tangente à la courbe de $f$ en $2$.
# Ecrire la fonction
Tester cette fonction pour déterminer l’équation de la tangente à la courbe de $f$ en $2$.
# Tester la fonction précédente
7. La fonction tab_val ci-dessous permet d’obtenir une liste de valeurs de la fonction $f$.
#(Tester puis) modifier la fonction
def tab_val(f):
t=[]
x=0
for k in range(10):
t.append(f(x))
x=x+2
return t
# Tester la fonction modifiée
8. Ecrire une fonction Python cdir_secantes qui :
# Ecrire la fonction
Prérequis : Fonctions Python réalisées dans l’activité « Fonctions élémentaires autour de la dérivation »
But de l’activité : Approcher la solution d’une équation à l’aide de la méthode de Newton.
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{1}{4} x^3+x-3$.
1. Démontrer que $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$. On admettra pour la suite que l’équation $f(x)=0$ a une unique solution sur $\mathbb{R}$, notée $α$.
2. Justifier que pour toute abscisse $a$, la tangente $T_a$ à la courbe de $f$ en $a$ coupe l’axe des abscisses en un point $P$.
Déterminer l’expression de l’abscisse de $P$ en fonction de $a$, $f'(a)$ et $f(a)$.
Ecrire une fonction Python etap_Newton qui :
# Ecrire la fonction
# Tester la fonction
3. A partir d’un point de l’axe des abscisses, on peut donc construire une suite de points. On admettra ici que la suite des abscisses de ces points a pour limite $α$.
La fonction Python appl_Newton donnée ci-dessous :
Expliquer ce que représentent les termes de la liste renvoyée.
def appl_Newton(f,a,n):
t=[a]
for k in range(n):
a=etap_Newton(f,a)
t.append(a)
return t
4. Tester cette fonction appl_Newton pour la fonction $f$ de l’énoncé avec $a=3$ et $n=10$.
# Tester la fonction
5. Proposer et coder en Python des fonctions polynomiales $g$ et $h$ à coefficients entiers s’annulant respectivement en $\sqrt{5}$ et $\sqrt[3]{7}$.
# Ecrire les fonctions
A l’aide des fonctions Python précédentes, proposer des valeurs approchées de ces deux nombres.
# Effectuer les saisies nécessaires
Prérequis : Aucun, mais les question 1)a)b) peuvent être supprimées si l’activité « Méthode de Newton » a été traitée.
But de l’activité : Approcher la solution d’une équation à l’aide d’un algorithme de dichotomie (méthode plus lente que la méthode de Newton, mais pour laquelle la précision du résultat est connue).
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{1}{4} x^3+x-3$.
1. Démontrer que $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$. On admettra pour la suite que l’équation $f(x)=0$ a une unique solution sur $\mathbb{R}$, notée $α$.
Ecrire une fonction Python $f$ qui:
#Ecrire la fonction
Déterminer les images de $0$ et $3$ par $f$, et en déduire que $α∈[0;3]$.
# Tester la fonction
2. On considère un intervalle $[a;b]$ contenant $α$ et on pose $m=\frac{a+b}{2}$.
Justifier que : (*) si $f(a) \times f(m)<0$ alors $α∈[a;m]$ , et sinon $α∈[m;b]$ .
En utilisant (*), écrire une fonction Python etap_dichoto qui :
# Ecrire la fonction
A partir de l’intervalle $[a;b]=[0;3]$, obtenir successivement 3 nouveaux intervalles contenant $α$.
# Effectuer les saisies nécessaires
Que peut-on dire de la longueur de chaque intervalle obtenu par rapport à la précédente ?
3. Ecrire une fonction Python dichoto_iter qui :
# Ecrire la fonction
Tester avec la fonction $f$ de l’énoncé en partant de l’intervalle $[0;3]$ et en répétant $10$ fois la méthode.
# Tester la fonction
4. Ecrire une fonction Python dichoto_test qui :
# Ecrire la fonction
Tester avec la fonction $f$ de l’énoncé pour obtenir un encadrement de α à $10^{-5}$ près.
# Tester la fonction
5. Proposer et coder en Python des fonctions polynomiales $g$ et $h$ à coefficients entiers s’annulant respectivement en $\sqrt{5}$ et $\sqrt[3]{7}$.
# Ecrire les fonctions
A l’aide des fonctions Python précédentes, proposer des encadrements de ces deux nombres à $10^{-7}$ près.
# Effectuer les saisies nécessaires
(C) Copyright Franck CHEVRIER 2019-2020 http://www.python-lycee.com/