Las matemáticas de D&D

Bag Of Holding

Una bag of holding es una bolsa en la cual puedes guardar muchas más cosas de las que pareciera, parecido a la bolsa de Mary Poppins. o la de Hermione si quieres que los fans de D&D te vean feo Según las reglas básicas:

This bag has an interior space considerably larger than its outside dimensions, roughly 2 feet in diameter at the mouth and 4 feet deep. The bag can hold up to 500 pounds, not exceeding a volume of 64 cubic feet. The bag weighs 15 pounds, regardless of its contents.

Haciendo cuentas rápidas pra el volumen de un cilindro $ V=πr^2 h $ el volumen de una bag of holding debería ser $ 12.57 $ pies cubicos, que es considerablemente menos que los $ 64 $ pies cúbicos que dice tener. De modo que no se trata de un cilindro y pareciera más bien que se trata de un cono truncado, es decir un cono al que "le quitamos una parte" de arriba.

Pero entonces ¡cómo se ve nuestra bag of holding por dentro? Si tiene 2 pies de diametro en la boca ¿cual es el diametro en el fondo?

Hay varios modos fáciles de obtener el diametro del fondo, pero el más divertido es integrando. Podemos imaginar integrar "rebanadas" de un cono, cada una de radio menor que la anterior. Si hacemos estas rebanadas tan delgadas que su altura tienda a cero, es decir: $ h \rightarrow 0 $ tendremos el volúmen del cono.

"Rebanadas" de cilindro

La integral entonces queda definida así:

$$ 64 = \int_{0}^{4} {πR(h)^2}dh $$

Dónde $ R(h) $ es una función que expresa el radio de cada rebanada en función de a qué altura del cono estamos. Es una función sencilla, pero explico de dónde viene en un momento.

  • Sabemos que nuestra bolsa tiene 64 pies cúbicos de volumen, de ahí el $ 64 $
  • Sabemos que tiene 4 pies de altura por eso integramos en ese rango $ \int_0^4 $
  • Y sabemos que el area de cada rebanada es $ πr^2 $ entonces tenemos $ rR(h)^2 $

La función R(h)

Sabemos al menos uno de los dos radios, el rádio en la boca de la bolsa, es decir cuando la altura es 4 es 1 pie. Y no sabemos el radio cuando la altura de la bolsa es cero, a este radio le llamaremos $ r_1 $

$ h $ $ R(h) $
$ 4 $ $ 1 $ 
$ 0 $ $ r_1 $

Lo siguiente que sabemos que el radio varía linealmente, es decir, el cono es un cono. Es recto en sus lados no curvo ni de ningúna otra forma rara. De modo que $ R(h) $ es una función lineal. Solo tenemos que calcular su pendiente $ (1 - r_1) / (4 - 0 ) $ y su punto de intersección el eje de las abscisas, que es $R(0) = r_1$. De modo que la ecuación es:

$$ R(h) = {{1 - r_1}\over{4 - 0 }}h + r_1 $$

Resolviendo para $r_1$

Al final lo que queremos saber es cual es el diametro del fondo de la bolsa, entonces tenemos que sustituir, integrar y despejar:

\$ 64 = \int_{0}^{4} {π\left[ {{1 - r_1}\over{4}}h + r_1 \right]^2}dh \$

\$ 64 =π\int_{0}^{4} { \left( {{1 - r_1}\over{4}} \right) ^2 h^2 + 2h{{1 - r_1}\over{4}}r_1 + r_1^2 }dh \$

\$ 64 =π \left[ \left( {{1 - r_1}\over{4}} \right) ^2 {{h^3} \over {3}} + {{1 - r_1}\over{4}}r_1h^2 + r_1^2h \right]_{0}^{4} \$

\$ 64 =π \left[ {{4} \over {3}} \left( {1 - r_1} \right) ^2 + 4 \left( {1 - r_1} \right)r_1 + 4r_1^2 \right] \$

\$ 48 =π \left[ {\left( {1 - r_1} \right) ^2 + 3\left( {1 - r_1} \right)r_1 + 3r_1^2 } \right] \$

\$ 48 =π \left[ { 1 -2r_1+ r_1^2 + 3r_1 - 3r_1^2 + 3r_1^2 } \right] \$

\$ 48 =π \left[ { r_1^2 + r_1 +1 } \right] \$

Que es una ecuación cuadrática y nos da que $ r \approx 3.3117 $

De modo que el fondo de la bolsa, tiene un diametro de $ 6.6234 $ pies.

Y en medidas de verdad

El cono tiene una altura de $ 1.2192 $ metros. Un diametro superior de $ 0.6096 $ metros y un diametro de fondo de $ 2.018 $ metros. Además de un volumen de $ 1,812.28 $ Litros. Qué es un rotoplas para unas 7 personas, creo[?] xD

Tinacos Rotoplas

Finalmente, así es como se vería una bag of holding de estas medidas. Si si cabes, fácilmente cabes.

Y así se ve Y así se ve

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