Diurno

1) Uma aluna da biomédica ($m = 50 kg$) realiza um salto vertical e ela mede sua aceleração com um aplicativo em seu smartphone que está preso à sua cintura. Os valores da aceleração vertical versus tempo são apresentados no gráfico abaixo:

Considerando estes dados:
a) (0,5) Modele o fenômeno e faça o diagrama de corpo livre para o centro de gravidade da aluna
b) (1,0) Calcule a velocidade do centro de gravidade no instante que a aluna perde contato com o chão (quando a fase aérea do salto começa)
c) (1,0) Calcule o impulso mecânico total sobre o centro de gravidade até o momento da fase aérea do salto
d) (0,5) Calcule a altura do salto da aluna (o deslocamento de seu centro de gravidade)

a)

b)
Velocidade do centro de gravidade no instante que a aluna perde contato com o chão:

A velocidade do centro de gravidade no instante que a aluna perde contato com o chão pode ser determinada como a velocidade final da aluna devido ao impulso mecânico $I$ (segundo o enunciado do problema a velocidade inicial da aluna era zero):

$ I = m\Delta v = m (v_{final} - v _{inicial}) = m v_{final} $

$ v_{final} = I/m $

O impulso mecânico pode ser determinado como a área sob a curva do gráfico força versus tempo:

$ I = 50 \times (-5 \times (1.2-1)/2 + 20 \times (1.5-1.2)/2 = 50 \times (-0.5 + 3) = 125 \; Ns $

$ v_{saida} = I/m = 125/50 = 2.5\;m/s$

c)
Impulso mecânico total (vide item anterior):

$ I = 125 \; Ns $

d)
A altura do salto da aluna pode ser calculada usando a equação de Torricelli:

$ 0 = 2.5^2 - 2 \times g \times h $

$ h = 0.3125 \; m$

2) (4 pontos) Uma pessoa em uma piscina chuta uma bola dentro d’ água com uma velocidade inicial igual a $||\vec{v_0} = 5||$ m/s, com um ângulo com a horizontal igual a 30 graus. Considere que a bola não sai em nenhum momento da água. A bola tem massa $m=0,5 $ kg. Além da força gravitacional, existe uma força de arrasto devido à resistência da água que é proporcional à raiz quadrada do módulo da velocidade da bola (||\vec{F_b}|| = b\sqrt{||\vec{v}||}) com sentido contrário ao vetor velocidade e $b = 0.1 kg.m^{1/2}/s^{3/2}$. Utilize $g = 10m/s^2$. Considere a bola como se fosse uma partícula. Pede-se:

a) [0,5] Faça o diagrama de corpo livre da bola.

b) [1,0] Encontre a força resultante que está sendo aplicada na bola.

c) [1,5] Encontre a equação diferencial que descreve o movimento da bola.

d) [1,0] Escreva um pseudo-código que resolva numericamente a equação diferencial encontrada no item anterior.

a)

b) b) As forças envolvidas são as forças da gravidade e de arrasto devido à resistência da água:

A força de arrasto é proporcional à raiz quadra da velocidade e no sentido contrário à velocidade:

$\vec{F_b} = -b\sqrt{||\vec{v}||}\frac{\vec{v}}{||\vec{v}||} = -b\frac{\vec{v}}{\sqrt{||\vec{v}||}} = -b\frac{\frac{d\vec{r}}{dt}}{\sqrt{||\frac{d\vec{r}}{dt}||}} $

A força da gravidade é:

$\vec{F_g} = -mg\hat{j}$

Então a força resultante é:

$\vec{F} = -b\frac{\frac{d\vec{r}}{dt}}{\sqrt{||\frac{d\vec{r}}{dt}||}} -mg\hat{j}$

c) Utilizando a segunda lei de Newton:

$m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = -b\frac{\frac{d\vec{r}}{dt}}{\sqrt{||\frac{d\vec{r}}{dt}||}} -mg\hat{j}$

Separando nas coordenadas x e y:

$\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{b}{m}\frac{\frac{dx}{dt}}{\sqrt[4]{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+ \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}}$

$\frac{d^2y}{dt^2} = -\frac{b}{m}\frac{\frac{dy}{dt}}{\sqrt[4]{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+ \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}} - g$

d) Separando as equações acima em equações de primeira ordem:

$\frac{dv_x}{dt} = -\frac{b}{m}\frac{v_x}{\sqrt[4]{v_x^2+ v_y^2}}$

$\frac{dx}{dt} = v_x$

$\frac{dv_y}{dt} = -\frac{b}{m}\frac{v_y}{\sqrt[4]{v_x^2+ v_y^2}} - g$

$\frac{dy}{dt} = v_y$

O código para resolver numericamente as equações diferenciais está abaixo.

In [1]:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib notebook

x0 = 0
y0 = 0
vx0 = 5*np.cos(30*np.pi/180)
vy0 = 5*np.sin(30*np.pi/180)


b = 0.1
m = 0.5
g = 10

dt = 0.001

x = x0
y = y0
vx = vx0
vy = vy0

r = np.array([x,y])

while y >= 0:
    dxdt = vx
    dydt = vy
    dvxdt = -b/m*vx/np.sqrt(np.sqrt(vx**2+vy**2))
    dvydt = -b/m*vy/np.sqrt(np.sqrt(vx**2+vy**2)) - g
    
    #método de Euler
    vx = vx + dt*dvxdt
    vy = vy + dt*dvydt
    x = x + dt*dxdt
    y = y + dt*dydt
    
    r = np.vstack((r,[x,y]))
    
plt.figure()
plt.plot(r[:,0], r[:,1])
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()

3) (3 pontos) Considere o sistema massa mola mostrado abaixo. Utilize $g = 10 m/s^2$.. A constante de proporcionalidade da mola é k = 2 N/m e seu comprimento de repouso é $l_0 = 1$ m. A massa ligada à mola tem 2 kg. Pede-se:

a) [0,5] Faça o diagrama de corpo livre da massa.

b) [1,0]Encontre a expressão da força resultante sendo aplicada à massa.

c) [1,0]Encontre a equação diferencial que descreve o movimento da massa.

d) [0,5]Considerando que inicialmente a mola se encontra com um comprimento de 2 m e em repouso, pede-se para encontrar a posição da massa ao longo do tempo.

a)

b) As forças sendo aplicadas são a força gravitacional e a força da mola:

Adotando o sistema de referência normalmente utilizado (y orientado para cima):

$\vec{F_k} = -k(||\vec{r}||-l_0)\frac{\vec{r}}{||\vec{r}||} = -k(-y-l_0)\frac{y\hat{j}}{-y} = -k(y+l_0)\hat{j}$

$\vec{F_g} = -mg\hat{j}$

Então, a força resultante será:

$\vec{F} = -k(y+l_0)\hat{j} - -mg\hat{j}$

c)

Como só há forças na vertical, só será analisado a direção y:

Utilizando a segunda lei de Newton:

$m\frac{d^2y}{dt^2} = -k(y+l_0) - mg \rightarrow \frac{d^2y}{dt^2} = -\frac{k}{m}(y+l_0) - g$

d) Para resolver a equação diferencial, primeiro encontramos a equação característica:

$\lambda^2=-\frac{k}{m}$

As raízes da equação são:

$\lambda_1 = \sqrt{\frac{k}{m}}j \text{ e } -\sqrt{\frac{k}{m}}j$

Então a resposta natural do movimento da massa será:

$y_n(t) = Ae^{\sqrt{\frac{k}{m}}jt}+ B e^{-\sqrt{\frac{k}{m}}jt}$

A resposta forçada é encontrada colocando a derivada de segunda ordem igual a zero:

$y_f(t) = -\frac{mg}{k}-l_0$

A resposta completa é a soma da resposta natural e forçada:

$y(t) = Ae^{\sqrt{\frac{k}{m}}jt}+ B e^{-\sqrt{\frac{k}{m}}jt} -\frac{mg}{k} -l_0$

A velocidade da massa é encontrada derivando a expressão de $y(t)$:

$v_y(t) = A\sqrt{\frac{k}{m}}je^{\sqrt{\frac{k}{m}}jt} - B{\sqrt{\frac{k}{m}}}je^{-\sqrt{\frac{k}{m}}jt}$

As constantes A e B são encontradas utilizando as condições iniciais:

$y(0) = -2 = A+ B -\frac{mg}{k}-l_0$

$v_y(0) = 0 = A\sqrt{\frac{k}{m}}j- B{\sqrt{\frac{k}{m}}}j \rightarrow A = B$

Então:

$2A = -2+\frac{mg}{k}+l_0 \rightarrow A =B= -1 + \frac{mg}{2k}+\frac{l_0}{2} = -1+5+\frac{1}{2}=\frac{9}{2}$

A movimento da massa é:

$y(t) = \frac{9}{2}\left(e^{jt}+e^{-jt} \right)-11 = 9\cos(t)-11$

Noturno

1) Uma aluna da biomédica realiza um saque viagem num jogo de voleibol com uma bola ($m=300 g$) que a aluna colocou um acelerômetro triaxial dentro dela. Para realizar o saque, a aluna lança a bola para cima e bate na bola no momento que ela alcança a altura máxima. Os valores da aceleração horizontal (em $m/s^2$) da bola medida pelo acelerômetro versus tempo (em $ms$) são apresentados no gráfico abaixo:

Considerando estes dados:
a) (0,5) Faça o diagrama de corpo livre da bola para o instante que a bola está em contato com a mão da aluna
b) (0,5) Calcule o valor da força horizontal máxima imprimida à bola pela aluna
c) (1,0) Calcule a velocidade horizontal máxima da bola
d) (1,0) Calcule o impulso horizontal imprimido à bola

a)

b)
$F_{horizontal\;max} = m \times a_{horizontal\;max} = 0.3 \times 8000 = 2400\;N $

c)
A velocidade horizontal máxima da bola é a velocidade da bola a partir do momento que a mão da aluna para de acelerar a bola (a partir do instante $t=11\;ms$ no gráfico acima). Esta velocidade pode ser determinada como a velocidade final da bola devido ao impulso mecânico $I$ (segundo o enunciado do problema a velocidade horizontal inicial da bola era zero):

$ I = m\Delta v = m (v_{final} - v _{inicial}) = m v_{final} $

$ v_{final} = I/m $

O impulso mecânico pode ser determinado como a área sob a curva do gráfico força versus tempo:

$ I = 0.3 \times 8000 \times (11-1).10^{-3}/2 = 12 \; Ns $

$ v_{max} = I/m = 12/0.3 = 40\;m/s$

d)
Impulso horizontal imprimido à bola (vide item anterior):

$ I = 12 \; Ns $

2) [3 pontos] Considere o sistema massa amortecedor mostrado abaixo. Não existe nenhum deslocamento vertical. A constante de proporcionalidade do amortecedor é b = 2 Ns/m. A massa ligada ao amortecedor tem 2 kg.

a) [0,5] Faça o diagrama de corpo livre da massa.

b) [1,0] Encontre a expressão da força resultante sendo aplicada à massa.

c) [1,0] Encontre a equação diferencial que descreve o movimento da massa.

d) [0,5] Considerando que inicialmente o amortecdor se encontra com um comprimento de 2 m e com velocidade de 1m/s para a direita, pede-se para encontrar a posição da massa ao longo do tempo.

a)

b) Colocando a origem do sistema no ponto em que o amortecedor está acoplado à parede, temos que:

$\vec{\bf{F_g}} = -mg\hat{\bf{j}}$

$\vec{\bf{F_g}} = -b\vec{\bf{v}} = -b\frac{d\vec{\bf{r}}}{dt} = -b\frac{dx}{dt}GRF\hat{\bf{i}}$

$\vec{\bf{GRF}} = GRF\hat{\bf{j}} $

A força resultante é:

$\vec{\bf{F}} = \vec{\bf{F_g}} + \vec{\bf{F_b}} + \vec{\bf{GRF}}= -mg\hat{\bf{j}}-b\frac{dx}{dt}\hat{\bf{i}} + GRF\hat{\bf{j}}$

c) Utilizando a segunda lei de Newton:

$m\frac{d^2\vec{\bf{r}}}{dt^2} = \vec{\bf{F}} \rightarrow m\frac{d^2\vec{\bf{r}}}{dt^2} = -mg\hat{\bf{j}}-b\frac{dx}{dt}\hat{\bf{i}} + GRF\hat{\bf{j}} \rightarrow \frac{d^2\vec{\bf{r}}}{dt^2} = -\frac{b}{m}\frac{dx}{dt}\hat{\bf{i}} + GRF\hat{\bf{j}} -g\hat{\bf{j}}$

Separando a equação diferencial nas coordenadas cartesianas x e y:

$ \frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{b}{m}\frac{dx}{dt}$

$ \frac{d^2y}{dt^2} = \frac{GRF}{m} - g$

d) Na coordenada y não há movimento, então, $GRF = mg$ e não há mudança na coordenada y.

A coordenada x pode ser encontrada encontrando o polinômio característico da equação diferencial que caracteriza o movimento na coordenada x:

$\lambda^2 = \frac{-b}{m}\lambda$

Resolvendo a equação característica, encontramos:

$\lambda_1 = 0 \text{ e } \lambda_2 = \frac{-b}{m}$

Então, o movimento em $x$ é dado por:

$x(t) = Ae^{\lambda_1 t}+Be^{\lambda_2 t} = Ae^{0 t}+Be^{\frac{-b}{m}t} = A + Be^{\frac{-b}{m}t}$

Derivando a expressão, encontramos a velocidade:

$v(t) = -B\frac{b}{m}e^{\frac{-b}{m}t}$

Para encontrar o valor das constantes A e B, utilizamos as condições iniciais.

$v_x(0) = 1 = -B\frac{b}{m}e^{\frac{-b}{m}0} = -B\frac{b}{m} \rightarrow B = -\frac{m}{b}$

$x(0) = 2 = A + Be^{\frac{-b}{m}0} = A + B \rightarrow A = 2-B = 2+\frac{m}{b}$

Então:

$x(t) = 2+\frac{m}{b} -\frac{m}{b}e^{\frac{-b}{m}t} = 3-e^{-t} $

3) (4 pontos) Uma massa está presa à uma mola linear em uma mesa horizontal. Esta mesa aplica na massa uma força de atrito proporcional ao módulo da velocidade da massa ($||\vec{F_b}|| = b||\vec{v}||$) e na direção contrária do vetor velocidade, com $b = 0.1$ Ns/m. A massa tem . A mola tem constante de proporcionalidade $k = 2$ N/m e comprimento de repouso $l_0 = 1$ m. Pede-se:

a) [0,5] Faça o diagrama de corpo livre da bola.

b) [1,0] Encontre a força resultante que está sendo aplicada na bola.

c) [1,5] Encontrea equação diferencial que descreve o movimento da bola.

d) [1,0] Escreva um pseudo-código de um programa de computador que resolva numericamente a equação diferencial encontrada no item anterior. Considere que inicialmente o comprimento da mola é de 2 m, a massa está em repouso e a a mola faz um ângulo de 30 graus com o eixo x.

a)

b) As forças envolvidas são as forças da mola e de atrito:

A força de atrito é proporcional à velocidade e no sentido contrário à velocidade:

$\vec{F_a} = -b\vec{v} = -b\frac{d\vec{r}}{dt}$

A força da mola é proporcional à diferença entre o seu comprimento e seu comprimento de repouso, no sentido de restaurar o seu comprimento de repouso:

$\vec{F_k} = -k(||\vec{r}||-l_0)\frac{\vec{r}}{||\vec{r}||}$

Então a força resultante é:

$\vec{F} = \vec{F_a} +\vec{F_k} = -b\frac{d\vec{r}}{dt} -k(||\vec{r}||-l_0)\frac{\vec{r}}{||\vec{r}||}$

c) Utilizando a segunda lei de Newton:

$m\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = -b\frac{d\vec{r}}{dt} -k(||\vec{r}||-l_0)\frac{\vec{r}}{||\vec{r}||} \rightarrow \frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = -\frac{b}{m}\frac{d\vec{r}}{dt} -\frac{k}{m}\left(1-\frac{l_0}{||\vec{r}||}\right)\vec{r}$

Separando em equações diferenciais nas coordenadas x e y:

$\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{b}{m}\frac{dx}{dt} -\frac{k}{m}\left(1-\frac{l_0}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)x$

$\frac{d^2y}{dt^2} = -\frac{b}{m}\frac{dy}{dt} -\frac{k}{m}\left(1-\frac{l_0}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)y$

d) Separando cada equação diferencial em duas de primeira ordem:

$\frac{dv_x}{dt} = -\frac{b}{m}v_x -\frac{k}{m}\left(1-\frac{l_0}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)x$

$\frac{dx}{dt} = v_x$

$\frac{dv_y}{dt} = -\frac{b}{m}v_y -\frac{k}{m}\left(1-\frac{l_0}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)y$

$\frac{dy}{dt} = v_y$

O código para resolver as equações diferenciais está a seguir:

In [2]:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib notebook

x0 = 2*np.cos(30*np.pi/180)
y0 = 2*np.sin(30*np.pi/180)
vx0 = 0
vy0 = 0

l0 = 1
b = 0.1
k = 2
m = 1

dt = 0.001
t = np.arange(0, 50, dt)

x = x0
y = y0
vx = vx0
vy = vy0

r = np.array([x,y])

for i in t[1:]:
    dxdt = vx
    dydt = vy
    dvxdt = -b/m*vx - k/m*(1 - l0/np.sqrt(x**2+y**2))*x
    dvydt = -b/m*vy - k/m*(1 - l0/np.sqrt(x**2+y**2))*y
    
    #método de Euler
    vx = vx + dt*dvxdt
    vy = vy + dt*dvydt
    x = x + dt*dxdt
    y = y + dt*dydt
    
    r = np.vstack((r,[x,y]))
    
plt.figure()
plt.plot(r[:,0], r[:,1])
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()

plt.figure()
plt.plot(t, r[:,0])
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('x')
plt.show()

plt.figure()
plt.plot(t, r[:,1])
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('y')
plt.show()