Notebook

Contenido bajo licencia Creative Commons BY 4.0 y código bajo licencia MIT. © Juan Gómez y Nicolás Guarín-Zapata 2020. Este material es parte del curso Modelación Computacional en el programa de Ingeniería Civil de la Universidad EAFIT.

Transformación de coordenadas en cerchas¶

In [1]:

from sympy import *

In [2]:

init_session()

IPython console for SymPy 1.4 (Python 3.7.3-64-bit) (ground types: python)

These commands were executed:
>>> from __future__ import division
>>> from sympy import *
>>> x, y, z, t = symbols('x y z t')
>>> k, m, n = symbols('k m n', integer=True)
>>> f, g, h = symbols('f g h', cls=Function)
>>> init_printing()

Documentation can be found at https://docs.sympy.org/1.4/

Transformación de coordenadas de vectores¶

In [ ]:

Transformación de las ecuaciones de un elemento cercha¶

Tomemos un elemento tipo cercha que se encuentra horizontal.

Cercha en el sistema de referencia global.

Para este, podemos escribir el balance de fuerzas en componentes como

$\begin{align} \sum F_x = 0\, ,\\ \sum F_y = 0\, . \end{align}$

Y esto podemos escribirlo de forma matricial de la siguiente manera

$\begin{bmatrix} +k &0 &-k &0\\ 0 &0 &0 &0\\ -k &0 &+k &0\\ 0 &0 &0 &0\end{bmatrix} \begin{Bmatrix} u_1\\ v_1\\ u_2\\ v_2\end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} -f_1\\ 0\\ -f_2\\ 0\end{Bmatrix}\, .$

Ahora, queremos expresar nuestro sistema de ecuaciones en un sistema rotado un ángulo $\theta$ .

Las componentes estarían dadas por

$\begin{align} u_1' = u_1 \cos\theta + v_1 \sin\theta\, ,\\ v_1' = -u_1 \sin\theta + v_1 \cos\theta\, ,\\ u_2' = u_2 \cos\theta + v_2 \sin\theta\, ,\\ v_2' = -u_2 \sin\theta + v_2 \cos\theta\, ,\\ \end{align}$

o, matricialmente,

$\begin{Bmatrix}u_1'\\ v_1'\\ u_2'\\ v_2'\end{Bmatrix} = \underbrace{ \begin{bmatrix} \cos\theta &\sin\theta &0 &0\\ -\sin\theta &\cos\theta &0 &0\\ 0 &0 &\cos\theta &\sin\theta\\ 0 &0 &-\sin\theta &\cos\theta \end{bmatrix}}_{T} \begin{Bmatrix}u_1\\ v_1\\ u_2\\ v_2\end{Bmatrix}\, .$

Que podemos escribir de manera abreviada como

$\{U'\} = [T]\{U\}\, .$

Tenemos que

$\begin{align} &[K] \{U'\} = \{F\}\, ,\\ &[K] [T] \{U\} = [T] \{F\}\, . \end{align}$

Y, multiplicando ambos lados por $[T]^T$ , obtenemos

$\begin{align} &[T]^T [K] [T] \{U\} = \underbrace{[T]^T [T]}_{[I]} \{F\}\, ,\\ &[T]^T [K] [T] \{U\} = \{F\}\, . \end{align}$

Ejemplo¶

Calculemos las matrices de rigidez para los elementos de la siguiente cercha.

En donde la sección transversal ( $A$ ) y módulo de Young ( $E$ ) son los mismos para todas las barras.

Para facilitar los cálculos, haremos uso de SymPy.

In [3]:

A, E, L, theta = symbols("A E L theta")
L0, L1, L2 = symbols("L0 L1 L2")
T = Matrix([
    [cos(theta), -sin(theta), 0 ,0],
    [sin(theta), cos(theta), 0 ,0],
    [0, 0, cos(theta), -sin(theta)],
    [0, 0, sin(theta), cos(theta)]])
rigidez_local = A*E/L * Matrix([
    [1, 0, -1, 0],
    [0, 0,  0, 0],
    [-1, 0, 1, 0],
    [0, 0, 0, 0]])

Veamos las matrices que definimos.

In [4]:

Out[4]:

$\displaystyle \left[\begin{matrix}\cos{\left(\theta \right)} & - \sin{\left(\theta \right)} & 0 & 0\\\sin{\left(\theta \right)} & \cos{\left(\theta \right)} & 0 & 0\\0 & 0 & \cos{\left(\theta \right)} & - \sin{\left(\theta \right)}\\0 & 0 & \sin{\left(\theta \right)} & \cos{\left(\theta \right)}\end{matrix}\right]$

In [5]:

rigidez_local

Out[5]:

$\displaystyle \left[\begin{matrix}\frac{A E}{L} & 0 & - \frac{A E}{L} & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\- \frac{A E}{L} & 0 & \frac{A E}{L} & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$

Elemento 0¶

Para este elemento, tenemos que el ángulo es 0, luego

In [6]:

rigidez_0 = T.T.subs(theta, 0) * rigidez_local.subs(L, L0) * T.subs(theta, 0)
rigidez_0

Out[6]:

$\displaystyle \left[\begin{matrix}\frac{A E}{L_{0}} & 0 & - \frac{A E}{L_{0}} & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\- \frac{A E}{L_{0}} & 0 & \frac{A E}{L_{0}} & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$

Elemento 1¶

Para este elemento $\theta = 5\pi/6$ , luego

In [7]:

rigidez_1 = T.T.subs(theta, 5*pi/6) * rigidez_local.subs(L, L1) * T.subs(theta, 5*pi/6)
rigidez_1

Out[7]:

$\displaystyle \left[\begin{matrix}\frac{3 A E}{4 L_{1}} & \frac{\sqrt{3} A E}{4 L_{1}} & - \frac{3 A E}{4 L_{1}} & - \frac{\sqrt{3} A E}{4 L_{1}}\\\frac{\sqrt{3} A E}{4 L_{1}} & \frac{A E}{4 L_{1}} & - \frac{\sqrt{3} A E}{4 L_{1}} & - \frac{A E}{4 L_{1}}\\- \frac{3 A E}{4 L_{1}} & - \frac{\sqrt{3} A E}{4 L_{1}} & \frac{3 A E}{4 L_{1}} & \frac{\sqrt{3} A E}{4 L_{1}}\\- \frac{\sqrt{3} A E}{4 L_{1}} & - \frac{A E}{4 L_{1}} & \frac{\sqrt{3} A E}{4 L_{1}} & \frac{A E}{4 L_{1}}\end{matrix}\right]$

Elemento 2¶

Para este elemento $\theta = \pi/2$ , luego

In [ ]:

rigidez_2 = T.T.subs(theta, pi/2) * rigidez_local.subs(L, L2) * T.subs(theta, pi/2)
rigidez_2

Referencias¶

Abani Patra. (Marzo 15, 1999). Trusses and Transformations. Fecha de acceso: Octubre 28, 2019, disponible en: http://www.eng.buffalo.edu/~abani/fem/node6.html.