Calcolo approssimativo della velocità di Schiaparelli

Questo notebook realizzato con il linguaggio Julia ci aiuterà a stimare la velocità con cui Schiaparelli è caduto sul suolo marziano. Questo notebook ci permetterà di eseguire senza commettere errori di arrotondamento. Il comodo pacchetto Unitful.jl ci permetterà di controllare che le formule utilizzate abbiano le giuste dimensioni fisiche.

Avvertimento: abbiamo fatto molte assunzioni per semplificare i calcoli. In particolare abbiamo supposto che il moto del modulo Schiaparelli fosse rettilineo uniformemente accelerato. Chi non ha molta pratica con questi concetti, può dare un'occhiata a questa voce di Wikipedia prima di procedere con la lettura: https://it.wikipedia.org/wiki/Moto_rettilineo#Moto_rettilineo_uniformemente_accelerato.

Usando i dati dell'infografica dell'ESA con il piano di atterraggio del modulo, annotiamo la quota, la velocità e l'istante di tempo all'accensione dei retrorazzi e allo spegnimento dei retrorazzi. All'accensione dei retrorazzi abbiamo:

In [1]:
using Unitful # Pacchetto per inserire quantità con unità di misura

x_0 = 1.1*u"km" # Quota
v_0 = 250*u"km/hr" # Velocità
t_0 = 23*u"s" # Istante di tempo
Out[1]:
23 s

Allo spegnimento:

In [2]:
x_1 = 2*u"m" # Quota
v_1 = 4*u"km/hr" # Velocità
t_1 = 52*u"s" # Istante di tempo
Out[2]:
52 s

Assumendo che in questa fase di discesa il modulo Schiaparelli sarebbe dovuto essere sottoposto a un'accelerazione costante, questa può essere ricavata con la seguente formula:

In [3]:
# Accelerazione totale a cui sarebbe dovuto essere sottoposto
# il modulo Schiaparelli
a = (v_1 - v_0)/(t_1 - t_0)
a = uconvert(u"m/s^2", a) # Convertiamo l'accelerazione in unità di m/s
Out[3]:
-2.3563218390804597 m s^-2

L'atmosfera di Marte è abbastanza rarefatta, quindi l'effetto di attrito è trascurabile in prima approssimazione. Dunque l'accelerazione totale calcolata sopra è data dalla somma dell'ccelerazione di gravità (g) e accelerazione impressa dai razzi (a_r). Calcoliamo l'accelerazione gravitazionale in prossimità del Meridiani Planum, all'equatore di Marte.

In [4]:
M = 6.4171e23u"kg" # Massa di Marte
R = 3396.2e3u"m" # Raggio equatoriale
g = Unitful.G*M/R^2 # Accelerazione di gravità
Out[4]:
3.7131603124948063 m s^-2

L'accelerazione di gravità dipende dalla distanza dal centro del pianeta, ma durante l'ultimo minuto del viaggio di Schiaparelli la variazione di distanza è trascurabile. Dunque, l'accelerazione che avrebbero dovuto imprimere i razzi al modulo è pari a

In [5]:
a_r = a - g # Accelerazione dei razzi
Out[5]:
-6.069482151575266 m s^-2

Come sappiamo, invece dei 29 secondi previsti, i razzi hanno funzionato solo per un tempo

In [6]:
Δt = 3*u"s"
Out[6]:
3 s

In questa fase il modulo è sceso alla quota di

In [7]:
s = x_0 - ( v_0*Δt + 1//2*a*Δt^2 )
Out[7]:
902.2701149425287 m

Con una velocità

In [8]:
v_i =  v_0 + a*Δt
Out[8]:
62.37547892720306 m s^-1

Da questo punto in poi Schiaparelli è caduto liberamente nel campo gravitazionale del pianeta Marte, soggetto solamente alla sua gravità g, raggiungendo quindi il suolo con la velocità di

In [9]:
v_f = sqrt(v_i^2 + 2*g*s)
Out[9]:
102.91378690587283 m s^-1

che possiamo convertire in km/h:

In [10]:
uconvert(u"km/hr", v_f)
Out[10]:
370.4896328611422 hr^-1 km

La caduta libera è durata

In [11]:
(v_f - v_i)/g
Out[11]:
10.917467754424209 s