ベルヌーイの定理
$ X=\dfrac{h_2}{h_1} ,Y=\dfrac{v_2}{v_1} ,Z=\dfrac{i_2}{i_1} ,\xi=\dfrac{B_2}{B_1} ,\eta=\dfrac{n_2}{n_1} $
として,上式を変形すると
流れの連続式より
$ X=\dfrac{1}{\xi Y} $
流れの運動方程式より
$ Y=\dfrac{1}{\eta}Z^{1/2} X^{2/3} $
流砂の連続式,運動方程式より
$ Z = \dfrac{1}{X \xi^{1/m}} $
これらを$X,Y,Z$について解くと $$ \begin{align} X &= \eta^{\frac{6}{7}} \xi^{-\frac{3(2 m - 1)}{7 m}} \\ Y &= \eta^{-\frac{6}{7}} \xi^{- \frac{m + 3}{7 m}} \\ Z &= \eta^{-\frac{6}{7}} \xi^{\frac{2(3 m - 5)}{7 m} } \end{align} $$
$X,Y$を変形したベルヌーイの式に代入すると,
\begin{align} \dfrac{z_{b2} - z_{b1}}{h_1} &= 1 - \eta^{\frac{6}{7}} \xi^{-\frac{3(2 m - 1)}{7 m}} + \dfrac{1}{2}Fr_1^2\left\{1- \eta^{-\frac{12}{7}} \xi^{- \frac{2(m + 3)}{7 m}} \right\} - \dfrac{i \Delta x}{h_1}\\ Fr_1 &= \dfrac{v_1}{\sqrt{gh_1}} \end{align}一箇所だけ乗数が違う.2(m+3)が2(2m+3)でしたが,多分先生の間違い.
縦軸 $\dfrac{z_{b2} - z_{b1}}{h_1}$,横軸$\dfrac{B_2}{B_1}$として図化
import holoviews as hv
import numpy as np
hv.extension('bokeh')
m = 1.5
dx = 1000.0
i = 0.001
h1 = 3.0
Fr = 0.6
y = lambda x : 1.0 - x**(-3*(2*m-1)/7/m) + 0.5*Fr**2*(1.0 - x**(-2*(m+3)/7/m)) - i * dx / h1
x = np.arange(1.0,2.01,0.1)
hv.Curve((x,y(x)), kdims='$B2/B1$', vdims='(zb2-zb1)/h1').options(width=400,height=400)
この条件だと,$B_2/B_1$が1.7くらいでレベルになり,それより大きいと逆勾配になる感じです.
from sympy import *
init_printing()
eta = Symbol('\eta',real=True, positive=True)
xi = Symbol('\\xi',real=True, positive=True)
X = Symbol('X',real=True, positive=True)
Y = Symbol('Y',real=True, positive=True)
Z = Symbol('Z',real=True, positive=True)
m = Symbol('m',real=True, positive=True)
Ans = solve( [X-1/xi/Y, Y-Z**0.5*X**(2/3)/eta, Z - 1/X/xi**(1/m)], [X,Y,Z] )
simplify(Ans[0])