#!/usr/bin/env python
# coding: utf-8

# # Partie 1.2 -- Étude numérique de deux méthodes de descente de gradient
# 
# $$\newcommand{\eps}{\varepsilon}$$
# Dans la suite, on fixe une fois pour toute $a=(0,1)$, $b = (0,-1)$, $c = (0.1,0)$, $\eps = 10^{-3}$. 
# 
# **QN1.** Écrire quatre fonctions n(x), gradn(x), f(x), gradf(x) calculant respectivement $n_\eps(x),\nabla n_\eps(x),f_\eps(x),\nabla f_\eps(x)$.
# 
# 

# In[58]:


# on importe les modules numpy et pyplot
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# les deux commandes suivante paramètrent l'affichage des figures
get_ipython().run_line_magic('matplotlib', 'inline')
plt.rcParams['figure.figsize'] = [9.,6.]

a = [0.,1.]
b = [0.,-1.]
c = [.1,0.]
eps = 1e-3

# ecrire les fonction n, gradn, f, gradf


# **QN2**. Écrire une fonction gradient_fixe(f,gradf,x0,tau) implémentant l'algorithme de descente de gradient à pas fixe: 
# 
# $$\begin{cases}
# x^{(0)} \in \mathbb{R}^2 \hbox{ donné }\\
# x^{(k+1)} = x^{(k)} - \tau \nabla f(x^{(k)})
# \end{cases}$$
# 
# - on s'arrêtera quand $k=100$ ou dès que $\|{\nabla f(x^{(k)})}\| \leq 10^{-6}$
# - la fonction retournera un tableau $G = [\|\nabla f(x^{(0)})\|,\dots, \|\nabla f(x^{(k)})\|]$

# In[59]:


def gradient_fixe(f, gradf, x0, tau):
    # compléter


# **QN3** Tester la fonction gradient_fixe en partant du point $x^{(0)} = (1,1)$ pour $\tau \in \{0.03, 0.1, 0.5\}$. Tracer l'évolution de la norme du gradient au cours des itérations dans chaque choix de tau. 

# In[ ]:





# **QN4** Écrire une fonction gradient_backtracking(f,gradf,x0,tau) implémentant l'algorithme de descente de gradient avec backtracking d'Armijo: 
# 
# $$\begin{cases}
# x^{(0)} \in \mathbb{R}^2 \hbox{ donné }\\
# g^{(k)} = \nabla f(x^{(k)}) \\
# d^{(k)} = - g^{(k)} \\
# \tau^{(k)} = backtrack(f,x^{(k)},d^{(k)}, g^{(k)}) \\
# x^{(k+1)} = x^{(k)} + \tau^{(k)} d^{(k)}
# \end{cases}$$
# 
# La fonction backtrack est donnée. La fonction gradient_backtracking aura le même comportement que gradient_fixe:
# 
# - on fera au plus $100$ itérations, et on s'arrêtera dès que $\|{\nabla f(x^{(k)})}\| \leq 10^{-6}$
# - la fonction retournera un tableau $G = [\|\nabla f(x^{(0)})\|,\dots, \|\nabla f(x^{(k)})\|]$

# In[3]:


def backtrack(f,x,d,g):
    t = 1
    m = np.dot(d,g)
    while f(x+t*d) > f(x) + 0.3*t*m:
        t = 0.5*t
    return t

def gradient_backtracking(f,gradf,x0,err=1e-6):
    # à compléter


# **QN5** Tester la fonction gradient_backtracking en partant des points $x^{(0)} \in \{ (0,0), (1,1), (10,10) \}$. Tracer l'évolution de la norme du gradient au cours des itérations dans ces trois cas. Commenter.

# In[ ]: