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# coding: utf-8

# ### 一.基本思路：马尔可夫链收敛到平稳态
# 在[《12_05_PGM_马尔科夫链_初探及代码实现》](https://nbviewer.jupyter.org/github/zhulei227/ML_Notes/blob/master/notebooks/12_05_PGM_%E9%A9%AC%E5%B0%94%E7%A7%91%E5%A4%AB%E9%93%BE_%E5%88%9D%E6%8E%A2%E5%8F%8A%E4%BB%A3%E7%A0%81%E5%AE%9E%E7%8E%B0.ipynb)这一节，我们首次探索了马尔可夫链，并在本末讨论并说明了它的一个重要性质：**马尔可夫链的平稳态**，而且在后面的PageRank算法中使用了它的这个性质，这部分内容其实是要求这样一个问题：  
# 
# <center>**已知马尔可夫模型的状态转移概率矩阵$P$，求它的平稳态$\pi^*$，使得$P\pi^*=\pi^*$**</center>  
# 
# 将这个问题反过来，那就是**MCMC**（马尔科夫蒙特卡洛抽样法）的主要思想咯：   
# 
# <center>**已知某分布$\pi$，求一个马尔可夫模型的状态转移概率矩阵$P^*$，使得$P^*\pi=\pi$**</center>    
# 
# 于是，我们求一个$P^*$满足上面的条件即可，但是要用于MCMC，对$P^*$的要求更加苛刻一些：要保证在$P^*$的条件下，**平稳态必须是唯一**的，换言之，给定一个概率转移矩阵，它的平稳态可能有多个，比如下面的例子

# In[1]:


import numpy as np
import pandas as pd
import os
os.chdir('../')
from ml_models.pgm import SimpleMarkovModel


# In[2]:


smm=SimpleMarkovModel(status_num=3)
smm.P=np.asarray([
    [1,1/3,0],
    [0,1/3,0],
    [0,1/3,1]
])


# In[3]:


#定义初始状态
init_prob=np.asarray([[0.2],[0.7],[0.1]])
pd.DataFrame({50:smm.predict_prob_distribution(1,set_init_prob=init_prob).reshape(-1).tolist(),
              100:smm.predict_prob_distribution(10,set_init_prob=init_prob).reshape(-1).tolist(),
              500:smm.predict_prob_distribution(50,set_init_prob=init_prob).reshape(-1).tolist(),
              1000:smm.predict_prob_distribution(100,set_init_prob=init_prob).reshape(-1).tolist(),
              2000:smm.predict_prob_distribution(200,set_init_prob=init_prob).reshape(-1).tolist()})


# In[4]:


#定义另一组初始状态
init_prob=np.asarray([[0.8],[0.1],[0.1]])
pd.DataFrame({50:smm.predict_prob_distribution(1,set_init_prob=init_prob).reshape(-1).tolist(),
              100:smm.predict_prob_distribution(10,set_init_prob=init_prob).reshape(-1).tolist(),
              500:smm.predict_prob_distribution(50,set_init_prob=init_prob).reshape(-1).tolist(),
              1000:smm.predict_prob_distribution(100,set_init_prob=init_prob).reshape(-1).tolist(),
              2000:smm.predict_prob_distribution(200,set_init_prob=init_prob).reshape(-1).tolist()})


# In[5]:


#再定义另一组初始状态
init_prob=np.asarray([[0.4],[0.5],[0.1]])
pd.DataFrame({50:smm.predict_prob_distribution(1,set_init_prob=init_prob).reshape(-1).tolist(),
              100:smm.predict_prob_distribution(10,set_init_prob=init_prob).reshape(-1).tolist(),
              500:smm.predict_prob_distribution(50,set_init_prob=init_prob).reshape(-1).tolist(),
              1000:smm.predict_prob_distribution(100,set_init_prob=init_prob).reshape(-1).tolist(),
              2000:smm.predict_prob_distribution(200,set_init_prob=init_prob).reshape(-1).tolist()})


# 由上面的例子可以发现，由于初始状态的不同，平稳态可能有多个，所以我们构造的$P$必须要保证平稳态能唯一的收敛到我们的目标分布$\pi$，不然，如上面的例子，假如我们的目标分布是$\pi=[0.65,0,0.35]$，然后我们构造了一个概率转移矩阵$P=\begin{bmatrix}
# 1 & 1/3 & 0\\ 
# 0 & 1/3 &0 \\ 
# 0 & 1/3 & 1
# \end{bmatrix}$ ，满足$P\pi=\pi$，然后，我们随便定义了一个初始点$x_0=[0.8,0.1,0.1]$，在$P$上随机游走采样$\{x_1,x_2,...,x_n\}$，最后发现它成功收敛到了$x_n\rightarrow [0.85,0,0.15]$，哈哈哈哈哈~~~~     
# 
# 保证马尔科夫模型仅收敛到唯一平稳态的**充分条件**是有的！那就是**细致平衡方程**

# ### 二.保证平稳态唯一：细致平衡方程
# 细致平衡方程的定义如下，设有马尔科夫链$X=\{X_0,X_1,...,X_t,...\}$，状态空间为$S$，转移概率矩阵为$P$，如果有状态分布$\pi=(\pi_1,\pi_2,...)^T$，对任意时刻状态$i,j\in S$，对任意时刻$t$均满足：   
# 
# $$
# P(X_t=i\mid X_{t-1}=j)\pi_j=P(X_{t-1}=j\mid X_t=i)\pi_i,i,j=1,2,....
# $$  
# 
# 或者简写为：   
# 
# $$
# p_{ij}\pi_j=p_{ji}\pi_i,i,j=1,2,....
# $$    
# 
# 为了更加直观，也可以写作：    
# 
# $$
# p(j\rightarrow i)\pi_j=p(i\rightarrow j)\pi_i
# $$
# 这便是细致平衡方程，此时的马尔科夫链称为可逆马尔科夫链，显然对$P$矩阵按列求和为1，即$\sum_{i}p_{ij}=1$或者$\sum_ip(j\rightarrow i)=1$ ，接下来简单证明一下，满足细致平衡条件，则有$P\pi=\pi$成立：   
# 
# $$
# (P\pi)_i=\sum_jp_{ij}\pi_j=\sum_jp_{ji}\pi_i=\pi_i\sum_{j}p_{ji}=\pi_i,i=1,2,...
# $$   
# 
# **高维/连续状态空间**：上面只是对一维离散状态空间做的说明，而细致平衡方程对高维空间或者连续状态空间一样是成立的，只需对相应符号做修改即可，比如将$p_{ij}$修改为一个函数的形式$p(状态j,状态i)$，求和符号$\sum$需要替换为积分符号$\int$

# ### 三.小结
# 最后小结一下，这一节的重点引出细致平衡方程：   
# 
# $$
# p_{ij}\pi_j=p_{ji}\pi_i
# $$
# 
# 因为在满足该方程约束的条件下，我们构造的$P^*$，必然有$P^*\pi=\pi$，且$\pi$唯一（这里$\pi$是我们的目标分布），这也是检验MCMC是否有效的一条重要标准，下一节将要介绍的Metropolis-Hastings算法（MH算法）便是满足该约束条件的一套算法
# 
# #### 采样步骤
# 
# 再对MCMC的采样步骤做个整理    
# 
# （1）首先在随机变量$x$的状态空间上构造一个马尔科夫链$P$，使它能平稳且唯一的收敛到我们的目标分布$p(x)$；    
# 
# （2）从状态空间某一点$x_0$出发，用构造的马尔科夫链$P$进行随机游走，产生样本序列$x_0,x_1,...,x_t,....$；   
# 
# （3）确定一个正整数$m,n$（$m<n$），得到样本集合$\{x_m,x_{m+1},...,x_n\}$，对目标指标进行计算，比如某函数$f(x)$的期望：    
# 
# $$
# \hat{E}f=\frac{1}{n-m}\sum_{i=m+1}^nf(x_i)
# $$
# 
# ##### 补充
# 
# （1）上面提到的**随机游走采样**简单解释一下，它其实和[《12_06_PGM_马尔科夫链_语言模型及文本生成》](https://nbviewer.jupyter.org/github/zhulei227/ML_Notes/blob/master/notebooks/12_06_PGM_%E9%A9%AC%E5%B0%94%E7%A7%91%E5%A4%AB%E9%93%BE_%E8%AF%AD%E8%A8%80%E6%A8%A1%E5%9E%8B%E5%8F%8A%E6%96%87%E6%9C%AC%E7%94%9F%E6%88%90.ipynb)中的文本生成类似，只是每一步不会做贪婪搜索或者beam search，而是按照当前步的概率分布进行采样，例如当前样本在状态$i$，则按照$p_{ji},j=1,2,...$的分布对下一个样本进行采样；     
# 
# （2）另外由于马尔科夫链的性质，当$t\rightarrow \infty$时，采样的样本分布才会更加近似于目标分布，所以通常我们会从所有的采样样本$\{x_0,x_1,x_2,...,x_m,...,x_n\}$中截取尾部的一部分样本$\{x_m,x_{m+1},...,x_n\}$来做相应的统计指标计算，比如计算期望，积分等...   
# 
# （3）**另外另外**，有时为了方便直观理解，转移概率我有时会采用不同的写法，但请注意一下它们是等价的：$p_{ij}=p(i\mid j)=p(j\rightarrow i)=p(j,i)$

# In[ ]: