#!/usr/bin/env python # coding: utf-8 # ### 一.简介 # xgboost在集成学习中占有重要的一席之位，通常在各大竞赛中作为杀器使用，同时它在工业落地上也很方便，目前针对大数据领域也有各种分布式实现版本，比如xgboost4j-spark,xgboost4j-flink等。xgboost的基础也是gbm，即梯度提升模型，它在此基础上做了进一步优化... # ### 二.损失函数：引入二阶项 # xgboost的损失函数构成如下，即一个经验损失项+正则损失项： # # $$ # Cost(y,F_{m-1},f_m)=\sum_{i=1}^n L(y_i,F_{m-1}(x_i)+f_m(x_i))+\Omega(f_m) # $$ # # 这里$n$表示样本数，$F_{m-1}$表示前$m-1$轮模型，$f_m$表示第$m$轮新训练模型，所以$F_m=F_{m-1}+f_m$，$\Omega(f_m)$是对第$m$轮新训练模型进行约束的正则化项，在前面第6小节做过探索，对损失函数近似做二阶泰勒展开，并对近似损失函数做优化，通常会收敛的更快更好，接下里看下对第$i$个样本的经验项损失函数做二阶展开： # # $$ # L(y_i,F_{m-1}(x_i)+f_m(x_i))=L(y_i,F_{m-1}(x_i))+g_if_m(x_i)+\frac{1}{2}h_if_m^2(x_i) # $$ # # 这里： # # $$ # g_i=\frac{\partial L(y_i,F_{m-1}(x_i))}{\partial F_{m-1}(x_i)}\\ # h_i=\frac{\partial^2 L(y_i,F_{m-1}(x_i))}{\partial {F_{m-1}(x_i)}^2} # $$ # # 对于第$m$轮，$L(y_i,F_{m-1}(x_i))$为常数项，不影响优化，可以省略掉，所以损失函数可以表示为如下： # # $$ # Cost(y,F_{m-1},f_m)=\sum_{i=1}^n [g_if_m(x_i)+\frac{1}{2}h_if_m^2(x_i)]+\Omega(f_m) # $$ # # 这便是xgboost的学习框架，针对不同问题，比如回归、分类、排序，会有不同的$L(\cdot)$以及$\Omega(\cdot)$，另外由于需要二阶信息，所以$L(\cdot)$必须要能二阶可微，接下来对基学习器为决策树的情况做推导 # ### 三.基学习器：回归决策树 # 下面推导一下基学习器为回归树的情况，当选择决策树时，它的正则化项如下： # # $$ # \Omega(f_m)=\gamma T+\frac{1}{2}\lambda\sum_{j=1}^T\omega_j^2 # $$ # # 其中，$j=1,2,...,T$表达对应的叶节点编号，$\omega_j$表示落在第$j$个叶节点的样本的预测值，即： # # $$ # \omega_j=f_m(x_i),x_i\in I_j # $$ # # $I_j$表示第$j$个叶子节点所属区域，所以决策树的损失函数可以改写为如下： # # $$ # Cost(y,F_{m-1},f_m)=\sum_{j=1}^T[(\sum_{i\in I_j}g_i)\omega_j+\frac{1}{2}(\sum_{i\in I_j}h_i+\lambda)\omega_j^2]+\gamma T # $$ # # 这其实是关于$\omega$的一元二次函数，直接写出它的最优解： # # $$ # \omega_j^*=-\frac{G_j}{H_j+\lambda} # $$ # # 这里$G_j=\sum_{i\in I_j}g_i,H_j=\sum_{i\in I_j}h_i$,可见$L_2$正则项起到了缩小叶子节点权重的效果，减少其对整个预测结果的影响，从而防止过拟合，将$\omega_j^*$带入可得损失值： # # $$ # Cost(y,F_{m-1},f_m^*)=-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^T\frac{G_j^2}{H_j+\lambda}+\gamma T # $$ # # # #### 特征选择 # # 很显然，上面的损失函数可以直接用于特征选择中，对某节点在分裂前的评分为： # # $$ # Score_{pre}=-\frac{1}{2}\frac{G^2}{H+\lambda}+\gamma # $$ # # 分裂后，左右子节点的评分和为： # # $$ # Score_{pre}=-\frac{1}{2}(\frac{G_L^2}{H_L+\lambda}+\frac{G_R^2}{H_R+\lambda})+2\gamma # $$ # # 所以分裂所能带来的增益： # # $$ # Score=\frac{1}{2}[\frac{G_L^2}{H_L+\lambda}+\frac{G_R^2}{H_R+\lambda}-\frac{G^2}{H+\lambda}]-\gamma # $$ # # 这里$G=G_L+G_R,H=H_L+H_R$ # ### 四.代码实现 # # 这部分对xgboost中的回归树做简单实现，大体流程其实与CART回归树差不多，下面说下它与CART回归树不一样的几个点： # # （1）这里`fit`与之前的CART回归树有些不一样了，之前是`fit(x,y)`，而现在需要`fit(x,g,h)`； # # （2）特征选择不一样了，之前是求平方误差的增益，现在需要利用一阶和二阶导数信息，见上面的$Score$ # # （3）叶子节点的预测值不一样了，之前是求均值，现在需利用一阶和二阶导数信息，见上面的$w_j^*$ # # 接下来对xgboost所需要用到的回归树做简单实现 # In[1]: import os os.chdir('../') import numpy as np from ml_models.wrapper_models import DataBinWrapper """ xgboost基模型：回归树的实现，封装到ml_models.ensemble """ class XGBoostBaseTree(object): class Node(object): """ 树节点，用于存储节点信息以及关联子节点 """ def __init__(self, feature_index: int = None, feature_value=None, y_hat=None, score=None, left_child_node=None, right_child_node=None, num_sample: int = None): """ :param feature_index: 特征id :param feature_value: 特征取值 :param y_hat: 预测值 :param score: 损失函数值 :param left_child_node: 左孩子结点 :param right_child_node: 右孩子结点 :param num_sample:样本量 """ self.feature_index = feature_index self.feature_value = feature_value self.y_hat = y_hat self.score = score self.left_child_node = left_child_node self.right_child_node = right_child_node self.num_sample = num_sample def __init__(self, max_depth=None, min_samples_split=2, min_samples_leaf=1, gamma=1e-2, lamb=1e-1, max_bins=10): """ :param max_depth:树的最大深度 :param min_samples_split:当对一个内部结点划分时，要求该结点上的最小样本数，默认为2 :param min_samples_leaf:设置叶子结点上的最小样本数，默认为1 :param gamma:即损失函数中的gamma :param lamb:即损失函数中lambda """ self.max_depth = max_depth self.min_samples_split = min_samples_split self.min_samples_leaf = min_samples_leaf self.gamma = gamma self.lamb = lamb self.root_node: self.Node = None self.dbw = DataBinWrapper(max_bins=max_bins) def _score(self, g, h): """ 计算损失损失评分 :param g:一阶导数 :param h: 二阶导数 :return: """ G = np.sum(g) H = np.sum(h) return -0.5 * G ** 2 / (H + self.lamb) + self.gamma def _build_tree(self, current_depth, current_node: Node, x, g, h): """ 递归进行特征选择，构建树 :param x: :param y: :param sample_weight: :return: """ rows, cols = x.shape # 计算G和H G = np.sum(g) H = np.sum(h) # 计算当前的预测值 current_node.y_hat = -1 * G / (H + self.lamb) current_node.num_sample = rows # 判断停止切分的条件 current_node.score = self._score(g, h) if rows < self.min_samples_split: return if self.max_depth is not None and current_depth > self.max_depth: return # 寻找最佳的特征以及取值 best_index = None best_index_value = None best_criterion_value = 0 for index in range(0, cols): for index_value in sorted(set(x[:, index])): left_indices = np.where(x[:, index] <= index_value) right_indices = np.where(x[:, index] > index_value) criterion_value = current_node.score - self._score(g[left_indices], h[left_indices]) - self._score( g[right_indices], h[right_indices]) if criterion_value > best_criterion_value: best_criterion_value = criterion_value best_index = index best_index_value = index_value # 如果减少不够则停止 if best_index is None: return # 切分 current_node.feature_index = best_index current_node.feature_value = best_index_value selected_x = x[:, best_index] # 创建左孩子结点 left_selected_index = np.where(selected_x <= best_index_value) # 如果切分后的点太少，以至于都不能做叶子节点，则停止分割 if len(left_selected_index[0]) >= self.min_samples_leaf: left_child_node = self.Node() current_node.left_child_node = left_child_node self._build_tree(current_depth + 1, left_child_node, x[left_selected_index], g[left_selected_index], h[left_selected_index]) # 创建右孩子结点 right_selected_index = np.where(selected_x > best_index_value) # 如果切分后的点太少，以至于都不能做叶子节点，则停止分割 if len(right_selected_index[0]) >= self.min_samples_leaf: right_child_node = self.Node() current_node.right_child_node = right_child_node self._build_tree(current_depth + 1, right_child_node, x[right_selected_index], g[right_selected_index], h[right_selected_index]) def fit(self, x, g, h): # 构建空的根节点 self.root_node = self.Node() # 对x分箱 self.dbw.fit(x) # 递归构建树 self._build_tree(1, self.root_node, self.dbw.transform(x), g, h) # 检索叶子节点的结果 def _search_node(self, current_node: Node, x): if current_node.left_child_node is not None and x[current_node.feature_index] <= current_node.feature_value: return self._search_node(current_node.left_child_node, x) elif current_node.right_child_node is not None and x[current_node.feature_index] > current_node.feature_value: return self._search_node(current_node.right_child_node, x) else: return current_node.y_hat def predict(self, x): # 计算结果 x = self.dbw.transform(x) rows = x.shape[0] results = [] for row in range(0, rows): results.append(self._search_node(self.root_node, x[row])) return np.asarray(results) # 下面简单测试一下功能，假设$F_0(x)=0$，损失函数为平方误差的情况，则其一阶导为$g=F_0(x)-y=-y$，二阶导为$h=1$ # In[2]: #构造数据 data = np.linspace(1, 10, num=100) target1 = 3*data[:50] + np.random.random(size=50)*3#添加噪声 target2 = 3*data[50:] + np.random.random(size=50)*10#添加噪声 target=np.concatenate([target1,target2]) data = data.reshape((-1, 1)) # In[3]: import matplotlib.pyplot as plt get_ipython().run_line_magic('matplotlib', 'inline') model=XGBoostBaseTree(lamb=0.1,gamma=0.1) model.fit(data,-1*target,np.ones_like(target)) plt.scatter(data, target) plt.plot(data, model.predict(data), color='r') # 分别看看lambda和gamma的效果 # In[4]: model=XGBoostBaseTree(lamb=1,gamma=0.1) model.fit(data,-1*target,np.ones_like(target)) plt.scatter(data, target) plt.plot(data, model.predict(data), color='r') # In[5]: model=XGBoostBaseTree(lamb=0.1,gamma=100) model.fit(data,-1*target,np.ones_like(target)) plt.scatter(data, target) plt.plot(data, model.predict(data), color='r') # In[ ]: