#!/usr/bin/env python
# coding: utf-8

# In[1]:


from __future__ import division


# # Chapitres 1 à 4
# Quelques ajouts dans les sections déjà vues...

# ### 3.1 Nombres rationels
# Une autre façon de créer un nombre rationnel

# In[2]:


5 / 2


# In[3]:


from sympy import Rational
Rational(5,2)


# In[4]:


from sympy import S
get_ipython().run_line_magic('pinfo', 'S')


# In[8]:


type(S(5))


# In[9]:


S(5)/2


# In[14]:


S('13/2') + S(5)/7


# ### 3.2 Nombres complexes

# In[15]:


from sympy import arg,re,im,I


# In[16]:


a = 3 + 5*I


# In[18]:


re(a)


# In[19]:


im(a)


# In[22]:


arg(a).n()


# In[23]:


abs(a)


# ### 4.2 Définir les variables symboliques x_1, x_2, ... x_n

# In[24]:


from sympy import symbols


# In[28]:


x3,x4,x5,x6,x7 = symbols('x3:8')


# In[29]:


x3 + x4+ 6 *x7


# # Initialisation

# In[ ]:





# Importer toutes les fonctions de Sympy:

# In[30]:


from sympy import *
init_printing(pretty_print=True, use_latex='mathjax')


# Importer quelques variables du module abc:

# In[31]:


#from sympy.abc import *   # à éviter
from sympy.abc import a,b,c,n,t,u,v,w,x,y,z


# # 5 Résolution d'équations

# ### 5.1 Définir une équation

# Définir l'équation $x=3$

# In[35]:


eq1 = Eq(x, 3)


# Définir l'équation $x^2+y^2=16$

# In[37]:


eq2 = Eq(x**2+y**2, 16)


# ### 5.2 Résoudre une équation

# In[43]:


solve(eq1, x)


# In[40]:


solve(eq2, y)


# Résoudre l'équation $x^2+2x=4$

# In[44]:


solve(Eq(x**2+2*x, 4))


# In[ ]:





# ### 5.3 Résoudre un système d'équations

# Résoudre le système $x+y=34$, $xy=34$

# In[47]:


eq1 = Eq(x+y, 34)
eq2 = Eq(x*y, 34)
systeme = [eq1, eq2]
solve(systeme)


# Résoudre le système $x+y=34$, $xy^2=34$

# In[48]:


eq1 = Eq(x+y, 34)
eq2 = Eq(x*y**2, 34)
systeme = [eq1, eq2]
solve(systeme)


# In[ ]:





# ### 5.4 Syntaxe abrégée

# Résoudre les systèmes ci-haut avec la syntaxe abrégée

# In[49]:


solve([x+y-34, x*y-34])


# ### 5.5 Trouver les racines d'une fonction

# $$3x^2  + 52x - 265$$

# In[50]:


roots(3*x**2+52*x-265)


# $$3x^3  + 52x - 265$$

# In[52]:


r1,r2,r3 = roots(3*x**3+52*x-265)


# In[54]:


r1.n(), r2.n(), r3.n()


# ## 6 Tracer une fonction

# In[55]:


get_ipython().run_line_magic('matplotlib', 'inline')


# ### 6.1 Tracer une fonction R -> R

# $$f(x) = x^2$$

# In[71]:


f = x**2
plot(x**2, (x,-20,20))


# $$g(x) = {3x^2  + 52x - 265 \over (x - 7)(x - 1)(x + 34)}$$

# In[63]:


g = (3*x**2+52*x-265) / ((x-7)*(x-1)*(x+34))
plot(g, (x,-40,10), xlim=(-40, 10), ylim=(-2,2))


# Approximer les racines de $$x^3 + 2x^2 - 1$$ avec un dessin

# In[69]:


plot(x**3+2*x**2-1, (x,-2,1), ylim=(-1,1))


# In[70]:


roots(x**3+2*x**2-1)


# ### 6.2 Tracer plusieurs fonctions R -> R

# Tracer $f(x)$ en vert et $g(x)$ en jaune dans le même dessin

# In[72]:


plot(f, g)


# ### 6.3 Tracer une fonction R^2 -> R

# In[73]:


from sympy.plotting import plot3d


# $$x^2+y^2$$

# In[74]:


j


# $$x^2-y^2$$

# In[75]:


plot3d(x**2-y**2)


# $$(x^2-y^2)\sin(x)$$

# In[76]:


plot3d((x**2-y**2)*sin(x))


# ### 6.4 Dessiner une fonction R -> R^2

# In[77]:


from sympy.plotting import plot_parametric


# $$x = \sin(t)$$
# $$y = \cos(t)$$

# In[78]:


plot_parametric(sin(t), cos(t))


# Butterfly curve (transcendental)
# 
# $$x = \sin(t) \left(e^{\cos(t)} - 2\cos(4t) - \sin^5\left({t \over 12}\right)\right)$$
# $$y = \cos(t) \left(e^{\cos(t)} - 2\cos(4t) - \sin^5\left({t \over 12}\right)\right)$$
# 
# Voir: https://en.wikipedia.org/wiki/Butterfly_curve_%28transcendental%29

# In[80]:


x = sin(t)*(E**cos(t)-2*cos(4*t)-sin(t/12)**5)
y = cos(t)*(E**cos(t)-2*cos(4*t)-sin(t/12)**5)
plot_parametric(x, y)


# In[81]:


from IPython.display import Image
url = 'https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f5/Param_02.jpg/800px-Param_02.jpg'
Image(url=url, width=500)


# In[ ]:





# ### 6.5 Dessiner une fonction R -> R^3

# In[82]:


from sympy.plotting import plot3d_parametric_line


# \begin{align} x(u)&= \cos(u)\\ y(u)&=\sin(u)\\ z(u)&=u\end{align}

# In[83]:


x = cos(u)
y = sin(u)
z = u
plot3d_parametric_line(x,y,z)


# \begin{align} x(u)&= u \cos(u)\\ y(u)&=\sin(u)\\ z(u)&=u\end{align}

# In[85]:


x = u*cos(u)
y = u*sin(u)
z = u
plot3d_parametric_line(x,y,z)


# ### 6.6 Dessiner une fonction R^2 -> R^3

# In[86]:


from sympy.plotting import plot3d_parametric_surface


# \begin{align}
# X &= \cos(u)(R+r\cos(v))\\
# Y &= \sin(u)(R+r\cos(v))\\
# Z &= r\sin(v)
# \end{align}

# In[87]:


from sympy.abc import u,v
R = 5
r = 2
X = cos(u)*(R+r*cos(v))
Y = sin(u)*(R+r*cos(v))
Z = r*sin(v)
plot3d_parametric_surface(X, Y, Z, (u, -.5, 4), (v, -5, 5))


# $$\vec r(\theta,\phi) = (\cos\theta \sin\phi, \sin\theta \sin \phi, \cos\phi), \quad 0 \leq \theta < 2\pi, 0 \leq \phi \leq \pi.$$

# In[ ]:


from sympy.abc import theta,phi
from sympy import pi,cos,sin
x = cos(theta)*sin(phi)
y = sin(theta)*sin(phi)
z = cos(theta)
plot3d_parametric_surface(x,y,z,(theta,0,pi), (phi,0,pi))


# ### 6.7 Dessiner les solutions d'une équation implicite

# Tracer les solutions de l'équation $$x^2+y^2+xy-2x =5$$

# In[ ]:


from sympy import plot_implicit
eq = Eq(x**2+y**2+x*y-2*x, 5)
plot_implicit(eq)


# ### 6.8 Tracer une région de R^2

# Tracer la région délimitée par $$y>2x+1, y<5x, x+y<5$$

# In[ ]:





# ### 6.9 Dessiner une fonction complexe avec mpmath

# In[90]:


#from sympy import mpmath    # Sympy (installation normale)
import mpmath               # SageMath


# Tracer la fonction complexe identité $$f(z)=z$$

# In[92]:


from mpmath import cplot


# In[93]:


cplot(lambda z:z)


# Tracer la fonction complexe $$f(z)=z^5-1$$

# In[94]:


cplot(lambda z:z**5-1)


# # 7 Limites et séries

# ### 7.1 Limites

# In[97]:


from sympy.abc import x


# In[101]:


limit(1/x, x, 0, dir='+')


# In[103]:


oo


# In[104]:


limit(1/x, x, oo)


# ### 7.2 Sommes et séries

# In[ ]:





# In[ ]:





# ### 7.3 Produit

# In[ ]:





# In[ ]:





# ### 7.4 Développement en séries

# In[ ]:





# In[ ]:





# In[ ]: