#!/usr/bin/env python
# coding: utf-8

# # Основы работы с блокнотом Jupyter Notebook и примеры решения задач

# [К оглавлению](00_contents.ipynb)

# ## Структура блокнота и основные операции

# ### Ячейка Markdown
# 
# **Markdown** - простой язык для оформления документов. Ячейки этого типа используются для пояснения методики расчетов. 
# Помимо обычного текста, ячейка может содержать:
# 

# - списки:
# 
#  1. первый
#  1. второй
#  1. третий
# 

# 
# 
# - таблицы:
# 
# Заголовок 1  | Заголовок 2
# :------------|:------------
#  Ячейка 1    | Ячейка 2   
#  Ячейка 3    | Ячейка 4        
# 

# 
# - математические формулы: $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2 $,
# 

# - [гиперссылки](http://yandex.ru),

# - изображения: 
# ![Менделеев](http://www.new-cccp.ru/naukab/1341.jpg "Менделеев") 
# 

# - другие объекты, которые можно разместить на веб-странице (с помощью HTML-тегов).
# 

# ### Ячейка кода
# 
# В ячейках кода необходимо писать команды в соответствии с правилами Python. Эти команды при вычислении ячейки интерпретируются и выполняются. Результат выводится сразу после ячейки. 
# 
# При вычислении ячейки с кодом она получает последовательный номер ввода - `In[?]`. А результат вычисления ячейки - номер вывода - `Out[?]`:

# In[ ]:


2 * 2


# ### Режимы работы
# 
# - режим выполнения (command mode) [Esc]
# - режим редактирования ячейки (edit mode) [Enter]

# ### Выполнение кода в ячейках
# 
# - `Shift-Enter` - выполнить и перейти к следующей
# - `Ctrl-Enter` - выполнить без перехода к следующей ячейке
# - `Alt-Enter` - выполнить и добавить новую  ячейку ниже

# In[ ]:


print('Hello!') # Потренируйтесь на этой ячейке


# ### Справка по клавишам
# 
# Для часто выполняемых действий назначены "горячие" клавиши. 
# 
# См. Help/Keyboard Shortcuts

# ### Операции с блокнотом
# 
# - создание
# - переименование
# - сохранение
# - загрузка (.ipynb и .html)
# - открытие существующего блокнота
# - [nbviewer](http://nbviewer.jupyter.org)

# ## Примеры решения задач

# ### Построение графика функции одной переменной
# 
# 
# Построить в одной системе координат графики функций:
# 
# - $ f_1(x) = x^2 - 4 $
# - $ f_2(x) = x + 4$
# 
# 
# 

# In[ ]:


# Подключаем пакеты:
import numpy as np #работа с массивами
import matplotlib.pyplot as plt #графики
# Инициализация отображения графиков в блокноте:
get_ipython().run_line_magic('matplotlib', 'inline')


# In[ ]:


# Задаем диапазон изменения независимой переменной:
x = np.linspace(-5, 5, 21)

# Задаем функции:
f1 = lambda x: x**2 - 4
f2 = lambda x: x + 4


# In[ ]:


# График "по-быстрому"
plt.plot(x, f1(x))
plt.plot(x, f2(x));


# In[ ]:


# График красивый
plt.plot(x, f1(x), label='$f_1(x)$')
plt.plot(x, f2(x), label='$f_2(x)$')
plt.xlabel('$x$', fontsize=16)
plt.title('График функции', fontsize=18)
plt.legend(loc='best', fontsize=14);


# > **Задание**:
# > Построить "красивый" график функций: sin(x) и cos(x) на интервале $(-4\pi;4\pi)$
# 
# 
# > *Совет*: необходимые функции и константа содержатся в пакете numpy. К ним можно обратиться так: `np.pi`, `np.sin()`
# 

# In[ ]:


# Здесь ваш код


# ### Работа с матрицами
# 
# Вычислить скалярное произведение векторов: $V (1, 0, 0)$ и $W (6, 5, 4)$

# In[ ]:


V = np.array([1, 0, 0])
W = np.array([6, 5, 4])

V.dot(W)


# Для заданной матрицы 
# 
# $$ A =
#     \begin{pmatrix} 
#         1 & -2 & -3\\
#         4 & 5 & 6\\
#         7 & 8 & 9\\
#     \end{pmatrix}
# $$
# 
# вычислить: 
# 
# - $A^T$, 
# - $|A|$, 
# - ранг $A$, 
# - $A^{-1}$,
# - $A^{-1}A$,
# - $A\cdot V$

# In[ ]:


# Задаем матрицу:
A = np.matrix([[1, -2, -3],
              [4, 5, 6],
              [7, 8, 9]])
A


# In[ ]:


# Транспонирование:
A.T


# In[ ]:


# Определитель:
np.linalg.det(A)


# In[ ]:


np.round(np.linalg.det(A)) #округление


# In[ ]:


# Ранг:
np.linalg.matrix_rank(A)


# In[ ]:


# Обратная матрица:
A.I


# In[ ]:


# Произведение матриц:
A.I * A


# In[ ]:


np.round(A.I * A)


# In[ ]:


# Произведение матрицы на вектор:
print(A, V)
A.dot(V)


# > **Задание**:
# > Проверить, имеет ли решение данная система линейных уравнений:
# 
# 
# >$
# \left{
# \begin{array}\\
#      x - y + z  = 1 \\
#      y + 2z = 2 \\
#     x + z  = 3   
# \end{array}
# \right.
# $
# 
# > Если решение существует, то найти его

# ### Построение графика функции двух переменных
# 
# Пусть требуется построить график функции: $ g(x,y) = \sin \sqrt{x^2 + y^2} $

# In[ ]:


g = lambda x, y: np.sin(np.sqrt(x**2 + y**2))


# In[ ]:


# Интервалы изменения по X и Y
x = np.linspace(-5, 5, 101)
y = x


# In[ ]:


# Координаты узлов сетки для построения графика
X, Y = np.meshgrid(x, y)


# In[ ]:


# Значения функции в узлах сетки
Z = g(X, Y)


# In[ ]:


# Графики встраиваются в блокнот
get_ipython().run_line_magic('matplotlib', 'inline')


# #### Способ 1: Визуализация матрицы значений функции в узлах сетки как изображения

# In[ ]:


plt.imshow(Z, cmap=plt.cm.viridis)
plt.colorbar();


# #### Способ 2: Контурный график

# In[ ]:


plt.contourf(X, Y, Z, 50, cmap = plt.cm.viridis)
plt.colorbar()
contours = plt.contour(X, Y, Z, 5, colors='black')
plt.clabel(contours, inline=1);


# #### Способ 3: График поверхности

# In[ ]:


# График в отдельном окне
get_ipython().run_line_magic('matplotlib', '')


# In[ ]:


from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
fig = plt.figure()
ax = fig.gca(projection='3d')

ax.plot_surface(X, Y, Z, alpha=0.3, cmap=plt.cm.viridis, linewidth=0, rstride=4, cstride=4)

ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')
ax.set_title('График поверхности')

# Направление обзора и расстояние до наблюдателя
ax.view_init(elev=45, azim=23)
#ax.dist=6

plt.show()


# > **Задание**: Требуется построить контурный график и поверхность функции Розенброка:
# >
# >
# >$f(x,y) = (1-x)^2 + 100(y-x^2)^2 $
# >
# > Интересным является поведение функции в окрестности точки $(0, 0)$

# ### Символьная математика
# 
# Символьные вычисления (symbolic math) используются для аналитического решения математических задач. Например, можно вычислять производные, интегралы, оперировать с матрицами, искать корни уравнений, упрощать выражения... 
# 
# В Python символьные вычисления реализованы в пакете SymPy.
# 
# 
# #### Исследование функции
# Необходимо найти нули и экстремумы функции:
# 
# $ f(x) = x^2 - 2x + 1 $
# 
# 

# In[ ]:


import sympy as sp
sp.init_printing() 


# In[ ]:


x = sp.symbols('x') # Переменная x теперь содержит символ 'x'


# In[ ]:


f = x**2 - 2*x + 1  - 4# Выражение для функции
f


# In[ ]:


# График функции
get_ipython().run_line_magic('matplotlib', 'inline')
sp.plot(f, (x, -2, 4)); #sympy содержит свою функцию для быстрого построения графиков


# Нули функции:

# In[ ]:


sp.solve(f, x) #Корни уравнения f(x) = 0


# Производная:

# In[ ]:


df = f.diff(x)
df


# In[ ]:


# Вычислить значение производной при x = 5:
df.subs(x, 5)


# Стационарные точки:

# In[ ]:


sp.solve(df) # Точки, в которых производная равна 0


# Тип экстремума:

# In[ ]:


f.diff(x, 2) # Вторая производная


# Знак второй производной положителен, следовательно найден минимум

# > **Задание**: Найти экстремумы функции: $ f(x) = x^4 - 4x^3 - 8x^2$ и определить их тип.
# >
# > Проверить решение с помощью графика