#!/usr/bin/env python
# coding: utf-8

# # Wahrscheinlichkeit

# ## Zufallsexperimente

# ![Folie 1](Folien/08/slide-02.png)

# Was meint der erste Stichpunkt? Nehmen wir das Beispiel automatische syntaktische Analyse eines deutschen Satzes (sprich: Parsing). Es ist auch für große Anwendungen nicht realistisch, ALLE Regeln der deutschen Syntax und deren Zusammenspiel zu implementieren. Dazu kommt, dass viele große NLP-Systeme für einen Satz mehrere mögliche Strukturen (z.B. Parse-Bäume) finden werden. Die Wahrscheinlichkeitstheorie brauchen wir also, um formal sagen zu können: Diese Struktur hat einen höheren Wert als jene, weil sie eine größere Wahrscheinlichkeit hat.
# 
# Der zweite Stichpunkt meint im einfachsten Fall: Beim Würfeln/Münze werfen/Mensch-ärgere-dich-nicht gibt es nur eine endliche Menge möglicher Ereignisse: 1 gewürfelt/Kopf/Blau würfelt 4.

# ![Folie 1](Folien/08/slide-04.png)

# **Für Interessierte:** Die Erläuterung abzählbarer Mengen findet sich [hier](https://de.wikipedia.org/wiki/Abz%C3%A4hlbare_Menge).

# ![Folie 1](Folien/08/slide-05.png)

# Wir ordnen also jedem Ergebnis bzw. Elementarereignis eine Wahrscheinlichkeit zu. Beispiel Würfeln mit einem fairen Würfel:
# 
# $e1=\{1\}, e2=\{2\}$ usw.
# 
# $P(e1)=P(e2)=...=P(e6)=\frac{1}{6}$
# 
# Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "gerade Zahl" $eg=e2 \cup e4 \cup e6 = \{2,4,6\}$ ist also gleich $P(eg)=\frac{1+1+1}{6}=0.5$
# 
# Ungerade Zahl als Gegenereignnis zu gerade Zahl: Das Gegenereignis zu "gerade Zahl" $eu$ ist das Komplement in $\Omega$ des Ereignisses "gerade Zahl".
# 
# $eu= \Omega \setminus eg = \{1,3,5\}$

# ## Aufgabe 1:
# 
# Estelle mischt 30 Karten mit Zahlen von 1 bis 30. Auf jeder Karte steht die Zahl von Bonbons, die sie kriegt, wenn sie die Karte zieht.  
# Nachdem sie eine Karte gezogen hat, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie mehr als 25 Bonbons kriegt?
#     
# 
# <p> a) $\frac{1}{6}$ </p>
# <p> b) $\frac{1}{4}$ </p>
# <p> c) $\frac{1}{2}$ </p>
# <p> d) $\frac{1}{8}$ </p>
#  
# [Lösung](sol/08-Wahr-Karten.txt)
# 

# ## Aufgabe 2:
# 
# Nadine hat zwei faire sechsseitige Würfel. Jede Seite ist von 1 bis 6 nummeriert.
# 
# Nadine behauptet, dass, wenn sie beide Würfel würfelt, ihre Summe einen beliebigen ganzzahligen Wert zwischen einschließlich 2 und 12 haben kann, 
# was 11 verschiedene Summen-Möglichkeiten darstellt. Daher ist die Chance, dass sie eine Summe von 12 würfelt,  $\frac{1}{11}$ ist.
# 
# Ist die Aussage von Nadine wahr oder falsch?
# 
# [Lösung](sol/08-zwoelf-wuerfeln.txt)

# ![Folie 1](Folien/08/slide-06.png)

# Die Vereinigung der Ereignisse Summe 1, Summe 2, $\dots$, Summe 12 gibt also $\Omega=\{1-1,1-2,1-3,1-4,1-5,1-6,2-1,2-2,\dots,6-6\}$. $1-3$ bezeichnet das Ereignis "erst 1, dann 3". Es gilt außerdem: $|\Omega|=6*6=36$, und jedes Elementarereignis $e\in\Omega$ hat Wahrscheinlichkeit $P(e)=\frac{1}{36}$.

# ## Aufgabe 3:
# 
# Ungefähr welcher Anteil der menschlichen Bevölkerung wurde am 29. Februar geboren?
# 
# <p> a) $\frac{1}{366}$ </p>
# <p> b) $\frac{1}{365}$ </p>
# <p> c) $\frac{1}{1461}$ </p>
# <p> d) $\frac{2}{29}$ </p>
# 
# [Lösung](sol/08-Geburtstag.txt)

# ## Aufgabe 5:
# 
# Erika und Mio können sich nicht entscheiden, wer bei einem Basketballspiel den Ball zuerst bekommt. Sarah schlägt vor, dass sie eine ganze Zahl zwischen 1 und 100 einschließlich wählen sollen. Wer näher an der Zahl ist, die Sarah zufällig ausgewählt hat, bekommt den Ball zuerst.
# Erika rät zufällig die Zahl 37.  Mio wählt dann eine Zahl aus, die ihre Gewinnchancen maximiert. Welche Nummer hat Mio gewählt?
# 
# [Lösung](sol/08-Basketball.txt)

# ## Aufgabe 6:
# 
# Estelle mischt wieder 30 Karten mit Zahlen von 1 bis 30. Auf jeder Karte steht die Zahl von Bonbons, die sie kriegt, wenn sie die Karte zieht.  
# Nachdem sie eine Karte gezogen hat, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie mehr als 25 Bonbons oder weniger als 10 Bonbons kriegt?
#     
# 
# <p> a) $\frac{2}{3}$ </p>
# <p> b) $\frac{7}{15}$ </p>
# <p> c) $\frac{9}{11}$ </p>
# <p> d) $\frac{3}{10}$ </p>
# 
# [Lösung](sol/08-Wahr-Karten2.txt)

# ## Aufgabe 7:
# 
# Mel und ihr Vater spielen ein Würfel-Spiel. Sie würfeln einen fairen 10-seitigen Würfel, wobei jede Seite eine ganze Zahl von 1 bis 10 hat.
# Wenn der Würfelwurf 6 oder größer ist, erhält Mel einen Punkt. Wenn es sich um eine gerade Zahl handelt, erhält ihr Vater einen Punkt.
# 
# Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Mel's Vater einen Punkt erhält, aber nicht Mel?
#     
# 
# <p> a) $\frac{2}{5}$ </p>
# <p> b) $\frac{1}{5}$ </p>
# <p> c) $\frac{3}{10}$ </p>
# <p> d) $\frac{1}{10}$ </p>
# 
# [Lösung](08-zehn-wuerfeln.txt)

# ## Aufgabe 8:
# 
# Der Professor gibt seiner Klasse eine Klausur mit 10 Fragen. Um jedoch Betrug zu verhindern, hat jede Kopie der Klausur die 10 Fragen in zufälliger Reihenfolge.
# 
# Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Studierende, die nebeneinander sitzen, bei beiden Klausuren die gleiche "Frage 1" haben?
#     
# 
# <p> a) $\frac{2}{5}$ </p>
# <p> b) $\frac{1}{5}$ </p>
# <p> c) $\frac{3}{10}$ </p>
# <p> d) $\frac{1}{10}$ </p>
# 
# [Lösung](sol/08-Klausur.txt)

# ## Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume

# ![Folie 1](Folien/08/slide-07.png)

# Warum ist $P$ eine Funktion von ${POT}(\Omega)$ nach $\mathbb{R}$, die die auf der Folie genannten Eigenschaften erfüllt?
# $P$ ordnet jedem möglichen Ereignis, das man mit $\Omega$ bilden kann, eine Wahrscheinlichkeit im Intervall $[0;1]$ zu.
# 
# Alle möglichen Ereignisse bei einem Experiment sind Elemente von $Pot(\Omega)$. Beispiel zweimaliges Werfen einer Münze: $\Omega=\{KK,KZ,ZK,ZZ\}$. $Pot(\Omega)=\{\emptyset,\{KK\},\{KZ\},\{ZK\},\{ZZ\},\{KK,KZ\},\{KK,ZK\},\{KK,ZZ\},\dots,\Omega\}$. So ist sowohl das "leere Ereignis" $\emptyset$ abgedeckt, als auch das Ereignis $\Omega$ sowie alle Kombinationen aus einem oder mehr Ergebnissen.
# Aus Punkt 2.3 auf der Folie folgt, dass $P(\emptyset)=0$.
# <p>Man kann sich diesen Punkt wie folgt anschaulich machen: Erst ordnen wir jedem der Ergebnisse $\{KK\},\{KZ\},\{ZK\},\{ZZ\}$ eine Wahrscheinlichkeit zu. Die kennen wir: bei fairen Münzen ist das jeweils $\frac{1}{4}$. $\{KK\}$ und $\{KZ\}$ sind paarweise disjunkt, und deshalb gilt: $P(\{KK\}\cup\{KZ\})=P(\{\{KK\},\{KZ\}\})=P(\{KK\}+P\{KZ\})=\frac{1}{2}$</p>
# 
# Da z.B. $P(\Omega)=P(\{KK,KZ,ZK,ZZ\})=P(\{KK\})+P(\{KZ\})+P(\{ZK\})+P(\{ZZ\})=\frac{1}{4}*4=1$ und $P(\{KK\})=P(\{KK\}\cup \emptyset) = \frac{1}{4}$, muss $P(\emptyset)=0$ sein.

# ## Aufgabe 9:
# 
# Wenn zwei faire Münzen gleichzeitig geworfen werden, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau ein Kopf erscheint?
# 
# <p> a) $\frac{1}{2}$ </p>
# <p> b) $\frac{3}{4}$ </p>
# <p> c) $\frac{1}{4}$ </p>
# <p> d) $\frac{1}{1}$ </p>
# 
# [Lösung](sol/08-Muenzen.txt)

# ![Folie 1](Folien/08/slide-08.png)

# Punkt ***1*** und ***2*** sind oben schon erläutert. Was bedeutet *"Tertium non datur"*? Wörtlich übersetzt: Das dritte ist nicht gegeben. Es tritt entweder $A$ oder das Gegenereignis zu $A$, $\overline{A}=\Omega\setminus A$ ein. $A\cup\overline{A}=\Omega$ und $P(\Omega)=1$.
# 
# Punkt ***4***: Ereignis $A$ impliziert Ereignis $B$ bedeutet: Wer A sagt, muss auch B sagen bzw. Wenn $A$ eintritt, tritt auch $B$ ein. Beispiel Zweimal Münze werfen: $A=\{KK\}, B=\{KK,ZZ\}$ und $A \subseteq B$. $P(B\setminus A)=P(\{ZZ\})=P(B)-P(A)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$. 

# ![Folie 1](Folien/08/slide-10.png)

# ## Aufgabe 11:
# 
# Sei X die Anzahl der Fernseher in einem nach dem Zufallsprinzip ausgewählten Haushalt. Für alle Haushalte in der Stadt gilt, dass
#              $P(X = 0) = 0.08,
#              P(X = 1) = 0.18,
#              P(X = 2) = 0.36,
#              P(X = 3) = 0.3,
#              P(X = 4) = 0.04$
#             
# Was ist $P(X < 4)$?
# 
# [Lösung](sol/08-TV.txt)

# ![Folie 1](Folien/08/slide-11.png)

# Die zweite Folie ist besser, denn hier gilt: $P(\Omega)=0.09+0.36+0.25+0.3=1$. Es handelt sich also um einen "guten" Wahrscheinlichkeitsraum.

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