#!/usr/bin/env python
# coding: utf-8
# # Table of Contents
#
# ## 補間法
# 次の4点
# ```maple
# x y
# 0 1
# 1 2
# 2 3
# 3 1
# ```
# を通る多項式を(a)ラグランジュ補間, (b) 逆行列で求めよ．
# ### ラグランジュ補間
# In[4]:
import numpy as np
from scipy import interpolate
import matplotlib.pyplot as plt
# もとの点
x = np.array([0,1,2,3])
y = np.array([1,2,3,1])
for i in range(0,4):
plt.plot(x[i],y[i],'o',color='r')
# Lagrange補間
f = interpolate.lagrange(x,y)
print(f)
x = np.linspace(0,3, 100)
y = f(x)
plt.plot(x, y, color = 'b')
plt.grid()
plt.show()
# ### 逆行列から
# In[19]:
from pprint import pprint
x = np.array([0,1,2,3])
y = np.array([1,2,3,1])
n = 4
A = np.zeros((n,n))
b = np.zeros(n)
for i in range(0,n):
for j in range(0,n):
A[i,j] += x[i]**j
b[i] = y[i]
pprint(A)
pprint(b)
# In[18]:
import scipy.linalg as linalg # SciPy Linear Algebra Library
inv_A = linalg.inv(A)
pprint(inv_A)
np.dot(inv_A,b)
# ## 対数関数のニュートンの差分商補間(2014期末試験，25点)
#
# 2を底とする対数関数(Mapleでは$\log[2](x)$)の$F(9.2)=2.219203$をニュートンの差分商補間を用いて求める．ニュートンの内挿公式は，
#
# $$
# \begin{array}{rc}
# F (x )&=F (x _{0})+
# (x -x _{0})f _{1}\lfloor x_0,x_1\rfloor+
# (x -x _{0})(x -x _{1})
# f _{2}\lfloor x_0,x_1,x_2\rfloor + \\
# & \cdots + \prod_{i=0}^{n-1} (x-x_i) \,
# f_n \lfloor x_0,x_1,\cdots,x_n \rfloor
# \end{array}
# $$
# である．ここで$f_i \lfloor\, \rfloor$ は次のような関数を意味していて，
# $$
# \begin{array}{rc}
# f _{1}\lfloor x_0,x_1\rfloor &=& \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} \\
# f _{2}\lfloor x_0,x_1,x_2\rfloor &=& \frac{f _{1}\lfloor x_1,x_2\rfloor-
# f _{1}\lfloor x_0,x_1\rfloor}{x_2-x_0} \\
# \vdots & \\
# f _{n}\lfloor x_0,x_1,\cdots,x_n\rfloor &=& \frac{f_{n-1}\lfloor x_1,x_2\cdots,x_{n}\rfloor-
# f _{n-1}\lfloor x_0,x_1,\cdots,x_{n-1}\rfloor}{x_n-x_0}
# \end{array}
# $$
# 差分商と呼ばれる．$x_k=8.0,9.0,10.0,11.0$をそれぞれ選ぶと，差分商補間のそれぞれの項は以下の通りとなる．
#
# $$
# \begin{array}{ccl|lll}
# \hline
# k & x_k & y_k=F_0( x_k) &f_1\lfloor x_k,x_{k+1}\rfloor & f_2\lfloor x_k,x_{k+1},x_{k+2}\rfloor & f_3\lfloor x_k,x_{k+1},x_{k+2},x_{k+3}\rfloor \\
# \hline
# 0 & 8.0 & 2.079442 & & &\\
# & & & 0.117783 & &\\
# 1 & 9.0 & 2.197225 & & [ XXX ] &\\
# & & & 0.105360 & & 0.0003955000 \\
# 2 & 10.0 & 2.302585 & & -0.0050250 &\\
# & & & 0.095310 & &\\
# 3 & 11.0 & 2.397895 & & &\\
# \hline
# \end{array}
# $$
# それぞれの項は，例えば，
#
# $$
# f_2\lfloor x_1,x_2,x_3 \rfloor =\frac{0.095310-0.105360}{11.0-9.0}=-0.0050250
# $$
# で求められる．ニュートンの差分商の一次多項式の値はx=9.2で
#
# $$
# F(x)=F_0(8.0)+(x-x_0)f_1\lfloor x_0,x_1\rfloor =2.079442+0.117783(9.2-8.0)=2.220782
# $$
# となる．
#
# ### 差分商補間の表中の開いている箇所[ XXX ]を埋めよ．
# ### ニュートンの二次多項式
#
# $$
# F (x )=F (x _{0})+(x -x _{0})f _{1}\lfloor x_0,x_1\rfloor+(x -x _{0})(x -x _{1})
# f _{2}\lfloor x_0,x_1,x_2\rfloor
# $$
# の値を求めよ．
# ### ニュートンの三次多項式の値を求めよ．
# ただし，ここでは有効数字7桁程度はとるように．(E.クライツィグ著「数値解析」(培風館,2003), p.31, 例4改)
# In[49]:
np.log(9.2)
# In[40]:
x_3 = 11
x_1 = 9
f1_23 = 0.095310
f1_12 = 0.105360
f2_123 = (f1_32-f1_21)/(x_3-x_1)
print(f2_123)
f1_01 = 0.117783
x_0 = 8
x_2 = 10
f2_012 = (f1_12-f1_01)/(x_2-x_0)
print((0.105360-0.117783)/(10-8))
# In[41]:
x = 9.2
F_0 = 2.079442
F_0 + (x-x_0)*(f1_01)+(x-x_0)*(x-x_1)*f2_012
# In[44]:
f3_0123 = 0.0003955000
F_0 + (x-x_0)*(f1_01)+(x-x_0)*(x-x_1)*f2_012+(x-x_0)*(x-x_1)*(x-x_2)*f3_0123
# ### 補足
#
# テキストに紹介したコードによって求められるNewton差分商補間の様子を以下に示しておく．
# In[2]:
# https://stackoverflow.com/questions/14823891/newton-s-interpolating-polynomial-python
# by Khalil Al Hooti (stackoverflow)
def _poly_newton_coefficient(x,y):
"""
x: list or np array contanining x data points
y: list or np array contanining y data points
"""
m = len(x)
x = np.copy(x)
a = np.copy(y)
for k in range(1,m):
a[k:m] = (a[k:m] - a[k-1])/(x[k:m] - x[k-1])
return a
def newton_polynomial(x_data, y_data, x):
"""
x_data: data points at x
y_data: data points at y
x: evaluation point(s)
"""
a = _poly_newton_coefficient(x_data, y_data)
n = len(x_data) - 1 # Degree of polynomial
p = a[n]
for k in range(1,n+1):
p = a[n-k] + (x -x_data[n-k])*p
return p
# In[5]:
import numpy as np
from scipy import interpolate
import matplotlib.pyplot as plt
x = [-1, 0, 1]
y = [4., -2., -1.2]
for i in range(0,3):
plt.plot(x[i],y[i],'o',color='r')
print(_poly_newton_coefficient(x,y))
xx = np.linspace(-1,4, 100)
yy = newton_polynomial(x, y, xx)
plt.plot(xx, yy, color = 'b')
plt.grid()
plt.show()
# In[6]:
x = [-1, 0, 1]
y = [4., -2., -1.2]
for i in range(0,3):
plt.plot(x[i],y[i],'o',color='r')
print(_poly_newton_coefficient(x,y))
xx = np.linspace(-1,4, 100)
yy = newton_polynomial(x, y, xx)
plt.plot(xx, yy, color = 'b')
plt.grid()
plt.show()
# ## 数値積分(I)
# 次の関数
#
# $$
# f(x) = \frac{4}{1+x^2}
# $$
# を$x = 0..1$で数値積分する．
# 1. $N$を2,4,8,…256ととり，$N$個の等間隔な区間にわけて中点法で求めよ．(15)
# 1. 小数点以下10桁まで求めた値3.141592654との差をdXとする．dXと分割数Nとを両対数プロット(loglogplot)して比較せよ(10)
# (2008年度期末試験）
# In[14]:
import numpy as np
def func(x):
return 4.0/(1.0+x**2)
def mid(N):
x0, xn = 0.0, 1.0
h = (xn-x0)/N
S = 0.0
for i in range(0, N):
xi = x0 + (i+0.5)*h
dS = h * func(xi)
S = S + dS
return S
def trape(N):
x0, xn = 0.0, 1.0
h = (xn-x0)/N
S = func(x0)/2.0
for i in range(1, N):
xi = x0 + i*h
dS = func(xi)
S = S + dS
S = S + func(xn)/2.0
return h*S
x, y = [], []
for i in range(1,8):
x.append(2**i)
y.append(abs(mid(2**i)-np.pi))
x2, y2 = [], []
for i in range(1,8):
x2.append(2**i)
y2.append(abs(trape(2**i)-np.pi))
# In[15]:
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(x, y, color = 'r')
plt.plot(x2, y2, color = 'b')
plt.yscale('log')
plt.grid()
plt.show()
# In[16]:
plt.plot(x, y, color = 'r')
plt.plot(x2, y2, color = 'b')
plt.yscale('log')
plt.xscale('log')
plt.grid()
plt.show()
# In[ ]: