#!/usr/bin/env python
# coding: utf-8

# In[1]:


from IPython.display import HTML
from ipywidgets import interact
get_ipython().run_line_magic('matplotlib', 'inline')


# In[2]:


HTML('''<script>
code_show=true; 
function code_toggle() {
 if (code_show){
 $('div.input').hide();
 } else {
 $('div.input').show();
 }
 code_show = !code_show
} 
$( document ).ready(code_toggle);
</script>
Le code de ce notebook est caché pour faciliter la lecture. 
Pour afficher le code, cliquez <a href="javascript:code_toggle()">ici</a>.''')


# # Suites de fonctions: Exemples et contre-exemples

# ## Les normes $L^p$ sur $C^0([0,1])$ ne sont pas équivalentes
# 
# Si elles l'étaient, toute suite de $C^0([0,1])$ convergente pour la norme
# 
# $$\|f\|_p = \left( \int_0^1 |f(t)|^p dt \right)^{\frac 1p}$$
# 
# serait aussi convergente pour tout autre norme $\|f\|_q$. Mais ce n'est pas le cas. Prenons un paramètre $a > 0$ et définissons la suite de fonctions
# 
# $$f_{n}^{a}(x) = 
# \begin{cases}
# n^a (1-nx) \text{ si } x \in [0, \frac 1n] \\
# 0 \text{ si } x \in [\frac 1n, 1]
# \end{cases}
# $$
# 
# Ci-dessous le graphe de $f_{n}^{a}$ pour différentes valeurs de $n$ et $a$, et la norme $\|f_{n}^a\|_p$:
# 

# In[3]:


from IPython.display import HTML
from ipywidgets import interact
get_ipython().run_line_magic('matplotlib', 'inline')

import ipywidgets as widgets
from IPython.display import display
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import pi

from math import pi

def f1(x,a,n):
    x = np.atleast_1d(x)
    f = np.zeros(len(x))
    for i, x_i in enumerate(x):
        if x_i<1/n:
            f[i] = (n**a)*(1-n*x_i)
        else:
            f[i] = 0
    return f



def update_plot(a,n,p):
    X = np.linspace(0,1,500)
    norme=n**(a*p-1)/(p+1)
    fig, ax= plt.subplots(figsize=(15, 5))
    ax.set_ylim([-0.1, n**a])
    ax.set_xlim([0, 1])
    plt.plot(X,f1(X, a,n),'b')
    plt.title(r'Graphe et norme $L^p$ de $f_n^a$: $||f_n^a||_p$={}'.format(norme ))
    plt.show()


interact ( update_plot, n=(1,100,1), a=(0,1,0.1), p=(1,20,0.5) )





# Ci dessous, le graphe de la fonction $|f_n^a|^p$ (i.e, celle qu'on intère pour obtenir la norme $L^p$ de $f_n^a$) :

# In[8]:


from IPython.display import HTML
from ipywidgets import interact
get_ipython().run_line_magic('matplotlib', 'inline')

import ipywidgets as widgets
from IPython.display import display
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import pi

from math import pi

def fp(x,a,n,p):
    x = np.atleast_1d(x)
    f = np.zeros(len(x))
    for i, x_i in enumerate(x):
        if x_i<1/n:
            f[i] = (n**(a*p))*((1-n*x_i)**p)
        else:
            f[i] = 0
    return f



def update_plot(a,n,p):
    X = np.linspace(0,1,500)
    norme=n**(a*p-1)/(p+1)
    fig, ax= plt.subplots(figsize=(15, 5))
    ax.set_ylim([-0.1, n**a])
    ax.set_xlim([0, 2/(n+1)])
    plt.plot(X,fp(X, a,n,p),'c')
    plt.title(r'Graphe et norme $L^p$ de $f_n^a$: $||f_n^a||_p$={}'.format(norme ))
    plt.show()


interact ( update_plot, n=(1,100,1), a=(0,1,0.1), p=(1,20,0.5) )





# On montre, par un calcul rapide, que dans le cas général,
# 
# $$
# \|f_{n}^a\|_p = \frac{n^{ap-1}}{p+1}
# $$
# 
# et tend vers 0 quand $n\rightarrow \infty$ si, et seulement si, $a < \frac 1p$. 
# 
# Donc, si $p\neq q$, mettons $p>q$, alors $\frac 1p < \frac 1q$ et, pour tout $a \in ] \frac 1p, \frac 1q[$, la suite $(f_{n}^a)_n$ de $C^0([0,1])$ converge pour $\|.\|_q$, mais pas pour $\|.\|_p$. Ces deux normes ne sont donc pas équivalentes.

# ## Comparaison des normes $\|.\|_\infty$ et $\|.\|_1$ sur $C^0([-1,1])$
# 
# On peut se demander si les normes
# $$
# \|f\|_\infty= \max_{[-1,1]} |f(x)|
# $$
# et la norme 
# $$
# \|f\|_1 = \inf_{-1}^1 |f(t)|dt
# $$ 
# sont équivalentes sur $C^0([-1,1])$.
# 
# On montre par le calcul que, pour toute $f\in C^0([-1,1])$, 
# $$\|f\|_1 \leq 2 \|f\|_\infty$$
# 
# En revanche, quel que soit $c>0$, on n'a pas
# $$ \|f\|_\infty \leq c \|f\|_1$$
# pour tout $f\in C^0([-1,1])$. 
# 
# En effet, on peut considérer des fonctions "pointues", dont l'intégrale est bornée, mais dont le max est très grand: par exemple
# 
# $$f_{n}(x) = 
# \begin{cases}
# n(1+nx) \text{ si } x \in [-\frac 1n, 0] \\
# n (1-nx) \text{ si } x \in [0, \frac 1n] \\
# 0 \text{ si } x \geq \frac 1n \text{ ou } x \leq -\frac 1n
# \end{cases}
# $$
# 

# In[4]:


from IPython.display import HTML
from ipywidgets import interact
get_ipython().run_line_magic('matplotlib', 'inline')

import ipywidgets as widgets
from IPython.display import display
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import pi

from math import pi

def f2(x,n):
    x = np.atleast_1d(x)
    f = np.zeros(len(x))
    for i, x_i in enumerate(x):
        if x_i<-1/n:
            f[i] = 0
        elif -1/n < x_i <=0:
            f[i]=n*(1+n*x_i)
        elif 0 < x_i <=1/n:
            f[i]=n*(1-n*x_i)
        else:
            f[i] = 0
    return f



def update_plot(n):
    X = np.linspace(-1,1,500)
    fig, ax= plt.subplots(figsize=(15, 5))
    ax.set_ylim([-0.1, 51])
    ax.set_xlim([-1.1, 1.1])
    plt.plot(X,f2(X,n),'b')
     
    ax.fill_between(X, 0, f2(X,n))
    plt.title(r'Graphe de $f_n$; normes $||f_n||_1 = 1$, $||f_n||_\infty = {}$'.format(n ))


    plt.show()
    print('Pour n assez grand, la norme infinie de fn est plus grande que c')


interact ( update_plot, n=(1,50,1))


# ## Incomplétude de $(C^0([-1,1]), \|.\|_1) $
# 
# On montre que  $(C^0([-1,1]), \|.\|_1) $ n'est pas complet en exhibant une suite de Cauchy pour $ \|.\|_1$ qui ne converge pas dans $(C^0([-1,1])$. 
# 
# Pour cela, on trouve une suite de fonctions, toutes continues, mais qui deviennent de plus en plus "raides": à l'infini, on se retrouve avec un "saut" en 0, donc cette suite "converge", mais sa limite n'est pas continue. Donc elle ne converge pas dans  $(C^0([-1,1]), \|.\|_1) $, mais elle est de Cauchy puisque les termes de la suite se rapprochent tous de la même fonction discontinue, donc se rapprochent entre eux.
# 
# Considérons donc une suite de fonctions affines par morceaux, dont la pente est de plus en plus grande:
# $$
# f_n(x)=
# \begin{cases}
# -1 \text{ si } x \leq -\frac 1n \\
# nx \text{ si } -\frac 1n \leq x \leq \frac 1n \\
# 1 \text{ si }  x \geq \frac 1n 
# \end{cases}
# $$

# In[5]:


from IPython.display import HTML
from ipywidgets import interact
get_ipython().run_line_magic('matplotlib', 'inline')

import ipywidgets as widgets
from IPython.display import display
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import pi

from math import pi

def f3(x,n):
    x = np.atleast_1d(x)
    f = np.zeros(len(x))
    for i, x_i in enumerate(x):
        if x_i<-1/n:
            f[i] = -1
        elif -1/n < x_i < 1/n:
            f[i]=n*x_i
        else:
            f[i] = 1
    return f



def update_plot(n):
    X = np.linspace(-1,1,500)
    fig, ax= plt.subplots(figsize=(15, 5))
    ax.set_ylim([-1.1, 1.1])
    ax.set_xlim([-1.1, 1.1])
    plt.plot(X,f3(X,n),'b')
    
    
    plt.title(r'Graphe de $f_n$')


    plt.show()


interact ( update_plot, n=(1,50,1))


# Cette suite est de Cauchy: on montre par le calcul que pour tous $p, q \in \mathbb N^*$
# $$||f_{p+q}- f_p ||_1 \leq \frac 1p$$
# Sur le graphique:

# In[6]:


from IPython.display import HTML
from ipywidgets import interact
get_ipython().run_line_magic('matplotlib', 'inline')

import ipywidgets as widgets
from IPython.display import display
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import pi

from math import pi

def f(x,n):
    x = np.atleast_1d(x)
    f = np.zeros(len(x))
    for i, x_i in enumerate(x):
        if x_i<-1/n:
            f[i] = -1
        elif -1/n < x_i < 1/n:
            f[i]=n*x_i
        else:
            f[i] = 1
    return f



def update_plot(p,q):
    X = np.linspace(-1,1,500)
    fig, ax= plt.subplots(figsize=(15, 5))
    ax.set_ylim([-1.1, 1.1])
    ax.set_xlim([-1.1/p, 1.1/p])
    plt.plot(X,f(X,p),'b')
    plt.plot(X,f(X,p+q),'r')
    ax.fill_between(X, f(X,p), f(X,p+q))
    
    diffarea=q/(p*(p+q))
    plt.title(r' $||f_p - f_q||_1$={}'.format(diffarea ))


    plt.show()


interact ( update_plot, p=(1,100,1), q=(0,15,1))





# Mais, comme on l'a dit, sa "limite" n'est pas dans $C^0([-1,1])$, qui n'est donc pas complet pour la norme $\|.\|_1$. 
# 
# En revanche, il l'est pour la norme $\|.\|_\infty$. L'idée est que la convergence d'une suite de fonctions avec $\|.\|_\infty$ n'est autre que la convergence uniforme pour les fonctions, et une limite uniforme de fonctions continues étant continue, on n'a pas le problème posé par la norme 1. 

#