#!/usr/bin/env python
# coding: utf-8

# ## How not to feel bored – 2

# ### Библиотека для символьных вычислений `sympy`: продолжение
# 
# ### Интегралы в `sympy` 

# Для начала импортируем библиотеку (если ещё не работали с `sympy`, см. обзор [здесь](https://github.com/allatambov/py-icef/blob/master/add/sympy-1.ipynb)) и определим символы для переменных, с которыми будем работать.

# In[1]:


from sympy import *
x, y = symbols("x y")


# Найдём неопределённый интеграл от какой-нибудь функции. Зададим саму функцию и выведем её в красивом свёрстанном виде:

# In[6]:


init_printing()
fx = 1 / (2 * x)
fx


# Вычислим интеграл (в `sympy` константа $C$ в неопределённых интегралах будет опускаться):

# In[18]:


integrate(fx, x)


# Или что-то более сложное:

# $f(x) = \dfrac{1}{1+x^2}$

# In[19]:


integrate(1 / (1 + x ** 2), x)


# $f(x) = \sin(x) + \cos(x) \cdot e^x$

# In[20]:


integrate(sin(x) * cos(x) * exp(x), x)


# А теперь посчитаем определённый интеграл. Для этого достаточно дописать границы отрезка, на котором мы интегрируем, внутри функции `integrate()`:

# In[21]:


integrate(log(x), (x, 1, 2))


# **Обратите внимание:** в таком случае все аргументы функции вводятся в круглых скобках – они должны быть оформлены в кортеж (*tuple*). Пример кортежа:

# In[16]:


t = (2, 5, 10) 
t


# Иначе ничего не получится:

# In[22]:


integrate(log(x), x, 1, 2)


# А теперь рассмотрим какой-нибудь несобственный интеграл, например, интеграл, где оба предела интегрирования стремятся к $\pm \infty$:

# In[25]:


integrate(1 / (1 + x ** 2), (x, -oo, oo))


# **Примечание:** символ для бесконечности немного нетривиальный – проще всего его просто скопировать из какой-нибудь документации `sympy` (если под рукой нет готового файла).

# **Интересный факт:** вместо готового значения можно вывести само выражение для интегрирования:

# In[27]:


Integral(1 / (1 + x ** 2), (x, -oo, oo))  # Integral vs integrate


# Про особенности вычисления интегралов в `sympy` можно почитать [здесь](https://docs.sympy.org/latest/modules/integrals/integrals.html), раздел *API Reference*.

# ### Пределы в `sympy`

# Посчитаем предел функции $f(x) = e^{-x}$ при $x \to \infty$:

# In[32]:


Limit(exp(-x), x, oo)  # пока само выражение


# In[33]:


limit(exp(-x), x, oo) # результат


# А что, если предел равен бесконечности? Проверим:

# In[34]:


limit(exp(-x), x, -oo)  # и правда


# А если предела не существует совсем (даже не-конечного)?

# In[41]:


limit(sin(1/x), x, 0) # странный ответ, попробуйте понять, почему


# `Sympy` также умеет вычислять односторонние пределы:

# In[69]:


Limit(1 / (x - 2), x, 2, '-') # левосторонний предел


# In[68]:


limit(1 / (x - 2), x, 2, '-') # вычисляем


# In[ ]:


Limit(1 / (x - 2), x, 2, '+') # правосторонний предел


# In[ ]:


limit(1 / (x - 2), x, 2, '+') # вычисляем


# ### Немного про матрицы в `sympy`

# Создадим матрицу `M` и посмотрим на неё:

# In[60]:


M = Matrix([[2, 1], [1, 2]])
M


# Найдём обратную матрицу:

# In[73]:


M.inv()


# Найдём её ранг:

# In[74]:


M.rank() # в данном случае ожидаемо, что он равен 2


# Посчитаем собственные значения матрицы `M`:

# In[61]:


M.eigenvals() # два значения: 1 и 3


# И собственные векторы (какие-нибудь):

# In[62]:


M.eigenvects() # два собственных вектора


# Приведём матрицу к диагональному виду:

# In[63]:


M.diagonalize()


# Почему результат включает две матрицы? Вторая матрица – это итоговая диагональная матрица, а первая – это матрица $P$ отсюда:
# 
# $$
# M=PDP^{−1} 
# $$
# 
# **Примечание:** $M$ – это наша исходная матрица, $D$ – диагоналльная матрица.

# Можем извлечь диагональную матрицу из полученного кортежа:

# In[70]:


M.diagonalize()[1]  # второй элемент – элемент с индексом 1


# Или используем множественное присваивание:

# In[71]:


P, D = M.diagonalize()
D


# Можем разложить матрицу, выбрав определённый метод разложения. Например, выберем LU-разложение, то есть представим матрицу `M` в виде произведения нижней треугольной матрицы (*Lower*) и верхней треугольной матрицы (*Upper*): 

# In[64]:


M.LUdecomposition()


# Проверим, что всё работает корректно – перемножим матрицы из выдачи выше. Опять извлечём первые две матрицы из кортежа:

# In[78]:


L, U, N = M.LUdecomposition()  # N - просто так, пустая матрица


# In[79]:


L


# In[80]:


U


# Перемножим и сравним:

# In[82]:


L * U == M  # действительно


# ### Задания 

# ### Задача 1
# 
# Вычислите с помощью `sympy` пределы 1, 7, 10, 12, 13 [отсюда](http://tutorial.math.lamar.edu/Problems/CalcI/ComputingLimits.aspx) и сравните результаты с предложенными решениями. Всегда ли `sympy` корректно возвращает результат (особенно интересуют случаи, когда предел равен $\pm\infty$ или не существует).
# 
# **Подсказка:** кусочно-заданную функцию можно определить с помощью функции `Piecewise()`. Пример:

# In[84]:


Piecewise((0, x < -1),
    (0, x > 1),
    ( (x ** 2, True)))


# ### Задача 2
# 
# Вычислите следующие неопределённые и определённые интегралы:
# 
# * $\int(\sin\pi x) dx$
# * $\int\frac{x^2}{\sqrt{1-x}} dx$
# * $\int\limits_1^2\tan(x^2) dx$

# ### Задача 3
# 
# 1. Найдите собственные значения матрицы `A` в общем виде (считая, что `a` и `b` – это какие-то числа):
# 
# $$
# \begin{pmatrix}
# a & 3 \\
# 7 & b
# \end{pmatrix}
# $$
# 
# 2. Извлеките полученные на предыдущем шаге собственные значения из словаря так, чтобы с ними можно было работать по отдельности (сохраните первое как `lamda1`, второе – как `lamda2`. Вычислите значения `lamda1` и `lamda2`, считая, что $a=5$, $b = 7$.
# 
# 3. Найдите собственные вектора матрицы `A` в общем виде (считая, что `a` и `b` – это какие-то числа). Покажите, что эти вектора перпендикулярны друг другу. 
# 
# **Подсказка:** Для этого погуглите или посмотрите в документации `sympy`, как считать скалярное произведение векторов.