#!/usr/bin/env python
# coding: utf-8

# # Основы прикладной математики и информатики
# 
# *Алла Тамбовцева*

# ## Биномиальное распределение

# ### Факториал

# Импортируем функцию для вычисления факториала из модуля `math`:

# In[1]:


from math import factorial


# Посчитаем $n!$ для разных $n$:

# In[2]:


factorial(4) # 4!


# In[3]:


factorial(6) # 6!


# In[4]:


factorial(100) # 100!


# ### Биномиальные коэффициенты

# Для вычисления биномиального коэффициента $C_n^k$ нам потребуется модуль `special` из библиотеки для научных вычислений `scipy` (сокращение от  *SCIentific PYthon*). Импортируем его:

# In[5]:


import scipy.special as sp


# Теперь воспользуемся функцией `binom`, которая позволит посчитать нам биномиальный коэффициент. Для примера посчитаем биномиальный коэффициент $C_4^2$:

# In[6]:


sp.binom(4, 2) # сначала указывается n, потом k


# ### Биномиальное распределение и биномиальные вероятности

# Для создания биномиальной случайной величины и вычисления вероятностей ее значений нам понадобится модуль `stats` из той же библиотеки `scipy`. Импортируем его:

# In[7]:


import scipy.stats as st


# Создадим случайную величину $X$, имеющую биномиальное распределение с параметрами $n=10$, $p=0.5$, то есть величину, которая описывает число успехов в серии из $10$ испытаний Бернулли, где вероятность успеха в одном испытании равна $0.5$.

# In[8]:


X = st.binom(n=10, p=0.5)


# Можем найти ее математическое ожидание и дисперсию:

# In[9]:


X.expect() # E(X), expected value


# In[10]:


X.var() # D(X)=Var(X), variance


# Теперь давайте построим ряд распределения этой случайной величины: соотнесем значения величины и их вероятности. Ясно, что значениями этой случайной величины являются целые числа от 0 до 10 включительно (число успехов в 10 испытаниях). Реализуем такой цикл: для каждого значения $k$ от 0 до 10 включительно будем считать вероятность $P(X=k)$ с помощью метода `.pmf()`.

# In[11]:


for k in range(0, 11): # range(0, 11) - все целые числа от 0 до 10 (правый конец интервала не включается)
    print(k, X.pmf(k))


# Теперь мы можем приступить к решению задачи 1 из семинара.

# **Задача 1**
# 
# Известно, что $70$% студентов очной формы обучения совмещают обучение
# с работой. Для проведения интервью мы случайным образом выбираем $10$ студентов.
# 
# a. Какова вероятность того, что среди выбранных респондентов будет не менее $8$
# работающих студентов?
# 
# b. Сколько работающих студентов, в среднем, мы можем встретить среди выбранных
# $10$ студентов?
# 
# c. Пусть 𝑋 – число работающих студентов среди выбранных $10$ респондентов. Найдите
# дисперсию и стандартное отклонение случайной величины 𝑋.

# Одно испытание Бернулли – опрос одного студента. Успех – студент совмещает работу и учебу, неудача – не совмещает. $p=0.7$ и $q=0.3$. Раз опрашиваем $10$ студентов, имеем серию из $n=10$ испытаний Бернулли. Сгенерируем величину x, которая имеет биномиальное распределение с параметрами $n=10$, $p=0.7$.

# In[12]:


x = st.binom(n=10, p=0.7)


# a. $P(X \geq 8) = P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)$

# In[13]:


x.pmf(8) + x.pmf(9) + x.pmf(10)


# b. $E(X)$ 

# In[14]:


x.expect() # на самом деле ровно 7, np = 10 * 0.7 = 0.7


# c. $D(X)$ и $sd(X)$

# In[15]:


x.var() # на самом деле ровно 2.1, npq = 10 * 0.7 * 0.3 = 2.1


# In[16]:


x.std()