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# > # Rappels des chapitres "Primitives" et "Intégration"
# #### *Remarque* : Ce notebook propose à la fois des rappels et des exercices. On prendra le temps d'y réfléchir, le crayon à la main, sur une feuille de brouillon avant de proposer une réponse.
# Une correction des exercices est proposée en fin de document mais elle ne doit être utilisée qu'en dernier recours, si les calculs n'aboutissent pas...
# ## 1. Rappels.
# **Définition 1 :** Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
# On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ définie sur $I$ telle que $F$ soit dérivable sur $I$ avec $F'=f$.
# ** Théorème 1 :** Toute fonction continue sur $I$ admet une primitive sur cet intervalle [*Admis*].
# ** Proposition 1 :** Soit $f$ une fonction continue sur $I$ (éventuellement par morceaux) et $F$ une primitive de $f$ sur $I$.
# Alors l'ensemble des primitives de $f$ sur $I$ est : $\{F+c,c\in\mathbb{R}\}$.
# **Proposition 2 :** Soit $f$ une fonction continue sur $I$ et $F$ une primitive de $f$ sur $I$.
# Alors $F$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$.
# Par ailleurs, si $f$ est positive sur $I$ alors $F$ est croissante sur $I$.
# **Définition 2 :** Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a,b]$.
# On appelle *intégrale* de $f$ de $a$ à $b$ le **réel** : $$\displaystyle\int_a^bf(t)dt=F(b)-F(a)$$
# où $F$ est une primitive de $f$.
# **Théorème 2 :** Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Pour tout $a\in I$, la fonction $F$ définie sur $I$ par : $$F(x)=\displaystyle\int_a^xf(t)dt$$
# est l'unique **primitive** de $f$ qui s'annule en $a$.
# **Définition 3 (Intégrale d'une fonction continue par morceaux) :** Soient $a 1. $F(x)=3x^2/2-x$
# > 2. $F(x)= \cfrac{3}{2}\ln(|x|)$
# > 3. $F(x)= \cfrac{\sin(2x)}{6}$
# > 4. $F(x)=\cfrac{(x^2+x+1)^3}{3}$
# > 5. $F(x)=\cfrac{2}{3}\sqrt{x^3-3x+1}$
# > 6. $F(x)=\cfrac{1}{6}\ln(1+x^6)$
# > 7. $F(x)=\ln|ln|x||$
# > 8. $F(x)=\cfrac{2}{3}\sqrt{(1+\ln(x))^3}$
# > 9. $F(x)=-\cfrac{1}{\sin(x)}$.
# > 10. $F(x)=\cfrac{1}{2}\arctan\left(\cfrac{\sin(x)}{2}\right)$
# > 11. $F(x)=\cfrac{1}{3\ln(2)}2^{3x+1}$.
# ### Correction exercice 2 :
# > 12. $F(x)=\cfrac{1}{2}\ln\left(\left|\cfrac{x-1}{x+1}\right| \right)$
# > 13. $F(x)=\cfrac{1}{2}\ln|x^2-1|+\cfrac{3}{2}\ln\left(\left|\cfrac{x-1}{x+1}\right| \right)=\ln\left(\left|\cfrac{(x-1)^2}{x+1}\right| \right)$.
# >> en effet : $f(x)=\cfrac{1}{2}\cfrac{2x+6}{x^2-1}=\cfrac{1}{2}\cfrac{2x}{x^2-1}+\cfrac{6}{2}\cfrac{1}{x^2-1}=\cfrac{1}{2}\cfrac{2x}{x^2-1}+3\cfrac{1}{x^2-1}$ ;
# On utilise alors 12.
# > 14. $F(x)=\ln|x+1|-\cfrac{1}{x+1}$.
# >> en effet : $f(x)=\cfrac{1}{2}\cfrac{2x+2}{x^2+2x+1}+\cfrac{1}{(x+1)^2}$
# > 15. $F(x)=\cfrac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\cfrac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)$
# >> en effet : $f(x)=\cfrac{1}{(x+1/2)^2+3/4}=\cfrac{4}{3}\cfrac{1}{\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}(x+\dfrac{1}{2})\right)^2+1}$
# > 16. $F(x)=\ln(x^2+x+1)-\cfrac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\cfrac{2x+1}{\sqrt{3}} \right)$
# ### Correction exercice 3 :
# 1. $F(x)=xe^x-e^x$ avec $u(x)=x$ et $v'(x)=e^x$.
# 2. $F(x) = -\cfrac{1}{x}\arctan(x)+\ln|x|-\cfrac{1}{2}\ln(1+x^2)$ avec $u(x)=\arctan(x)$ et $v(x)=\cfrac{1}{x^2}$
# > en effet : $\cfrac{1}{x(1+x^2)}=\cfrac{1+x^2-x^2}{x(1+x^2)}=\cfrac{1}{x}-\cfrac{x}{1+x^2}$
# 3. $F(x)=x\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)-\sqrt{x^2-1}$ avec $u(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$ et $v'(x)=1$
# 4. $F(x)=(x+1)\arctan(\sqrt{x})-\sqrt{x}$ avec $u(x)=\arctan(\sqrt{x})$ et $v'(x)=1$
# > en effet : on notera que si $v'(x)=1$ alors $v(x)=x+c$ où $c\in\mathbb{R}$... à vous de choisir correctement la valeur de $c$ !
# ### Correction exercice 4 :
# 1. $F(x)=\displaystyle\int_0^x\cfrac{t}{1+t^4}dt$ avec $s=u(t)=t^2$ et donc $ds=2tdt$. Soit :
# > $F(x)=\displaystyle\int_0^{x^2}\cfrac{ds/2}{1+s^2}=\cfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^{x^2}\cfrac{ds}{1+s^2}=\cfrac{\arctan(x^2)}{2}$
# 2. $F(x)=\displaystyle\int_0^{u(x)}(1+s^2)ds=\tan(x)+\cfrac{\tan^3(x)}{3}$ avec $u\in\mathcal{C}^1([0,x])$, $\forall x\in]-\pi/2,\pi/2[$.
# 3. $F(x)=\displaystyle\int_{\sqrt{2}}^{u(x)}\cfrac{2ds}{s^2-1}=\displaystyle\int_{\sqrt{2}}^{u(x)}\left(\cfrac{1}{s-1}-\cfrac{1}{s+1}\right)ds=\ln\left(\left|\cfrac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt{1+x}+1}\right| \right)-C$ où $C=\ln\left(\left|\cfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\right| \right)$, $\forall x\in \mathbb{R}_+^*$
# 4. $F(x)=\displaystyle\int_0^{u(x)}\cfrac{2s^2}{(s^2+1)^2}ds=\displaystyle\int_0^{u(x)}\cfrac{2s}{(s^2+1)^2}sds=-\cfrac{\sqrt{x}}{x+1}+\arctan(\sqrt{x})$, $\forall x\in \mathbb{R}_+^*$ [par Int. par Parties]